पॉलीलॉग-बाउंड डेप्थ सर्किट के लिए सर्किट कम सीमा पर स्थिति

Question

$AC^{0}$$p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$। हालाँकि, पॉलीग्लिथेरमिक डेप्थ सर्किट पर ठोस निचले सीमा परिणाम प्राप्त करना इनपुट्स को सीमित करने और परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों को सन्निकट करने जैसे शास्त्रीय तरीकों के उपयोग से पहुंच से बाहर लगता है।

मैं एक STOC'96 पेपर को जानता हूं जो ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत की ओर ले जाता है और जो दिखाता है कि बिट-वार के बिना संचालन का उपयोग करने वाले कुशल समानांतर कंप्यूटिंग न्यूनतम लागत-प्रवाह समस्या की गणना नहीं कर सकते हैं।

इसका मतलब यह है कि कुछ सीमित सेटिंग्स में, हम कुछ -complete समस्या के लिए कम सीमा साबित कर सकते हैं ।$NC$$P$

सबसे पहले, क्या अन्य तरीके या तकनीकें हैं जो पॉलीग्लारिथमिक गहराई सर्किट कम सीमा साबित करने के लिए प्रशंसनीय दृष्टिकोण हो सकती हैं?

दूसरा, सिद्धांत समुदाय के लिए निम्नलिखित कथन कितना उपयोगी है?

एक बूलियन फ़ंक्शन की गणना करने वाले $NC$ सर्किट का आकार $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ कम से कम $l$ , जहां $l$ कुछ गणितीय मात्रा है जो कठोरता के आधार पर होती है लक्ष्य समारोह $f$ । एल का मान $l$हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक विसंगति की तरह एक दहनशील मात्रा, एक क्षेत्र पर कुछ प्रकार के मैट्रिक्स के रैंक की तरह एक रैखिक बीजगणितीय मात्रा, या कुछ पूरी तरह से नई मात्रा जो पहले जटिलता सिद्धांत में उपयोग नहीं की गई है।

Comments

सावधानी का एक शब्द क्रम में है: यहां तक ​​कि लघुगणक गहराई अगर समझ से दूर है। हमारे पास अभी भी NC ^ 1-सर्किट के लिए कोई सुपर-लीनियर (!) लोअर बाउंड नहीं है। यहां, मैट्रिक्स कठोरता एक वांछित "दहनशील मात्रा" है, लेकिन हमारे पास इस मात्रा पर पर्याप्त कम सीमा नहीं है। इससे भी अधिक निराशाजनक रूप से, एनसी ^ 1-सर्किट के लिए कोई सुपर-लीनियर लोअर बाउंड नहीं जाना जाता है, जो कि एक रैखिक परिवर्तन f (x) = Axe को GF (2) से गणना करता है, भले ही केवल फैनिन -2 XOR को गेट्स के रूप में अनुमति दी गई हो। (लगभग सभी मेट्रिसेस A को किसी भी गहराई में n ^ 2 / \ log n गेट के बारे में आवश्यकता होती है।)

— Stasys

@Stasys, मुझे लगता है कि आपकी टिप्पणी एक जवाब हो सकती है।

— केव

Answer 1

पॉली-लॉग सर्किट-डेप्थ लोअर सीमा को साबित करने की तकनीकों पर, सभी वर्तमान दृष्टिकोण प्रतिबंधित सेटिंग्स के तहत काम करते हैं। जैसे, जीसीटी के लिए आपके द्वारा उल्लिखित कार्य में , निचला बाउंड बिना किसी ऑपरेशन के प्रतिबंधित PRAM मॉडल पर लागू होता है।

एक अन्य प्रतिबंध के तहत, जो मोनोटोन बूलियन कार्यों के लिए मोनोटोन प्रतिबंध है, एरोन पोटेचिन ( ईसीसीसी और एसटीओसी ) के साथ अपने संयुक्त कार्य में मोनोटोन सर्किट-डेथ कम घावों को साबित करने के लिए फूरियर-एनालिटिक (या एन्यूमरेटिव-कॉम्बिनेटरियल) दृष्टिकोण है । यह रैन रेज़ और पियरे मैकेंजी द्वारा पहले के परिणाम में सुधार करता है , जो सर्किट-डेप्थ के विषय में मौरिसियो करमेर और एवी विगडरसन के संचार खेल ढांचे का विस्तार करता है ।

Karchmer-Wigderson गेम का विस्तार करने के लिए अनुसंधान की एक और पंक्ति को स्कॉट आरोनसन और एवी विगडरसन द्वारा एक संदर्भित संचार गेम के रूप में प्रस्तावित किया गया था , जिसका मुकाबला प्रतिस्पर्धा-समर्थक प्रोटोकॉल के विस्तार के रूप में एनसी को Pillat Kol और Ran Raz से अलग करने के लिए किया गया था। ECCC और आईटीसी )।

एकरसता के वाक्यात्मक प्रतिबंध का अध्ययन करने के अलावा, स्टीफन कुक, पियरे मैकेंजी, डस्टबिन वेहर, मार्क ब्रेवरमैन और राहुल संथानम द्वारा कंकड़ के खेल (जिसे मितव्ययी ब्रांचिंग कार्यक्रम कहा जाता है) से संबंधित एक अर्थपूर्ण प्रतिबंध का अध्ययन करने के लिए एक दृष्टिकोण है। डस्टिन वेहर द्वारा मितव्ययी प्रतिबंध के तहत एक मजबूत निचली सीमा है , जो पी-पूर्ण समस्याओं के लिए सबसे अच्छी तरह से ज्ञात ऊपरी सीमा से मेल खाती है। इन परिणामों नियतात्मक अंतरिक्ष जटिलता, चिंता का विषय है जो कम सीमा समानांतर समय या सर्किट गहराई में जाना जाता है अनुकरण परिणामों से (उदाहरण के लिए के बाद से )।$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

सर्किट के आकार और गहराई से संबंधित प्रश्न के बारे में, निम्नलिखित दृष्टिकोण संबंधित हो सकता है। रिचर्ड लिप्टन और रयान विलियम्स बताते हैं कि, गहराई से पर्याप्त मजबूत निचली सीमा (यानी ) को देखते हुए, एक कमजोर आकार कम बाध्य (यानी n 1 + Ω ( 1 ) ) NC को P से अलग कर सकता है। ब्लॉक-रिस्पॉन्सिंग सिमुलेशन के आधार पर एक आकार-गहराई व्यापार-बंद तर्क से। आकार के लिए व्यापार की गहराई पर एक पूर्व परिणाम अल्लेंडर और कॉकी के कारण स्व-रिड्यूसबिलिटी के विचार पर आधारित है, लेकिन इसने NC 1 और NL जैसे छोटे जटिलता वर्गों का अध्ययन किया ।$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

ध्यान दें कि उपर्युक्त दृष्टिकोणों में, उनमें से कुछ सर्किट के आकार और गहराई दोनों पर विचार करते हैं, जबकि अन्य दृष्टिकोण केवल सर्किट-गहराई पर विचार करते हैं। विशेष रूप से, मुल्मुले का अर्ध-बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण , कोल- रेज़ द्वारा अध्ययन किए गए प्रतिस्पर्धी- समर्थक प्रोटोकॉल दृष्टिकोण , और अल्लेन्डर-कौकी और लिप्टन-विलियम्स के आकार-गहराई व्यापार-बंद दृष्टिकोण दोनों का आकार और गहराई है। सर्किट के। में परिणाम चैन-Potechin , Raz-मैकेंजी , कुक-मैकेंजी-Wehr-Braverman-संथानम , और Wehr दे सर्किट गहराई से आकार की परवाह किए बिना प्रतिबंधित सेटिंग के तहत सीमा को कम। इसके अलावा, संदर्भित संचार खेलआरोनसन-विगडरसन केवल सर्किट-डेप्थ की चिंता करता है।

यह अभी भी हमारे ज्ञान के अनुरूप है कि कुछ पी-पूर्ण समस्या की गणना छोटे गहराई के सर्किट (यानी ) द्वारा नहीं की जा सकती है , आकार की परवाह किए बिना। यदि छोटे गहराई वाले सर्किट (बाउंड फैन-इन) के लिए आकार मायने नहीं रखता है, तो शायद यह सर्किट-डेप्थ पर अधिक ध्यान केंद्रित करने के लिए समझ में आता है, छोटे गहराई सर्किट के आकार पर ध्यान केंद्रित करने की तुलना में।$\log^{O(1)}n$

Comments

धन्यवाद! जहाँ तक आप जानते हैं, एक कथन जो कि Q2 में है, सभी को नहीं मिला है, क्या यह है? यही है, संचार जटिलता कम बाध्य तरीकों के विपरीत, हमें एनसी सर्किट की निचली सीमा देने वाली कोई गणितीय मात्रा नहीं मिली है?

— शेन

@ फिर, मैंने अंत में दो और पैराग्राफ जोड़े। आशा है कि यह मददगार है।

— सिमन

यह विचार कि कमजोर आकार की निचली सीमा को प्रवर्धित किया जा सकता है, जिसका उपयोग लिप्टन-विलियम्स पेपर में किया जाता है, वास्तव में एलेन्डर और कौकी ( eccc.hpi-web.de/report/2008/038 ) के कारण होता है।

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek धन्यवाद! मैंने वह कागज जोड़ा। उम्मीद है कि अब जवाब बेहतर लग रहा है।

— शिमैन

Answer 2

कावे के सुझाव के बाद, मैं अपनी टिप्पणी एक (विस्तारित) उत्तर के रूप में दे रहा हूं।

बारे में$Q1$ , सावधानी का एक शब्द क्रम में है: यहां तक ​​कि लघुगणक गहराई यदि समझा जा रहा है, तो पॉली-लॉगरिदमिक के बारे में नहीं बोलना। तो, गैर-मोनोटोन दुनिया में, वास्तविक समस्या बहुत कम महत्वाकांक्षी है:

बीट लॉग-डेप्थ प्रॉब्लम: -सीरिकट के लिए एक सुपर-लीनियर (!) लोअर बाउंड करें । $NC^1$

रैखिक circuits के लिए समस्या अभी भी (30 से अधिक वर्षों के लिए) खुली हुई है । ये fanin- हैं 2 आधार से अधिक सर्किट { ⊕ , 1 } , और वे गणना रैखिक परिवर्तनों च ( एक्स ) = एक एक्स से अधिक जी एफ ( 2 ) । आसान गिनती शो है कि लगभग सभी मैट्रिक्स एक की आवश्यकता होती है Ω ( एन 2 / लॉग इन करें n ) द्वार, किसी भी गहराई में। $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

बारे में$Q2$ : हां, हमारे पास कुछ बीजीय / दहनशील उपाय हैं, कम सीमाएं, जिस पर लॉग-डेप सर्किट को हराया जाएगा। दुर्भाग्य से, अब तक, हम इन उपायों पर पर्याप्त पर्याप्त सीमा साबित नहीं कर सकते हैं। कहो, के लिए रेखीय -circuits, इस तरह के एक उपाय है कठोरता आर ए ( आर ) मैट्रिक्स के एक । इस की प्रविष्टियों की सबसे छोटी संख्या है एक है कि एक की जरूरत है क्रम में रैंक कम करने के लिए बदलने के लिए आर । यह करने के लिए आसान है दिखाने कि आर ए ( आर ) ≤ ( n $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ प्रत्येक बूलियन n × n मैट्रिक्स A के लिए है , और Valiant (1977) ने दिखाया है कि यह बाउंड लगभग सभी मैट्रिसेस के लिए तंग है। लॉग-डेप्थ सर्किट को हराने के लिए, बूलियन n × n मैट्रिसेस ए के अनुक्रम को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्तहै$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

स्थिरांक के लिए ε , δ > 0 । $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

सबसे अच्छा है कि हम अब तक पता मैट्रिक्स हैं साथ आर ए ( आर ) ≥ ( n 2 / आर ) लॉग ( एन / आर ) । सिलवेस्टर मैट्रिक्स (यानी आंतरिक उत्पाद मैट्रिक्स) के लिए, के लिए बाध्य निचले Ω ( एन 2 / आर ) है को दिखाने के लिए आसान । $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

हमारे पास सामान्य (नॉन-लीनियर) -सीरिकट्स के लिए दहनशील उपाय हैं , साथ ही एक द्विदलीय एन × एन ग्राफ जी के लिए , चलो टी ( जी ) सबसे छोटी संख्या टी हो जैसे कि जी को टी द्विपदी के एक चौराहे के रूप में लिखा जा सकता है। रेखांकन, प्रत्येक अधिक से अधिक का एक संघ जा रहा है टी पूरा द्विपक्षीय ग्राफ। सामान्य लॉग-डेप्थ सर्किट को हरा देने के लिए, ग्राफ़ के अनुक्रम को ढूंढना पर्याप्त होगा$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

एक निरंतर के लिए ε > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(देखें, उदाहरण के लिए यहां पर यह कैसे होता है)। फिर से, लगभग सभी रेखांकन । हालांकि, सबसे अच्छा रहता है एक लोअर बाउंड टी ( जी ) ≥ लॉग ऑन 3 एन सिलवेस्टर मैट्रिक्स के लिए, की वजह से Lokam । $t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

अंत में, मैं उल्लेख करता हूं कि हमारे पास "सरल" कंबाइनटेरियल माप (मात्रा) एक कमजोर (रैखिक) निचली सीमा है, जिस पर गैर-मोनोटोन सर्किट के लिए घातीय (!) कम सीमा भी होगी। एक द्विपक्षीय लिए ग्राफ जी , चलो ग ( जी ) fanin- की सबसे छोटी संख्या हो 2 संघ ( ∪ ) और चौराहे ( ∩ ) के संचालन का उत्पादन करने के लिए आवश्यक जी जब सितारों से शुरू; एक तारा किनारों का एक समूह होता है, जो एक ओर से दूसरे सिरे पर एक कोने से जुड़ता है। लगभग सभी ग्राफ़ में c ( G ) = graph ( n $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$ । दूसरी ओर, एक कम बाउंड$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

एक निरंतर के लिए ε > $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$$\epsilon>0$

एक स्पष्ट बूलियन फ़ंक्शन f G के N वैरिएबल के गैर-मोनोटोन सर्किट जटिलता पर एक कम बाध्य । तो जी है n × मीटर के साथ ग्राफ मीटर = ओ ( n ) , फिर भी एक लोअर बाउंड ग ( जी एन ) ≥ ( 2 + ε ) n पर्याप्त है (फिर से,, देख जैसे यहाँ यह कैसे होता है पर)। निचली सीमा सी ( $\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ अपेक्षाकृत सरल रेखांकन के लिए दिखाया जा सकता है। "समस्या यह है, तथापि, के साथ ऐसा करना है - ε " "द्वारा प्रतिस्थापित + ε "। कम्बाइंडोरियल उपाय कम-बाउंडिंग सर्किट जटिलता ( ए सी सी -सर्किट) सहितपुस्तकमें पाए जा सकते हैं । $c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$

पुनश्च तो, हम की एक निरंतर पहलू से कर रहे हैं प्रदर्शित होने से पी ≠ एन पी ? बिलकूल नही। मैंने इस बाद के उपाय c ( G ) का उल्लेख केवल यह दिखाने के लिए किया कि किसी को संशयवाद के एक स्वस्थ हिस्से के साथ निचली सीमा के "प्रवर्धन" (या "आवर्धन") का इलाज करना चाहिए: भले ही हम जिस सीमा को "सहज" दिखते हैं, वह बहुत छोटी है रेखीय) लगभग सभी रेखांकन (द्विघात) की आवश्यकता होती है, एक (कमजोर) निचली सीमा को साबित करने की अंतर्निहित कठिनाई और भी बड़ी हो सकती है। बेशक, एक जुझारू उपाय खोजने के बाद, हम कुछ कह सकते हैं कि कार्यों के गुण उन्हें कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन बनाते हैं। यह अप्रत्यक्ष साबित करने के लिए उपयोगी हो सकता है$2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$निचला बाउंड: कुछ जटिलता वर्ग में बड़े सर्किट या फ़ार्मुलों की आवश्यकता वाले फ़ंक्शन होते हैं। लेकिन अंतिम लक्ष्य एक स्पष्ट कठिन कार्य के साथ आना है , जिसकी परिभाषा में "एल्गोरिथम गंध" नहीं है, जिसमें कोई छिपी हुई जटिलता नहीं है।

Comments

मुझे यह बहुत दिलचस्प लगता है: 1. पर रैखिक कार्यों के लिए सुपरलाइनियर लोअर-बाउंड एक बहुत ही ठोस निचला-बाध्य प्रश्न लगता है। 2. गणितीय अवधारणाओं पर निचली सीमाएँ, संगणना से सीधे संबंधित नहीं हैं, सर्किट कम-बाउंड से संबंधित हैं। $GF(2)$

— केव

मैट्रिक्स कठोरता एक जाहिरा तौर पर एकीकृत अवधारणा लेकिन इसकी संरचना लगभग सभी निचले सीमा के रूप में व्यक्त करने के लिए मजबूत विपरीत लगता है , जबकि यह बजाय के संदर्भ में है, Ω ( च ( एन , आर ) ) (या कहना Ω ( च ( $\Omega(f(n))$$\Omega(f(n,r))$जहाँnइनपुट आकार है क्योंकि इसका वर्ग मैट्रिक्स के लिए)। किसी को भी व्यक्त करने के लिए अन्य तरीकों से देखा गया है मैट्रिक्स कठोरता जैसे के मामले मेंΩ(च(एन))? $\Omega(f({\sqrt n},r))$$n$$\Omega(f(n))$

— vzn

$R_A(r)$ $r$$0$$R_A(n)=0$