क्या प्रस्ताव प्रस्ताव पूर्ण प्रमाण प्रणाली है?

यह प्रश्न प्रस्तावक तर्क के बारे में है और "प्रस्ताव" की सभी घटनाओं को "प्रस्ताव प्रस्ताव" के रूप में पढ़ा जाना चाहिए।

यह सवाल कुछ बेहद बुनियादी है लेकिन यह मुझे कुछ समय के लिए परेशान कर रहा है। मैं ऐसे लोगों को देखता हूं जो प्रस्ताव को पूरा करते हैं, लेकिन मैं यह भी देखता हूं कि लोग संकल्प को अधूरा मानते हैं। मैं उस समझ को समझता हूं जिसमें संकल्प अधूरा है। मैं यह भी देखता हूं कि लोग यह दावा क्यों कर सकते हैं कि यह पूर्ण है लेकिन "पूर्ण" शब्द प्राकृतिक कटौती या क्रमिक कलन का वर्णन करते समय "पूर्ण" तरीके से भिन्न होता है। यहां तक कि क्वालीफायर "प्रतिपूर्ति पूरा" भी मदद नहीं करता है क्योंकि सूत्र सीएनएफ में होना चाहिए और सूत्र का एक बराबर सीएनएफ सूत्र या समतामूलक सीएनएफ सूत्र के माध्यम से त्सेतिन परिवर्तन का सबूत प्रणाली के भीतर नहीं है।

ध्वनि और पूर्णता

हमें एक संबंध के साथ शास्त्रीय प्रोपोज़िशनल तर्क की स्थापना मान लेते हैं $\models$ संरचनाओं के कुछ ब्रह्मांड और सूत्रों का एक सेट और एक संरचना में सच का शास्त्रीय Tarskian धारणा के बीच। हम लिखते हैं $\models \varphi$ यदि $\varphi$ सभी संरचनाओं में सच माना जाता है। मैं सूत्रों से सूत्रों को प्राप्त करने के लिए एक प्रणाली भी $\vdash$ ।

प्रणाली है ध्वनि के संबंध में हैं जो हर बार हमारे पास , हम भी । प्रणाली है पूरा करने के लिए सम्मान के साथ हैं जो हर बार हमारे पास , हम भी । $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

संकल्प नियम

एक शाब्दिक एक परमाणु प्रस्ताव या इसकी उपेक्षा है। एक खंड शाब्दिक का एक विघटन है। CNF में एक सूत्र क्लॉस का एक संयोजन है। संकल्प नियम का दावा है कि

संकल्प शासन का दावा है कि अगर खंड के संयोजन के रूप खंड के साथ संतुष्टि योग्य है, खंड भी संतुष्टि योग्य होना चाहिए। $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

मुझे यकीन नहीं है कि यदि संकल्प नियम अकेले एक प्रमाण प्रणाली के रूप में समझा जा सकता है क्योंकि सूत्रों के परिचय के लिए कोई नियम नहीं हैं। मुझे लगता है कि हमें कम से कम एक परिकल्पना नियम की आवश्यकता है जो खंडों की शुरूआत की अनुमति देता है।

संकल्प की अपूर्णता

यह ज्ञात है कि संकल्प एक साउंड प्रूफ सिस्टम है। मतलब, अगर हम रिज़ॉल्यूशन का एक क्लॉज़ को रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके प्राप्त कर सकते हैं तो $C$ $F$ । यदि हमारे पास तोरिज़ॉल्यूशन भीपूर्णअर्थ है $\models F \implies C$ तो हमसंकल्प का उपयोग करके से प्राप्त कर सकते हैं। $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

सूत्र पर विचार करें

और । $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

Gentzen की प्रणाली लालकृष्ण या प्राकृतिक कटौती का उपयोग कर में, मैं कर सकते हैं प्राप्त निहितार्थ पूरी तरह से प्रूफ सिस्टम के भीतर। मैं इस निहितार्थ संकल्प का उपयोग कर, क्योंकि अगर मैं के साथ शुरू प्राप्त नहीं सकता , वहाँ कोई resolvents हैं। $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

मैं देखता हूं कि मैं संकल्प का उपयोग करके इस निहितार्थ की वैधता कैसे साबित कर सकता हूं:

सूत्र पर विचार करें $\neg (\varphi \implies \psi)$
मानक वितरण नियमों का उपयोग करके या Tseitin परिवर्तन का उपयोग करके या तो CNF में सूत्र को ऊपर करें
प्राप्त तब्दील सूत्र संकल्प का उपयोग करने से। $\bot$

यह दृष्टिकोण मेरे लिए असंतोषजनक है क्योंकि इसके लिए मुझे स्टेप्स (1) और (2) करने की आवश्यकता है जो कि रिज़ॉल्यूशन प्रूफ सिस्टम के बाहर हैं। तो ऐसा लगता है कि एक बहुत ही स्पष्ट अर्थ है जिसमें संकल्प पूरा नहीं होता है जिस तरह से हम कहते हैं कि प्राकृतिक कटौती या अनुक्रमीय गणना पूर्ण है।

प्रशन

उपरोक्त सभी को देखते हुए, मेरे प्रश्न हैं:

संकल्प पर चर्चा करते समय क्या सबूत प्रणाली पर विचार किया जा रहा है? क्या यह सिर्फ संकल्प नियम है? अन्य नियम क्या हैं?
यह मेरे लिए बहुत स्पष्ट है कि संकल्प इस अर्थ में पूर्ण नहीं है कि प्राकृतिक कटौती और क्रमिक गणना पूर्ण है। क्या उस संकल्प को मानने वाला साहित्य पूरी तरह से दुरुपयोग की शब्दावली है क्योंकि जिस अर्थ में संकल्प पूरा होता है वह उस अर्थ से अधिक दिलचस्प है जिसमें वह अधूरा है?
क्या संकल्प और अन्य जगहों पर पूर्णता की धारणाओं में यह अंतर है और उन्हें साहित्य में अधिक गहराई से कैसे सामंजस्य स्थापित किया जाए?
मुझे यह भी एहसास है कि संकल्प को नियम के अनुसार क्रमबद्ध गणना के भीतर तैयार किया जा सकता है। क्या संकल्प का "सही" प्रमाण सिद्धांतवादी दृष्टिकोण है कि यह सीमान्त पथरी का एक टुकड़ा है जो CNF में सूत्रों की संतुष्टि की जाँच के लिए पर्याप्त है?

— विजय डी
स्रोत

(1) CNF फ़ार्मुलों केवल रिज़ॉल्यूशन (या, यदि आप QBF करते हैं, तो QCNF फ़ॉर्म्स रिज़ॉल्यूशन और फ़ॉरॉल-रिडक्शन के साथ); (2) हाँ, यह के निराकरण पूरा, और अभी भी एक अलग अर्थ है, अर्थात् यदि

तो

।

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— रादु GRIGore

लगभग इसी तरह का सवाल यहाँ। पोस्टिंग के लिए thx। मूल रूप से, iiuc / afaik, रिज़ॉल्यूशन सिस्टम के लिए 1 ऑर्डर लॉजिक की तुलना में बहुत अधिक उपयोग किया जाता है, लेकिन 1 ऑर्डर लॉजिक के भीतर यह "ध्वनि / पूर्ण" है, हालांकि यह हमेशा बहुत अच्छी तरह से वर्णित नहीं किया जाता है, क्योंकि यह अक्सर केवल रीप्रूटेशन प्रूफ के लिए उपयोग किया जाता है। "बड़े" सिस्टम में, जहां शब्द केवल बूलियन वैरिएबल नहीं हैं, लेकिन उदाहरण के लिए अस्तित्वगत क्वालिफायर आदि हैं, यह पूरा नहीं है। तर्क का क्षेत्र शब्दावली की अपनी परिभाषाओं को बहुत अच्छी तरह से मानकीकृत नहीं करता है, बहुत सारे "ओवरलोडिंग" शब्दों के साथ इत्यादि।

— vzn

क्यों कुछ लोग कहते हैं कि यह है "यह के refutationally पूरा", जैसे एल Bachmair और एच Ganzinger, "संकल्प प्रमेय सिद्ध," स्वचालित तर्क की पुस्तिका, खंड। 1, पीपी। 19–99, 2001.

— कोशिश

इस सवाल पर विचार-विमर्श पूर्णता की चर्चा है।

— विजय डी।

जवाबों:

संकल्प पर चर्चा करते समय क्या सबूत प्रणाली पर विचार किया जा रहा है? क्या यह सिर्फ संकल्प नियम है? अन्य नियम क्या हैं?

मैं "खंड" के संदर्भ में संकल्प पर चर्चा करता हूं, जो केवल शाब्दिक रूप से बने अनुक्रम हैं । एक शास्त्रीय क्लॉज तरह दिखेगा लेकिन हम इसे भी लिख सकते हैं

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

और काम के साथ सिर्फ एक sequents दिया। यह के रूप में इन एकतरफा sequents के इलाज के लिए पारंपरिक हैmultisetsशाब्दिक की।

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

क्लॉस तक सीमित एलके में केवल चार इंजेक्शन नियम हैं:

पहचान
कटौती (प्रस्ताव प्रस्ताव)
संकुचन (प्रपोजल फैक्टरिंग)
कमजोर

यह स्पष्ट है कि ये चार नियम क्लॉज़ को समाप्त करने के लिए पूर्ण हैं, अर्थात,

प्रस्ताव 1 किसी भी खंड के लिए और खंड के सेट , हमारे पास यदि और केवल यदि । $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

खंडन सबूत की समस्या धर्मान्तरित के ${\cal S} \vdash C$ , जहां का निषेध का प्रतिनिधित्व खंड का संग्रह है । ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

यह स्पष्ट है कि यदि और केवल यदि । हमारी चार-नियम प्रणाली अभी भी परिवर्तित समस्या को साबित करने के लिए पर्याप्त है, लेकिन हम ध्यान देते हैं कि हमें पहचान की आवश्यकता नहीं है और किसी भी अधिक कमजोर नहीं है। शेष दो नियमों को "रिज़ॉल्यूशन प्रूफ प्रक्रिया" कहा जाता है। ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

प्रस्ताव २ किसी भी खंड के लिए और खंड के सेट , हमारे पास यदि और केवल यदि का उपयोग कर केवल कट और संकुचन। $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

समस्या को प्रतिनियुक्ति प्रमाण में बदलने की बात दो-गुना है:

हमारे पास ड्राइव करके प्रमाण खोज का मार्गदर्शन करने का एक बेहतर अवसर है। $N(C)$
हमारे पास पूर्ण विधेय तर्क पर एक हैंडल है, जिनके सूत्र संतोष को सीएनएफ में बदल सकते हैं।

क्या संकल्प का "सही" प्रमाण सिद्धांतवादी दृष्टिकोण है कि यह सीमान्त पथरी का एक टुकड़ा है जो CNF में सूत्रों की संतुष्टि की जाँच के लिए पर्याप्त है?

वास्तव में!

— उदय रेड्डी
स्रोत

धन्यवाद उदय एक प्रश्न: कट नियम अभी भी परिणाम में मूल सूत्र गोल से खंड रखता है। रिज़ॉल्यूशन में, ये परिणाम में केवल एक क्लॉज के साथ "अनुकूलित" होते हैं। क्या आप इस बात से सहमत होंगे कि यह नियम एक न्यूनतम या स्थानीय नियम है क्योंकि सभी नियम नियम में प्रदर्शित नहीं होते हैं?

— विजय डी।

@VijayD। हम ठीक कट नियम का उपयोग कर रहे हैं, लेकिन जेंटज़ेन से अलग तरीके से। जेंटजेन प्रूफ फॉर्म का होगा

, जहाँ "axioms" नहीं हैं, जबकि रिज़ॉल्यूशन में हम axioms

साथ प्रमाण तैयार कर रहे हैं। आप इस पेपरक्लॉस कंप्लीशनको देखना पसंद कर सकते हैं

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$ ।

— उदय रेड्डी

क्या आप अपने जवाब में यह भी जोड़ सकते हैं कि आपको क्या लगता है कि एक-वाक्य, संकल्प की पूर्णता का सटीक वर्णन है?

— विजय डी।

@VijayD। मेरे मूल उत्तर में दो "अगर और केवल अगर" कथन थे, जो दो पूर्णता गुण थे। स्पष्टता के लिए, मैंने उन्हें आपके लिए प्रस्ताव के रूप में उच्चीकृत किया है। (मुझे अभी तक यकीन नहीं है कि आपका भ्रम कहाँ है? शायद यह उस भाषा के साथ काम करना है जिसके साथ हम काम कर रहे हैं, जैसा कि केव ने निहित किया है?)

— उदय रेड्डी

@VijayD। मुझे नहीं लगता कि आप कह सकते हैं कि संकल्प "अधूरा" है। आप सभी ने अपने मूल प्रश्न में कहा था कि प्रस्ताव के सूत्रों को क्लॉज़ल रूप में रखने के लिए आवश्यक रूपांतर आपके लिए "असंतोषजनक" हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि वे "अपूर्ण" हैं।

— उदय रेड्डी

1)

एकमात्र गैर-संरचनात्मक नियम संकल्प (परमाणुओं पर) है।

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

हालाँकि एक नियम अपने आप में एक सबूत प्रणाली नहीं देता है। भाग 3 देखें।

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

जब तक एक भाषा से दूसरे में "अच्छा" अनुवाद होता है तब तक हम पूर्णता के बारे में बात कर सकते हैं। यह अनिवार्य रूप से मायने रखता है कि हम सूत्रों को एक से दूसरे में अनुवाद कर सकते हैं और इसके विपरीत कुशलता से। आप रॉबर्ट रेकवो की थीसिस की जांच कर सकते हैं जहां वह संयोजी के मुद्दे से निपटता है और दिखाता है कि फ्रीज सिस्टम के लिए साक्ष्यों की लंबाई एक बहुपद से अधिक नहीं बदलती है इसलिए यह पर्याप्त संयोजकों के किसी भी सेट को लेने के लिए एक अर्थ में ठीक है जो इसे पसंद करते हैं।

संकल्प के लिए स्थिति समान है। SAT से 3SAT में कमी करके हम अपना ध्यान CNF पर रोक सकते हैं और परिवर्तन बहुत कुशलता से किया जा सकता है।

ध्यान दें कि रिज़ॉल्यूशन यहाँ अकेला नहीं है, समस्या अन्य प्रूफ सिस्टम पर भी लागू होती है। उदाहरण के लिए बाउंड-डेप्थ फ्रेज को लें, जहां सूत्रों की गहराई को एक स्थिरांक द्वारा बाध्य किया जाना चाहिए ताकि परिभाषा के अनुसार यह सूत्रों के किसी भी अनबाउंड-डेप्थ परिवारों को साबित न कर सके।

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

परिभाषा बहुत सामान्य है और सबूत की संरचना के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करती है। कुछ भी जो इन स्थितियों को संतुष्ट करता है, एक प्रस्ताव प्रमाण प्रणाली है।

हमें इन वस्तुओं में किस वर्ग के सूत्र पर विचार करना चाहिए? सूत्रों के विभिन्न वर्गों पर विचार किया गया है और मुझे पता है कि इस मुद्दे का पहला उपचार रॉबर्ट रेकवो की थीसिस है, जहां वह दर्शाता है कि जब तक एक फ्रीज सिस्टम से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन से संयोजकों का पर्याप्त उपयोग करता है, उन सभी को समतुल्य हैं।

रिज़ॉल्यूशन के बारे में, यदि कोई वास्तव में सभी फ़ार्मुलों के संबंध में पूर्णता चाहता है और न कि केवल CNFs, तो एक निश्चित बहुपद-टाइम ट्रांसलेशन को मनमाने फॉर्मूले से CNFs में प्रूफ सिस्टम में शामिल किया जा सकता है, जिसमें कोई समस्या नहीं है क्योंकि ट्रांसलेशन पॉलीओमियल-टाइम कंप्युटेबल है।

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

रिज़ॉल्यूशन ठीक है जैसा कि यह है, लेकिन कोई भी आपके द्वारा बताए गए तरीके से भी सोच सकता है, अर्थात हम निश्चित रूप से इसे काट नियम के रूप में सोच सकते हैं जब कट फॉर्मूला एक सकारात्मक परमाणु है जो नकारात्मक परमाणुओं को एंटेकेडेंट में ले जाकर रखता है। सक्सेस में सकारात्मक:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

पीएस: मेरा जवाब मुख्य रूप से प्रूफ जटिलता जटिलता सिद्धांत से है। आप संरचनात्मक दृष्टिकोण सिद्धांत जैसे अन्य दृष्टिकोणों की जांच करना चाह सकते हैं ।

संदर्भ:

रॉबर्ट ए। रेकवो, "प्रोपोज़ल की लंबाई पर प्रस्ताव में पथरी ", 1976।

— कावेह
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। मैं देखता हूं कि कैसे उदय इसी तरह की बातें कह रहे हैं, लेकिन मैंने पाया कि मैं उनके जवाब का अधिक आसानी से पालन कर सकता हूं।

— विजय डी।

@VijayD, ज़रूर, कोई बात नहीं। :)

— केव