क्या वर्टिकल कलरिंग - एक अर्थ में - एज कलरिंग हैं?

हम जानते हैं कि एक ग्राफ के किनारे colorings रहे हैं लाइन ग्राफ की जिसका नाम है एक विशेष ग्राफ के शीर्ष colorings के । $G$ $L(G)$ $G$

वहाँ एक ग्राफ ऑपरेटर है ऐसी है कि एक ग्राफ के शीर्ष colorings रहे हैं ग्राफ के किनारे colorings ? मुझे ऐसे ग्राफ ऑपरेटर में दिलचस्पी है, जिसका निर्माण बहुपद समय में किया जा सकता है, यानी ग्राफ बहुपद समय में से प्राप्त किया जा सकता है । $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

टिप्पणी : स्थिर सेट और मिलान के लिए इसी तरह का प्रश्न पूछा जा सकता है। में एक मिलान में एक स्थिर सेट है । क्या कोई ग्राफ़ ऑपरेटर जैसे कि में स्थिर सेट में मिलान हैं ? चूंकि SET is और MATCHING का संबंध , ऐसे ग्राफ ऑपरेटर (यदि मौजूद है) का निर्माण बहुपदीय समय में नहीं किया जा सकता है, तो । $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

EDIT: @ usul के जवाब और @ Okamoto's और @ King की टिप्पणियों से प्रेरित होकर, मुझे अपनी समस्या के लिए एक कमजोर रूप मिला: एक ग्राफ वर्टेक्स रंग हाइपरग्राफ किनारे के रंग इस प्रकार परिभाषित किए गए हैं। के शिखर सेट ही शीर्ष के सेट किया गया है । के प्रत्येक शीर्ष के लिए , बंद पड़ोस हाइपरग्राफ का एक किनारा है । फिर हाइपरग्राफ का लाइन ग्राफ है और इसलिए का वर्टेक्स कलरिंग का एज कलरिंग है । $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

फिर से, मैं उन सभी उत्तरों और टिप्पणियों के लिए आभारी हूं, जो यह दिखाते हैं कि को ग्रहण किए बिना , जिस ऑपरेटर को मैं देख रहा हूं, वह मौजूद नहीं है। यह अच्छा होगा यदि मैं सभी उत्तरों को स्वीकार कर सकूं! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
स्रोत

सभी तरह की टिप्पणियों के लिए धन्यवाद (और धैर्य!) और उपयोगी उत्तर। मुझे पढ़ने के लिए, सोचने के लिए समय चाहिए और संभवत: ताजा आँखों के साथ वापस आ सकते हैं।

— user13136

मैं 1998 में Nishizeki और झोउ द्वारा पेश की गई काफी दिलचस्प समस्या के बारे में आया, जो किसी भी तरह आपके प्रश्न से संबंधित है और आपकी दूसरी टिप्पणी @TsuyoshiIto: क्या शीर्ष-रंग समस्या "बस" किनारे-रंग की समस्या को कम कर सकती है? (...) चूंकि दोनों समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं, या तो एनपी-पूर्णता के सिद्धांत के कारण 3-सैट के माध्यम से अन्य को कम किया जा सकता है। इस प्रकार खुली समस्या पूछती है, ... ( यहाँ देखें )

— vb le

@vble: धन्यवाद! मैं मानता हूं कि मैं "बहुत ज्यादा" चाहता था। इस तरह के एक ऑपरेटर Nishizeki और झोउ समस्या का समाधान होगा।

— user13136

जवाबों:

रेखा ग्राफ के अनुरूप , मुझे लगता है कि आप निम्नलिखित पूछ रहे हैं:

हर अनिर्दिष्ट ग्राफ के लिए , एक अनिर्दिष्ट ग्राफ वहाँ मौजूद नहीं है ऐसा है कि प्रत्येक शिखर बढ़त से मेल खाती है और किनारों के लिए इसी और शेयर कम से कम एक endpoint यदि और केवल यदि $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

इसका उत्तर ना के बराबर देखा जा सकता है । चार शीर्ष पेड़ पर विचार करें जड़ के साथ के तीन बच्चे होने । में :, हम चार किनारों होना आवश्यक है । इसके अलावा, यह मामला होना चाहिए कि या तो $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ या (अन्य तीन किनारों में से प्रत्येक के लिए एक अंतिम बिंदु हैयानी, , आदि)। लेकिन इसका मतलब यह है कि अन्य तीन किनारों में से कम से कम दो को एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करना चाहिए, जो कि हमारी आवश्यकताओं का उल्लंघन करता है क्योंकिमूल ग्राफ़ में दोसमीप नहीं हैं। $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

मुझे लगता है कि एक ही ग्राफ आपको मिलान वाले प्रश्न के लिए एक प्रतिरूप भी देगा।

— usul
स्रोत

अच्छी बात! वास्तव में मेरे भी यही विचार थे। लेकिन शायद वहाँ परिभाषित करने के लिए एक और तरीका है

? या फिर हम औपचारिक रूप से कैसे साबित कर सकते हैं कि इस तरह के एक ऑपरेटर

मौजूद नहीं है?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136, हम्म, शायद इसके आस-पास कुछ रचनात्मक तरीका है, लेकिन आपको अपने प्रश्न को फिर से लिखना होगा (मुझे लगता है कि मेरा काउंटरएक्सप्लिमेंट प्रश्न के लिए एक औपचारिक प्रमाण है जैसा कि उद्धृत बॉक्स में प्रकाशित किया गया है)। सहज रूप से, मुझे लगता है कि समस्या यह है कि लाइन-ग्राफ दिशा में जाने पर, हम एक किनारा लेते हैं (जो केवल दो कोने से जुड़ा जा सकता है) और इसे एक शीर्ष में बदल सकते हैं (जो किसी भी संख्या में किनारों से जुड़ा जा सकता है) - आसान । उल्टा विपरीत और कठिन है।

— यूएसए

बस usul के जवाब में जोड़कर, संक्षिप्त जवाब नहीं है, क्योंकि मिलान में संरचनात्मक गुण हैं जो आवश्यक रूप से स्थिर सेट में मौजूद नहीं हैं। उदाहरण के लिए, हर लाइन ग्राफ भी अर्ध-रेखा और पंजा मुक्त है; यह वास्तव में शीर्ष रंग की तुलना में किनारे colorings की गहराई को सीमित करता है।

— एंड्रयू डी। राजा

इस सवाल में कुछ अस्पष्टता है कि आप "ग्राफ के वर्टेक्स का रंग जी के ग्राफ ग्राफ एच के किनारे का रंग क्या है ", लेकिन यह एनपी-हार्ड एक ग्राफ का निर्माण करने के लिए है जिसका बढ़त क्रोमेटिक संख्या (वर्टेक्स) क्रोमेट संख्या के बराबर है एक दिया गया ग्राफ। औपचारिक रूप से, निम्न संबंध समस्या एनपी-हार्ड है।

के रूप में बढ़त रंगीन संख्या रंगीन संख्या का प्रतिनिधित्व करते हुए
उदाहरण एक ग्राफ: जी ।
समाधान : एक ग्राफ एच ऐसी है कि किनारे रंगीन संख्या χ '( एच ) के एच रंगीन संख्या χ (के बराबर है जी के) जी ।

ऐसा इसलिए है क्योंकि Vizing की प्रमेय एक (तुच्छ) कुशल एल्गोरिथ्म देता है जो कि 1 की एडिटिव एरर के भीतर एज क्रोमैटिक नंबर का अनुमान लगाता है, जबकि विभिन्न इंद्रियों में अनुमानित संख्या भी मुश्किल होती है। उदाहरण के लिए, खन्ना, लिनियल, और सफ़रा [KLS00] ने दिखाया कि निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है (और बाद में गुरुस्वामी और खन्ना [GK04] ने बहुत सरल प्रमाण दिया):

3-रंगीन बनाम गैर-4-रंगीन
उदाहरण : एक ग्राफ जी ।
हां-वादा : जी 3-रंगीन है।
नो-वादा : G 4-colorable नहीं है।

यह परिणाम एनपी-कठोरता को साबित करने के लिए पर्याप्त है जो मैंने शुरुआत में दावा किया था। एक प्रमाण एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है, लेकिन यहां एक संकेत है:

व्यायाम करें । सिद्ध है कि "3-रंगी बनाम गैर-वर्णनीय" को कम करके बहुपद-समय कार्यात्मक पुनर्विकास के तहत एनपी-हार्ड के रूप में उक्त समस्या "एज क्रोमैटिक संख्या के रूप में प्रतिनिधित्व" है। यही कारण है, निर्माण दो बहुपद समय कार्यों च (जो एक ग्राफ के लिए एक ग्राफ के नक्शे) और जी (जो थोड़ा करने के लिए एक ग्राफ के नक्शे) ऐसा है कि

यदि G एक 3-रंगीन ग्राफ है और H एक ग्राफ है जैसे कि f ( f ( G )) = χ '( H ), तो g ( H ) = 1।

यदि G एक गैर-4-रंगीन ग्राफ है और H एक ग्राफ है जैसे कि f ( f ( G )) =) '( H ), तो g ( H ) = 0।

संदर्भ

[जीके ०४] वेंकटेशन गुरुस्वामी और संजीव खन्ना। 4-रंग की कठोरता पर एक 3-रंगीन ग्राफ। असत्य गणित पर SIAM जर्नल , 18 (1): 30-40, 2004. डीओआई: 10.1137 / S0895480100376794 ।

[KLS00] संजीव खन्ना, नाथन लिनियल और शमूएल सफरा। वर्णिक संख्या का अनुमान लगाने की कठोरता पर। कॉम्बिनेटरिका , 20 (3): 393–415, मार्च 2000. डीओआई: 10.1007 / s004930070013 ।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

जवाब देने के लिए धन्यवाद! मैं थोड़ा सा अभेद्य हूं "ग्राफ

शीर्ष रंगांक एक ग्राफ

किनारे के रंग हैं "। क्या मेरा मतलब है एक ऑपरेटर है

लाइन ग्राफ ऑपरेटर की तरह

, लेकिन शिखर colorings से बढ़त colorings के लिए। यह किसी भी तरह से अधिक है

।

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$

— user13136

के बाद से शिखर रंग और किनारे रंग दोनों हैं

-Complete, हम परिभाषा से, निर्माण कर सकते हैं,

से

बहुपद समय में ऐसा है कि

iff

.लेकिन इस तरह के एक निर्माण की जरूरत नहीं एक ऑपरेटर के लिए संपत्ति को पूरा

मैं देख रहा हूँ। यह केवल किनारे की रंगाई को कम करके किनारे की रंगाई को कम करता है।

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136: यदि एक कमजोर आवश्यकता को संतुष्ट करना असंभव है, तो मजबूत आवश्यकता स्पष्ट रूप से असंभव है। यह तर्क है। आपको यह समझना चाहिए कि आपका प्लानर ग्राफ उदाहरण इसके प्रति प्रतिपक्ष नहीं है। किसी दिए गए प्लानर ग्राफ की 3-वर्णनीयता तय करना किसी दिए गए प्लानर ग्राफ की 4-colorability तय करने की तुलना में एक कमजोर आवश्यकता नहीं है; वे सिर्फ अलग-अलग आवश्यकताएं हैं। दूसरी ओर, मैंने पहले ही दिखाया कि आप जो चाहते हैं वह तब तक असंभव है जब तक कि पी = एनपी, अवधि। लेकिन अगर आपको यह समझने में परेशानी होती है, तो मुझे नहीं लगता कि ऐसा कुछ भी हो सकता है जो मैं आपको समझने में मदद कर सकूं।

— Tsuyoshi Ito

अगर मैं सवाल सही ढंग से समझ, इस तरह के एक नक्शे के

मौजूद नहीं है। हमें एनपी-पूर्णता को संदर्भित करने की आवश्यकता नहीं है। बस पर विचार

और इस तरह लगता है

मौजूद है। चूँकि

2-colorable है,

2-edge-colorable होना चाहिए। इस की अधिकतम डिग्री का मतलब है

सबसे दो पर है। चूंकि

चार किनारों है, हम के लिए सभी उम्मीदवारों के माध्यम से जा सकते हैं

Φ

$\Phi$

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$ (समाकृतिकता अप करने के लिए सात उम्मीदवारों), और हम उस के किनारे colorings के परिवार मिल जाएगा

और के शिखर colorings के परिवार

अलग हैं। एक विरोधाभास।

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

— योशियो ओकामोटो

@ user13136: यह मेरे लिए हुआ है कि आप भ्रमित हो सकते हैं क्योंकि मैंने केवल एक सबूत विचार लिखा था और मैंने वास्तविक प्रमाण छोड़ दिया। मैंने उत्तर को संशोधित किया ताकि यह स्पष्ट हो जाए कि मैंने वास्तविक प्रमाण को छोड़ दिया, और प्रमाण के लिए कुछ संकेत जोड़े। अगर यह अभी भी आपके लिए काम नहीं करता है, तो मैं छोड़ दूंगा।

— त्सुयोशी इतो

(यह usul का जवाब और YoshioOkamoto की टिप्पणी करने के लिए एक अतिरिक्त, बल्कि एक जवाब से है।) यह देखा जा सकता है कि अपने ऑपरेशन उन रेखांकन के लिए ही मौजूद है जिसके लिए एक ग्राफ है के साथ , यानी एक रेखा ग्राफ (बहुमूत्र में जाँच योग्य) है। इस मामले में, 'उलटी लाइन ग्राफ ऑपरेटर "है , यानी , और के शिखर colorings के किनारे colorings हैं । $\Phi$ $G$ $G'$ $G = L(G')$ $G$ $\Phi$ $L^{-1}$ $\Phi(G)=G'$ $G$ $\Phi(G)$

— सिद्धांत रूप में
स्रोत