सटीक प्लांटर विद्युत प्रवाह

Question

एक प्लानर ग्राफ जी के रूप में तैयार किए गए विद्युत नेटवर्क पर विचार करें, जहां प्रत्येक किनारे 1or अवरोधक का प्रतिनिधित्व करता है। कितनी जल्दी हम जी में दो कोने के बीच सटीक प्रभावी प्रतिरोध की गणना कर सकते हैं ? समान रूप से, कितनी तेजी से हम प्रत्येक किनारे के साथ बहने वाली सटीक धारा की गणना कर सकते हैं यदि हम 1 वी बैटरी को दो कोने में जी को जोड़ते हैं?

किरचॉफ के प्रसिद्ध वोल्टेज और वर्तमान कानून इस समस्या को कम करते हैं जो एक चर प्रति छोर के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं। अधिक हाल के परिणाम - स्पष्ट रूप से क्लेन और रैंडिक द्वारा वर्णित (1993) लेकिन डॉयल और स्नेल (1984) के पहले के काम में निहित - एक नोड प्रति चर के साथ एक रैखिक प्रणाली को हल करने की समस्या को कम करना, उस नोड की क्षमता का प्रतिनिधित्व करना ; इस रैखिक प्रणाली के लिए मैट्रिक्स ग्राफ का लाप्लासियन मैट्रिक्स है।

या तो रेखीय प्रणाली में बिल्कुल हल किया जा सकता नेस्टेड विच्छेदन और प्लानर विभाजक [का उपयोग कर समय लिप्टन गुलाब Tarjan 1979 ]। क्या यह सबसे तेज़ एल्गोरिथम ज्ञात है?$O(n^{3/2})$

स्पीलमैन, टेंग, और अन्य के हालिया सेमिनल परिणामों का अर्थ है कि मनमाने ढंग से रेखांकन में लाप्लासियन प्रणाली को लगभग रैखिक समय में हल किया जा सकता है । वर्तमान सर्वश्रेष्ठ दौड़ के समय के लिए [ कौटी मिलर पेंग 2010 ] देखें , और उच्च स्तर के अवलोकन के लिए सीमन्स फाउंडेशन में एरिका कलेरेइच का यह अद्भुत लेख । लेकिन मैं विशेष रूप से प्लानर रेखांकन के लिए सटीक एल्गोरिदम में रुचि रखता हूं ।

निरंतर समय में सटीक वास्तविक अंकगणितीय का समर्थन करने वाले गणना का एक मॉडल मान लें।

Comments

$O(m \cdot n)$

Answer 1

$O(\sqrt{n^\omega})$

पूर्व कागज में एक दृष्टिकोण शामिल है कि में एक आम चेहरे पर कोने के बीच जोड़ीदार प्रतिरोधों की गणना कैसे करें$O(\sqrt{n^\omega})$। केनियन के इस पत्र में सहायक विचार भी हो सकते हैं।