NC = P परिणाम?

कॉम्प्लेक्सिटी ज़ू, EXP पर प्रविष्टि में इंगित करता है कि यदि L = P तब PSPACE = EXP। चूँकि NPSPACE = सेविक द्वारा PSPACE , जहाँ तक मैं बता सकता हूँ अंतर्निहित गद्दी तर्क यह दर्शाने के लिए विस्तारित है कि हम यह भी जानते हैं कि रुज़ो के संसाधन-बाउंड अल्टरनेटिंग पदानुक्रम के माध्यम से L NL NC P।

(NL = P) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

यदि NC = P, तो क्या यह PSPACE = EXP का अनुसरण करता है?

रिचर्ड लिप्टन की भावना में प्रश्न की एक अलग व्याख्या: क्या यह अधिक संभावना है कि पी में कुछ समस्याओं को समानांतर नहीं किया जा सकता है, इससे अधिक किसी भी घातीय-समय की प्रक्रिया को बहुपद स्थान से अधिक की आवश्यकता नहीं है?

मैं नेकां = पी के अन्य "आश्चर्यजनक" परिणामों में भी दिलचस्पी लूंगा (बेहतर होने की संभावना नहीं)।

संपादित करें: रयान का जवाब एक और सवाल की ओर जाता है: सबसे कमजोर परिकल्पना क्या है जिसे PSPACE = EXP की गारंटी के लिए जाना जाता है?

डब्ल्यू। सैविच। नॉनडेर्मिनिस्टिक और नियतात्मक टेप जटिलताओं के बीच संबंध, जर्नल ऑफ कंप्यूटर एंड सिस्टम साइंसेज 4 (2): 177-192, 1970।
डब्लू एल रुज़ो। एकरूप सर्किट जटिलता पर, कंप्यूटर और सिस्टम साइंसेज 22 के जर्नल (3): 365-383, 1971।

संपादित करें (2014): पुराने चिड़ियाघर लिंक को अपडेट किया और अन्य सभी वर्गों के लिए लिंक जोड़े।

cc.complexity-theory conditional-results

— आंद्रस सलामन
स्रोत

जैसा कि मुझे यकीन है कि मैं केवल यही नहीं जानता कि NC क्या है, यहां एक लिंक है: en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— एमिल

@Andras: एक अन्य परिणाम जो शायद आप पहले से ही पता है, लेकिन अभी तक का उल्लेख नहीं किया गया है, यह है कि उसके बाद , पदानुक्रम पतन के बाद से के तहत पूरा समस्या है

-reductions।

N C

$\mathsf{NC}$

P

$\mathsf{P}$

L

$\mathsf{L}$

— जोशुआ ग्रोको

जवाबों:

हाँ। को स्पेस और समय का उपयोग करने वाली ट्यूरिंग मशीनों द्वारा मान्यता प्राप्त भाषाओं के वर्ग के रूप में देखा जा सकता है । (यह पहली बार रज़ो द्वारा सिद्ध किया गया था।) वह वर्ग है जहाँ बारी-बारी से ट्यूरिंग मशीनें स्पेस का उपयोग करती हैं, लेकिन समय ले सकती हैं । संक्षिप्तता के लिए आइए इन कक्षाओं को कहें $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ और । $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

मान लीजिए दोनों वर्ग समान हैं। की जगह के साथ ऊपर में (यानी, को लागू करने के मानक अनुवाद lemmas), एक प्राप्त $n$ $2^n$

। $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

अगर तो में अच्छी तरह से, के बाद से देखते हैं में -Complete भाषाओं । $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

संपादित करें: यद्यपि उपरोक्त उत्तर संभवतः अधिक शैक्षिक है, यहाँ एक सरल तर्क है: पहले से ही " पॉलीग्लोस स्पेस में निहित है" और मानक अनुवाद है। $EXP = PSPACE$ $P$ नोट " पॉलीग्लोन स्पेस में निहित है" तुलना में बहुत कमजोर परिकल्पना है । $P$ $NC = P$

अधिक विवरण: चूंकि सर्किट परिवारों में कुछ स्थिर के लिए गहराई है, ऐसे हर सर्किट परिवार का मूल्यांकन अंतरिक्ष में किया जा सकता है। इसलिए । तो तात्पर्य $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ । अनुवाद (जगह लागू करने के साथ ) का मतलब । एक के अस्तित्व में -Complete भाषा तर्क खत्म। $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

अपडेट: एंड्रियास 'अतिरिक्त प्रश्न को संबोधित करते हुए मेरा मानना है कि यह की तरह कुछ साबित करने के लिए संभव हो जाना चाहिए: iff सभी के लिए , में हर polynomially विरल भाषा समय व्याख्या करने योग्य है बहुवचन स्थान। (बहुपद के रूप में विरल होने का मतलब है कि भाषा में सबसे अधिक लंबाई तार हैं, सभी $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ ।) अगर सही है तो सबूत शायद Hartmanis, Immerman की तर्ज पर जाती थी, और Sewelson के सबूत है कि में हर polynomially विरल भाषा iff में निहित है । (ध्यान दें, polylog अंतरिक्ष में समय अभी भी काफी मतलब है ।) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— रेयान विलियम्स
स्रोत

अच्छे उत्तर के लिए धन्यवाद। डेक्सटर कोज़ेन की थ्योरी ऑफ़ कम्प्यूटेशन में रुज़ो की कक्षाओं के लिए 69 "

जहां

सीमा स्थान,

सीमा समय, और

सीमा विकल्प के लिए एक अच्छा" वर्दी "अंकन है । फिर

, जबकि

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

जो वास्तव में निर्माण पर प्रकाश डाला गया।

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— आंद्र सलाम

ध्यान दें कि मैं ऊपर में

कह रहा हूं । हालाँकि मुझे लगता है कि ये वही हैं। एक मशीन जो बहुपद समय और

स्थान लेती है लेकिन केवल

विकल्प को एक अन्य वैकल्पिक मशीन में बदल दिया जा सकता है जो केवल

लेता है।

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

समय और

स्थान। (दूसरी दिशा स्पष्ट है।) यह विचार अधिक विकल्पों को सम्मिलित करना है ताकि प्रत्येक बहुपद समय अस्तित्व का चरण और सार्वभौमिक चरण केवल

समय और

अंतरिक्षमें चलने के लिए "स्पेड अप" हो।, सैविच की प्रमेय की तर्ज पर।

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— रयान विलियम्स

हमें जो कुछ आवश्यक है वह एक प्रकार की चिकनाई स्क्रिप्ट है जो स्वचालित रूप से चिड़ियाघर में प्रवेश के लिए "\ NP" जैसी किसी चीज़ को जोड़ता है।

— सुरेश वेंकट

(मैंने रयान के उत्तर को देखा है, लेकिन मैं सिर्फ एक और परिप्रेक्ष्य प्रदान करना चाहता था, जो एक टिप्पणी में फिट होने के लिए बहुत लंबा था।)

में सबूत, सभी कि आप एल के बारे में पता करने की जरूरत, अनौपचारिक रूप से, यह है कि जब एक घातीय से उड़ा दिया, एल PSPACE हो जाता है। एक ही सबूत एनएल के लिए के माध्यम से चला जाता है, क्योंकि एनएल एक घातीय द्वारा उड़ा भी PSPACE बन जाता है। $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

इसी तरह, जब NC एक घातीय द्वारा उड़ा दिया जाता है, तो आपको PSPACE मिलता है। मुझे सर्किट के संदर्भ में यह देखना अच्छा लगता है: NC बहुपद के आकार के साथ बहुपद आकार के सर्किट का वर्ग है। जब उड़ा दिया जाता है, तो यह बहुपद गहराई के साथ घातीय आकार के सर्किट बन जाते हैं। एक दिखा सकता है कि यह बिल्कुल PSPACE है, एक बार उपयुक्त एकरूपता की शर्तें जोड़ दी गई हैं। मुझे लगता है कि यदि NC को L- एकरूपता के साथ परिभाषित किया गया है, तो यह PSPACE-एकरूपता प्राप्त करेगा।

प्रमाण आसान होना चाहिए। एक दिशा में, TQBF की तरह एक PSPACE- पूरी समस्या ले लो और घातीय आकार के AND और द्वार का उपयोग कर मात्रात्मक व्यक्त करें। दूसरी दिशा में, बहुपद गहराई सर्किट को पुनरावर्ती रूप से ट्रेस करने का प्रयास करें। स्टैक का आकार बहुपद होगा, इसलिए इसे PSPACE में किया जा सकता है।

अंत में, मैं इस तर्क के साथ आया था जब मैंने सवाल देखा था (और रयान के जवाब को पढ़ने से पहले), इसलिए कीड़े हो सकते हैं। कृपया उन्हें इंगित करें।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

एक सुधार: नेकां में बहुपद आकार और बहुभुज गहराई के सर्किट होते हैं, लेकिन यह अनुवाद के बाद भी केवल बहुपद गहराई है।

— रयान विलियम्स

@Ryan: आप सही कह रहे हैं। मैं ठीक कर दूँगा।

— रॉबिन कोठारी

यहां टाइम-स्पेस बाउंडेड ऑल्टरनेटिंग ट्यूरिंग मशीन के दृष्टिकोण से थोड़ा और विस्तार है।

मान लीजिए कि । $P = NC$

चूंकि , हमें $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

पी = ए टी मैं एस पी ((लॉग (n))^{हे (1)}, हे (लॉग (n))) ।

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

अब, रैखिक समय सार्वभौमिक अनुकार समस्या जहां हमें एक ट्यूरिंग मशीन पर एन्कोडिंग और लंबाई का एक इनपुट स्ट्रिंग है और हम यह जानना चाहते हैं कि क्या अधिकांश चरणों में स्वीकार करता है । $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

हम जानते हैं कि । इसलिए, वहां मौजूद एक निरंतर (पर्याप्त रूप से बड़े) ऐसा है कि $LinU \in P$ $c$

(*) एल मैं n यू \in ए टी मैं एस पी ({लॉग}^{सी} (n), सी लॉग (n)) ।

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

एक पैडिंग तर्क के परिणामस्वरूप (एक छोटी सी टिप्पणी देखें), हमारे पास

(1) डी टी मैं एम ए (n) \subseteq ए टी मैं एस पी ({लॉग}^{सी} (n), सी लॉग (n)) ।

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

पैडिंग तर्क का विस्तार, हमें मिलता है

(2) डी टी मैं एम ए (n^{कश्मीर}) \subseteq ए टी मैं एस पी ({कश्मीर}^{सी} {लॉग}^{सी} (n), कश्मीर सी लॉग (n)) ।

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) डी टी मैं एम ए (2^{n^{कश्मीर}}) \subseteq ए टी मैं एस पी ({कश्मीर}^{सी} n^{कश्मीर सी}, कश्मीर सी n^{कश्मीर}) ।

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

इसके अलावा, वैकल्पिक समय-स्थान बाध्य ट्यूरिंग मशीनों के अनुकरण के बारे में ज्ञात परिणाम हैं। विशेष रूप से, हम जानते हैं कि

ए टी मैं एस पी ({लॉग}^{सी} (n), सी लॉग (n)) \subseteq डी एस पी ए सी ए (हे ({लॉग}^{सी + 1} (n))) ।

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

इसलिए, हम (अनिवार्य) सभी प्राकृतिक संख्या के लिए निम्नलिखित है : $k$

(2^{*}) डी टी मैं एम ए (n^{कश्मीर}) \subseteq डी एस पी ए सी ए ({कश्मीर}^{सी + 1} {लॉग}^{सी + 1} (n))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3^{*}) डी टी मैं एम ए (2^{n^{कश्मीर}}) \subseteq डी एस पी ए सी ए (n^{कश्मीर (सी + 1)}) ।

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

से , हम मिलेगा कि । $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

==================== विचार के बाद ====================

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि तात्पर्य कुछ निरंतर के लिए । $P = NC$

ए टी मैं एस पी ((लॉग (n))^{हे (1)}, हे (लॉग (n))) = ए टी मैं एस पी ({लॉग}^{सी} (n), हे (लॉग (n)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

किसी भी टिप्पणी या सुधार का स्वागत किया जाता है। :)

— माइकल वेहर
स्रोत

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

@ टर्बो अनुवर्ती के लिए धन्यवाद !! मैं वास्तव में लगता है कि आप से पेज 370 के तल पर परिभाषा पढ़ना चाहिए: sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— माइकल Wehar

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$