मेरा दावा है कि "प्राकृतिक बूलियन सीएसपी" के लिए, यदि k -restricted संस्करण P में प्रत्येक k के लिए है , तो अप्रतिबंधित संस्करण P में भी है। मैं नीचे "प्राकृतिक बूलियन CSP" को परिभाषित करूंगा।
शेफर के प्रमेय में कहा गया है कि बुलियन सीएसपी एक सीमित सेट पर संबंधों के एस पी में है यदि निम्न में से कम से कम एक स्थिति संतुष्ट है और अगर उनमें से कोई भी संतुष्ट नहीं है तो यह एनपी-पूर्ण है:
- S में प्रत्येक संबंध (स्थिर 0 को छोड़कर) अपने सभी चर को 1 असाइन करके संतुष्ट है।
- S में प्रत्येक संबंध (स्थिर 0 को छोड़कर) अपने सभी चर को 0 निर्दिष्ट करके संतुष्ट है।
- S में प्रत्येक संबंध 2-CNF सूत्र के बराबर है।
- S में हर रिश्ता हॉर्न-क्लॉज फॉर्मूला के बराबर है।
- S में प्रत्येक संबंध एक दोहरे-हॉर्न-क्लॉज सूत्र के बराबर है। ("ड्यूल-हॉर्न-क्लॉज फॉर्मूला" का मतलब एक CNF फॉर्मूला है, जिसमें प्रत्येक क्लॉज में अधिकतम एक पॉजिटिव लिटर होता है)।
- एस में हर रिश्ता एफाइन क्लॉज के संयोजन के बराबर है।
अब मान लें कि पी P एनपी, और उस मामले पर विचार करें जहां एस अनंत है। यदि k -restricted संस्करण हर k के लिए P में है , तो Schaefer के प्रमेय द्वारा, S का प्रत्येक परिमित उपसर्ग उपरोक्त छः स्थितियों में से कम से कम एक को संतुष्ट करता है, और इसका अर्थ है कि पूरा सेट S , कम से कम छह स्थितियों में से एक को संतुष्ट करता है। क्या इसका मतलब यह है कि यह सीएसपी बिना किसी प्रतिबंध के पी में भी है? अभी नहीं।
जब एस अनंत होता है, तो हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि इनपुट सूत्र में प्रत्येक खंड कैसे दिया गया है। हम मानते हैं {0,1} से कुछ surjective मानचित्रण है कि वहाँ * करने के लिए एस , जिसमें संबंधों की एन्कोडिंग निर्दिष्ट करता है एस । एक बूलियन सीएसपी एस और इस एन्कोडिंग फ़ंक्शन दोनों को देकर निर्दिष्ट किया जाता है।
ध्यान दें कि ऊपर के 3, 4, 5 और 6 में से प्रत्येक में, स्थिति को संतुष्ट करने वाले संबंधों का प्रतिनिधित्व करने का एक प्राकृतिक तरीका है: केस 3 में 2-CNF फॉर्मूला, केस 4 में एक हॉर्न-क्लॉज फॉर्मूला, और इसी तरह। भले ही एक संबंध 2-CNF सूत्र के बराबर (कहते हैं), इसमें कोई प्राथमिकता नहीं है कि इसकी एन्कोडिंग 2-CNF सूत्र के लिए एक आसान पहुँच प्रदान करती है जो इसके बराबर है।
अब हम कहते हैं कि एक बूलियन CSP स्वाभाविक है जब इसका एन्कोडिंग फ़ंक्शन निम्न को संतुष्ट करता है:
- किसी संबंध की एन्कोडिंग और उसके सभी चर को असाइन करना, चाहे वह संबंध संतुष्ट हो या नहीं, इसकी गणना बहुपद समय में की जा सकती है। (नोट: यह सुनिश्चित करता है कि प्रश्न में सीएसपी हमेशा एनपी में हो।)
- 3, 4, 5, या 6 संबंध संतोषजनक स्थिति की एन्कोडिंग को देखते हुए, ऊपर निर्दिष्ट के रूप में इसके प्राकृतिक प्रतिनिधित्व को बहुपद समय में गणना की जा सकती है।
फिर यह देखना आसान है कि यदि S ऊपर की छह स्थितियों में से एक को संतुष्ट करता है और S के लिए एन्कोडिंग इस "स्वाभाविकता" स्थिति को संतुष्ट करता है, तो हम संबंधित एल्गोरिथ्म को लागू कर सकते हैं। शुरुआत में मैंने जो दावा किया था वह पी = एनपी और पी ≠ एनपी के मामले पर विचार करके साबित किया जा सकता है।