"किनारे या पृथक शीर्ष" विलोपन खेल की रणनीति जीतना

Question

क्या यह सही जानकारी वाला खेल रेखांकन पर खेला गया है / जानते हैं?

एक ग्राफ को देखते हुए $G= (V,E)$, दो खिलाड़ी वैकल्पिक रूप से एक किनारे या एक अलग नोड उठाते हैं । यदि खिलाड़ी एक किनारे उठाता है $e = (u,v)$ तो दो नोड्स $u$ और $v$ उनके घटना किनारों के साथ हटा दिए जाते हैं। यदि खिलाड़ी एक अलग नोड चुनता है, तो नोड हटा दिया जाता है। खेल को स्थानांतरित करने में असमर्थ पहला खिलाड़ी खेल खो देता है।

विजेता को खोजने की जटिलता क्या है?

इसी तरह के खेल के लिए कोई संदर्भ?

Comments

मुझे लगता है कि अलग-थलग नोड को हटा दिया गया है तो क्या होगा? यदि ऐसा है, तो खिलाड़ी 0 सभी गैर-रिक्त रास्तों पर भी जीत जाता है, जिससे समस्या को दो समान घटकों में विभाजित करके पहले कदम को खर्च किया जाता है और फिर विरोधियों को प्रतिबिंबित किया जाता है ताकि तत्समय से इसके विपरीत घटक पर आगे बढ़ें। इसका मतलब है कि खिलाड़ी 1 चक्र पर जीत जाता है, क्योंकि पहली चाल एक समस्या को कम करती है।

— योनातन एन

@ योनातन: हाँ एक अलग नोड उठाया जा सकता है (और हटाया); लेकिन समरूपता की रणनीति समान लंबाई के पथों पर काम करती है (खिलाड़ी 0 पहली चाल के रूप में 2 केंद्रीय नोड्स चुनता है, फिर खिलाड़ी 1 की चालों को प्रतिबिंबित करता है), लेकिन विषम लंबाई के रास्तों पर नहीं: रणनीति को लंबाई के पथ पर लागू करने का प्रयास करें 11, और यह काम नहीं करता है (वास्तव में लंबाई 11 के लिए विजेता 1 खिलाड़ी है)।

— मरजियो दे बियासी

@ मर्ज़ियो डी बयासी: मुझे खेद है लेकिन जब मैं अच्छा खेल खेलता हूं तो आम तौर पर हाथ से खेलता हूं। जब तक मैंने गलतियाँ नहीं कीं, खिलाड़ी 0 में जीतने की रणनीति है: निरीक्षण करें कि: a) P1, P2, P5 और P8 के लिए, खिलाड़ी 0 हमेशा जीतता है। बी) पी 3 और पी 7 के लिए, खिलाड़ी 1 हमेशा जीतता है। c) P4 और P6 के लिए, खिलाड़ी 0 जीतने या हारने का फैसला कर सकता है। अब P11 के मामले में: - v1, v2, ... v11 के साथ P11 के नोड्स की संख्या। - खिलाड़ी 0 किनारे v9, v10 लेता है और बाकी अलग नोड v11 और P8 है। यदि खिलाड़ी 1 v11 लेता है, तो खिलाड़ी 0 जीतेगा क्योंकि उसके पास एक समान रास्ता है। अन्यथा, खिलाड़ी 0 ए, बी) और सी) से जीत जाएगा।

— user13136

मेरे कार्यक्रम के अनुसार , n≤100 का मान ऐसा है कि पहला खिलाड़ी n शीर्षासन वाले खेल में हार जाता है 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91, और 95. दुर्भाग्य से, मैं विषम होने के अलावा कोई भी पैटर्न नहीं देखता (जो पहले से ही ज्ञात था), और OEIS कोई मैच नहीं दिखाता है।

— त्सुशी जोतो

@TsuyoshiIto: ... जोड़ीदार अंतर लें: (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) और आपको 4 4 4 4 4 4 ... यह एक लगता है पैटर्न :-) .... (३ ... २३) ... (३ .... ... ५ ...) ... ()१ ... ९९) और आप २० २० २० ... एक और! :-D

— मारजियो दे बियासी

Answer 1

मैं केवल एक आत्म-उत्तर के रूप में एक अपडेट पोस्ट करता हूं ताकि इसे प्रश्न से अलग रखा जा सके ( जो अभी भी खुला है )।

जैसा कि टिप्पणियों में दिखाया गया है (Tsuyoshi Ito के लिए धन्यवाद) समस्या बहुपद-काल-पथ के लिए हल करने योग्य है:

IIF ( एन आधुनिक 34 ) ∈ { 3 , 7 , 23 , 27 $Win(P_n) = 1$$(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

0 से शुरू, (nim मानों की गणना) अनुक्रम आवधिक है:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

मैंने कठोर गणितीय प्रमाण पर काम नहीं किया, लेकिन विचार यह है:

लगता है कि हम गणना तत्व करना चाहते , तो पहला कदम (एक बढ़त लेने) रास्ते में विभाजित कर सकते हैं ⌈ n / 2 ⌉ अलग अलग तरीकों से (n-2,0), (एन-3,1), ( एन-4,2), ...)। नया निम मान इसके बराबर है:$Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

सेट के पहले 34 तत्वों को पहले गैर दोहराव अनुक्रम (0,1,1,0, ...) द्वारा उत्पादित किया जाता है (nim) दोहराए गए अनुक्रम के तत्वों के साथ तत्व से शुरू होने वाले रिवर्स ऑर्डर में तत्व ।$(34-2-x) \bmod 34$

उदाहरण के लिए: :$x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

X = 0..33 के लिए परिणामी मेक्सिको अनुक्रम दोहराए गए अनुक्रम के बराबर है:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

सेट के शेष तत्व केवल दोहरा अनुक्रम (ओं) पर calulated रहे हैं: (के लिए जे ≥ 34 जोड़े दोहराए जाते हैं, इसलिए वे मेक्सिको के परिणाम को बदल नहीं देते हैं)। X = 0..33 के लिए परिणामी मेक्सिको अनुक्रम है:$rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$$j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

जो और x = 33 को छोड़कर दोहराए जाने वाले अनुक्रम के बराबर है ; लेकिन मान गैर-दोहराव अनुक्रम पर संबंधित मैक्सिको की तुलना में कम हैं, इसलिए:$x=16$$x=33$

= मीटर ई एक्स { पी एन - 2 + पी 0 , पी एन - 3 + पी 1$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

और के लिए , डब्ल्यू मैं n ( पी कश्मीर * 34 + x ) = डब्ल्यू मैं n ( पी 34 + x ) = डब्ल्यू मैं n ( पी एक्स$(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

Comments

मेरी गणना के अनुसार, पहले खिलाड़ी के पास लिए एक जीत की रणनीति है , जो आपके दावे के लिए एक उदाहरण देता है W i n ( P n ) = 1 iff ( $P_{23}$$Win(P_n)= 1$ । $(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136: क्या आपने nim मानों की जाँच की है? के लिए nim मान 0 है (मैं एक अलग कार्यक्रम के साथ त्सुयोशी का ही मान मिल गया, लेकिन शायद हम दोनों गलत हैं)। $P_{23}$

— मार्जियो डी बियासी

मुझे लगता है कि आपके कार्यक्रमों में संभावित खामी की अनदेखी हो सकती है , जिस स्थिति में पहला खिलाड़ी हमेशा हारता है। यदि आप चाहते हैं, तो हम केस पी 23 अब खेल सकते हैं। $P_0$$P_{23}$

— user13136

क्षमा करें, मुझे अब निकलना होगा।

— user13136

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$