संख्या क्षेत्रों में फैक्टरिंग की जटिलता

Question

सामान्य संख्या क्षेत्रों में पूर्णांक फैक्टरिंग की कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है? अधिक विशेष रूप से:

1. पूर्णांक से अधिक हम उनके बाइनरी विस्तार के माध्यम से पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। सामान्य संख्या क्षेत्रों में पूर्णांकों का समरूप निरूपण क्या है?
2. क्या यह ज्ञात है कि संख्या क्षेत्रों की अधिकता P या BPP में है?
3. संख्या क्षेत्रों पर फैक्टरिंग के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिदम क्या हैं? ( $\exp \sqrt n$ और (जाहिरा तौर पर)$\exp n^{1/3}$ एल्गोरिदम से विस्तार$\mathbb{Z}$?) यहाँ, फैक्टरिंग एक नंबर के कुछ प्रतिनिधित्व पाने के लिए संदर्भित करता है (द्वारा प्रतिनिधित्व$n$ अभाज्य संख्या का एक उत्पाद के रूप में बिट्स)।
4. किसी संख्या क्षेत्र में पूर्णांक के सभी कारकों को खोजने की जटिलता क्या है? गिनती के कितने अलग-अलग कारक हैं?
5. ओवर $\mathbb{Z}$ यह ज्ञात है कि यदि किसी दिए गए नंबर में एक अंतराल $[a,b]$ का कारक है, तो यह तय करना NP- कठिन है। संख्या क्षेत्रों में पूर्णांक की अंगूठी पर, क्या यह मामला हो सकता है कि अगर कोई ऐसा मुख्य कारक है जिसका मान एक निश्चित अंतराल में है तो पहले से ही एनपी-हार्ड है?
6. क्या बीक्यूपी में संख्या क्षेत्रों में फैक्टरिंग है?

टिप्पणी, प्रेरणा और अद्यतन।

बेशक तथ्य यह है कि संख्या क्षेत्रों पर गुणनखंड अद्वितीय नहीं है, यहाँ महत्वपूर्ण है। प्रश्न (विशेष रूप से भाग 5) जीएलएल पर इस ब्लॉग पोस्ट से प्रेरित था ( इस टिप्पणी को देखें ), और इससे पहले भी TCSexchange प्रश्न। मैंने इसे अपने ब्लॉग पर भी प्रस्तुत किया, जहाँ लायर सिल्वरमैन ने गहन उत्तर प्रस्तुत किया ।

Comments

क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं? खेतों में फैक्टरिंग कैसे सीधे पूर्णांक फैक्टरिंग से अलग है?

— vzn

(0) के लिए: मैं आमतौर पर एक नंबर क्षेत्र लगता है कि के रूप में प्रस्तुत किया जाता है क्यू [ ξ ] / ⟨ φ ⟩ जहां φ एक अलघुकरणीय बहुपद है। फिर, का एक तत्व कश्मीर जोड़े की एक टपल है ( ( एन 0 , डी 0 ) , ( एन 1 , डी 1 ) , ... , ( एन δ - 1 , डी δ - 1 ) ) जहां δ = $\mathbb K$$\mathbb Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$\mathbb K$$((n_0,d_0),(n_1,d_1),\dotsc,(n_{\delta-1},d_{\delta-1}))$ । इसका मतलब है कि आपके तत्व है n 0 / डी 0 + n 1 ξ / घ 1 + ⋯ + n δ - 1 ξ δ - 1 / घ δ - 1 । $\delta=\deg(\varphi)$$n_0/d_0+n_1\xi/d_1+\dotsb+n_{\delta-1}\xi^{\delta-1}/d_{\delta-1}$

— ब्रूनो

@ क्या आपने पहले इस किताब को देखा है? springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-55640-4 मेरे पास इस समय मेरी प्रति तक पहुँच नहीं है (हालाँकि मैं कुछ दिनों में फिर से जाऊँगा, और इस पर जाँच करूँगा)। मैं यह देखना चाहूंगा कि क्या (i) बीजीय संख्या वाले क्षेत्रों, या (ii) Dedekind डोमेन में गुणन के बारे में कुछ लिखा है, वर्ग संख्या के साथ> 1.

— डैनियल एपोन

@vzn: गिल के मुंह में शब्दों को डाले बिना, मुझे पूरा यकीन है कि उनका मतलब है परिमेय का परिमित विस्तार (वास्तव में आप इससे जुड़े हुए हैं)। जब वह कहता है "ऐसे क्षेत्र में फैक्टरिंग", मुझे पूरा यकीन है कि वह इस तरह के क्षेत्र के पूर्णांकों की अंगूठी में फैक्टरिंग का मतलब है। उसी विकिपीडिया पृष्ठ से जुड़ा हुआ है जिसमें एक बीजीय संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों की अंगूठी पर एक खंड है।

— जोशुआ ग्रोचो

@vzn संख्या-फ़ील्ड चलनी फ़ैक्टर पूर्णांक के लिए संख्या फ़ील्ड का उपयोग करती है।

— युवल फिल्मस

Answer 1

निम्नलिखित उत्तर मूल रूप से गिल के ब्लॉग पर एक टिप्पणी के रूप में पोस्ट किया गया था

(1) एक संख्या क्षेत्र है, जहाँ हम मानते हैं कि α में एक न्यूनतम न्यूनतम बहुपद f ial Z [ x ] है । एक तो α में बहुपद के रूप में पूर्णांक O K की अंगूठी के तत्वों का प्रतिनिधित्व कर सकता है या एक अभिन्न आधार के संदर्भ में - दो समान हैं।$K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha$$f\in\mathbb{Z}[x]$$\mathcal{O}_K$$\alpha$

अब ( K ) में फिक्सिंग के रूप में K पर Q की समस्या को लेकर बहुपद-समय में कमी है । यह सत्यापित करने के लिए कि संगणना (उदाहरण के लिए जेड के साथ एक आदर्श को प्रतिच्छेद करना या एक बहुपद मॉड पी ) फैक्टरिनोमियल समय में किया जा सकता है, कोहेन की पुस्तक को पिछले उत्तर में देखें।$K$$K$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$$p$

प्रत्येक तर्कसंगत प्राइम लिए एक पूर्वसंक्रमण के रूप में α के भेदभाव को विभाजित करने वाले (जो कि एफ के भेदभावकर्ता है ) ओ के ऊपर पी के ओ के सभी अपराधों को पाते हैं ।$p$$\alpha$$f$$\mathcal{O}_K$$p$

(2) primality परीक्षण के लिए, एक आदर्श दिया जाने पी ∈ जेड इस तरह हो कि एक ∩ जेड = पी जेड (इस बहुपद समय में की जा सकती है और की बिट्स की संख्या पी इनपुट में बहुपद है)। बहुपद समय में जांचें कि क्या पी प्रमुख है। यदि नहीं तो a अभाज्य नहीं है। हाँ तो की अभाज्य संख्या मिल जाए हे कश्मीर ऊपर झूठ बोल पी precomputation से या फैक्टरिंग द्वारा या तो च आधुनिक पी । किसी भी मामले में यदि $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$p\in\mathbb{Z}$$\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$$p$$p$$\mathfrak{a}$$\mathcal{O}_K$$p$$f$$p$$\mathfrak{a}$ यह उन अभाज्य संख्या से एक होना चाहिए प्रधानमंत्री है।

(3 ए), (6a) अभाज्य में फैक्टरिंग के लिए, एक आदर्श दिया अपने आदर्श को खोजने के लिए y = एन कश्मीर क्यू ( एक ) = [ हे कश्मीर : एक ] । फिर से यह बहुपद समय में पाया जा सकता है और परिणामस्वरूप बहुत बड़ा नहीं है। Z में फैक्टर y (या तो शास्त्रीय रूप से या Shor के एल्गोरिदम का उपयोग करके, आप जो कमी चाहते हैं, उसके आधार पर)। यह y को विभाजित करने वाले तर्कसंगत अपराधों की एक सूची देता है , और इसलिए 2 के रूप में हम O K विभाजन y के primes की सूची पा सकते हैं । चूंकि ए | $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$$y$$\mathbb{Z}$$y$$\mathcal{O}_K$$y$ यह प्रिडिम्स की सूची को विभाजित करता है । अंत में उस घातांक को निर्धारित करना आसान है जिसके लिए एक प्रधान किसी दिए गए आदर्श को विभाजित करता है।$\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$$\mathfrak{a}$

(३ बी), (६ बी) लेकिन गिल चाहता है कि यह अप्रतिष्ठा में कारक हो, न कि अपराधों में। यह पता चला है कि का मुख्य गुणनखंडन दिया गया है, जिससे कुशलतापूर्वक x का एक गुणनखंडन O K के अकाट्य तत्वों में हो सकता है । इसके लिए h k वर्ग संख्या है, और ध्यान दें कि किसी दिए गए आदर्श के आदर्श वर्ग की कुशलता से गणना करना संभव है। अब एक अलघुकरणीय भाजक को खोजने के लिए एक्स चयन ज कश्मीर के गुणन से (दोहराव के साथ संभवतः) प्रधानमंत्री आदर्शों $x\mathcal{O}_K$$x$$\mathcal{O}_K$$h_K$$x$$h_K$$x$। कबूतर-छेद सिद्धांत द्वारा वर्ग समूह में पहचान के लिए उन गुणकों के कुछ सबसेट; कम से कम ऐसी सबसेट खोजें। इसका उत्पाद तब एक प्रमुख आदर्श है जो एक अप्रासंगिक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। इस तत्व से को विभाजित करें, संबंधित आदर्शों को गुणनखंडन से हटाएं और दोहराएं। यदि गुणनखंडन H K तत्वों से कम है तो बस सभी कारकों का एक न्यूनतम उपसमूह लें।$x$$h_K$

(४) मुझे लगता है कि कारक को इरेड्यूसिबल्स में गिनना संभव है, लेकिन यह थोड़ा अतिरिक्त कॉम्बिनेटरिक्स है - कृपया मुझे इसे काम करने के लिए समय दें। दूसरी ओर, उन सभी का निर्धारण उप-घातीय कारकीकरण एल्गोरिदम के संदर्भ में दिलचस्प नहीं है क्योंकि सामान्य रूप से ऐसे कई कारक हैं।

(५) मेरा कोई पता नहीं है।

Answer 2

जैसा कि डैनियल ने उल्लेख किया है, आप ए कोर्स इन कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय संख्या सिद्धांत ( लिंक ) नामक पुस्तक में कुछ सुझाव पा सकते हैं ।

विशेष रूप से, संख्या क्षेत्रों के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। Let एक संख्या के साथ क्षेत्र हो φ एक डिग्री n की monic अलघुकरणीय बहुपद जेड [ ξ ] । चलो θ के किसी भी जड़ हो φ । तथाकथित मानक प्रतिनिधित्व एक तत्व के अल्फा ∈ कश्मीर टपल है ( एक 0 , ... , एक n - 1 , घ $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$n$$\mathbb Z[\xi]$$\theta$$\varphi$$\alpha\in K$$(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$ जहां ,$a_i\in\mathbb Z$ और gcd ( एक 0 , ... , एक n - 1 , घ ) = 1 , ऐसी है कि α = $d>0$$\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$

$$\alpha=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{n-1} a_i\theta^i.$$