वर्टेक्स सेपरेटर की कठोरता

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किसी दिए गए ग्राफ़ , सेपरेटर समस्या पूछती है कि क्या छोटी कार्डिनैलिटी (या वजन) का एक शीर्ष या किनारे सेट मौजूद है, जिसका निष्कासन को लगभग समान आकारों के दो अलग-अलग ग्राफ़ में विभाजित करता है । इसे वर्टेक्स सेपरेटर प्रॉब्लम कहा जाता है, जब हटाया गया सेट एक वर्टेक्स सेट होता है, और एज सेपरेटर प्रॉब्लम जब यह एज सेट होता है। दोनों समस्याएँ सामान्य वज़न रहित ग्राफ़ के लिए NP-पूर्ण हैं। शीर्ष विभाजक सन्निकटन की सबसे अच्छी ज्ञात कठोरता क्या है? क्या पीटीएएस से इंकार किया गया है? निर्देशित सेटिंग में सर्वश्रेष्ठ ज्ञात कठोरता परिणाम क्या हैं? $G$ $G$

सुधार : निम्नलिखित लिंक और उत्तर ने मेरी मदद नहीं की क्योंकि मैंने अपने प्रश्न को सही ढंग से नहीं बताया है। मेरा प्रश्न लीटन-राव के निम्नलिखित प्रमेय से संबंधित है:

प्रमेय : वहाँ एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि, एक ग्राफ को देखते हुए मौजूद है और एक सेट , एक पाता है $G(V,E)$ $W \subseteq V$ शिखर विभाजककेमेंआकार की, जहांएक की न्यूनतम आकार है $\frac{2}{3}$ $S \subseteq V$ $W$ $G$ $O(w.{\log}n)$ $w$ मेंका शीर्ष विभाजक। $\frac{1}{2}$ $W$ $G$

एक ग्राफ को देखते हुए और एक सेट , मैं एक लगाना चाहते हैं -vertex विभाजक (जहां $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\delta$ आकार की एक निरंतर) है, जहांएक की न्यूनतम आकार है $\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$ $w$ $w$ मेंका शीर्ष विभाजक। इस समस्या की सबसे अच्छी ज्ञात कठोरता क्या है? उपरोक्त प्रमेयइस समस्या के लिएएकसन्निकटन देता है। $\frac{1}{2}$ $W$ $G$ $O({\log}n)$

ध्यान दें कि मैं विभाजक को हटाने के बाद परिणामस्वरूप घटकों के आकार में निरंतर कारक को उड़ाने की अनुमति दे रहा हूं, लेकिन मैं स्वयं विभाजक के आकार को कम करना चाहता हूं। टिप्पणियों में उल्लिखित लिंक न्यूनतम बी-वर्टेक्स विभाजक को इंगित करते हैं , जिसमें हम जोर देते हैं कि परिणामी घटकों का आकार सबसे अधिक है । $|V|/2$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— शिव किंठली
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मैंने महसूस किया कि मेरी पिछली टिप्पणियां अनावश्यक रूप से कठोर थीं। मैंने उन्हें हटा दिया। मैं उन टिप्पणियों में केवल लिंक छोड़ता हूं: वर्धमान संस्करण और एनपी ऑप्टिमाइज़ेशन प्रॉब्लम्स के कंपेंडियम में किनारे संस्करण ।

— त्सुयोशी इतो

मुझे इस सवाल में भी दिलचस्पी है, क्या आपको तब से कुछ मिला?

— यारोस्लाव बुलटोव

@ यारोस्लाव: नहीं। दुर्भाग्य से मुझे इस विशेष समस्या के लिए कोई कठोरता परिणाम नहीं मिला।

— शिव किंतली

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$O(\log n)$

इस समस्या पर ज्ञात काम की एक अच्छी समीक्षा (जो स्पार्सट कट, स्प्रेडिंग मेट्रिक्स और यहां तक कि अनूठे गेम अनुमानों से जुड़ती है) क्रुथगैमर, नोर और श्वार्ट्ज द्वारा द्वि घातुमान चौड़ाई के सामान्यीकरण पर इस हाल के पेपर में है ।

— सुरेश वेंकट
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$O(\sqrt{\log n})$ $O(\log n)$ लीटन और राव की; उन्होंने एज केस के लिए ऐसा किया। अग्रवाल-चारीकर-मकरयचेव-मकरयचेव ने निर्देशित स्पार्स कट के लिए समान बाउंड प्राप्त करने के लिए परिणाम का उपयोग किया (यदि कोई वर्टिप बिपर्ट कट्स में रुचि रखता है)। Feige-Hajiaghayi-Lee ने एक ही समय में ARV के माध्यम से वर्टेक्स सेपरेटर के लिए फिर से एक समान बाउंड प्राप्त किया (और यह भी बताया कि एक ही कारक के भीतर ट्रेविद को अनुमानित किया जा सकता है)। एक ध्यान देना चाहिए कि निर्देशित रेखांकन में कटा हुआ कटौती की एक और धारणा है, जिसके लिए चाजोय-खन्ना ने गैर-वर्दी मामले में कठोरता दिखाई, लेकिन मुझे वर्दी मामले के बारे में निश्चित नहीं है। मुझे लगता है कि यूजीसी के तहत सुपर-निरंतर कठोरता परिणाम (वर्दी) के लिए सबसे कम कटौती के लिए जाना जाता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है।

— चन्द्र चकुरी
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