विस्तारक रेखांकन पर एनपी-कठिन समस्याएं?

2006 में एक्सपैंडर GRAPHS नाम की प्रस्तुति में - क्या कोई MYSTERIES LEFT है? , नाटी लिनलियल ने निम्नलिखित खुली समस्या पेश की:

कौन सा $NP$ जब विस्तारक रेखांकन के लिए प्रतिबंधित ग्राफ पर -हार्ड कम्प्यूटेशनल समस्या कठिन रहते हैं?

तब से, क्या -हार्ड समस्या के लिए इस तरह के परिणाम को साबित करने के लिए कोई प्रगति की गई है? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

क्या कोई व्यक्ति शायद यह बता सके कि यह सवाल दिलचस्प क्यों है? क्या हमारे पास एनपी-कठिन समस्याओं का कोई उदाहरण है जो विस्तारकर्ता के ग्राफ़ तक सीमित होने पर आसान हो रहा है ?

— जूका सूमेला

@Jukka: विस्तारक छोटे

(जैसे

) के लिए

अनियमित हो सकते हैं , फिर भी कुछ NP- कठिन समस्याएं छोटे

लिए अधिकतम-डिग्री

ग्राफ़ के वर्ग पर आसान हैं (उदाहरण के लिए GRAPH COLORING for

)।

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— आंद्रेस सलामन

@ एंड्रस: ज़रूर, लेकिन यह वास्तव में विस्तार गुणों से संबंधित नहीं है। मुझे rephrase दें: क्या हमारे पास ऐसी समस्याओं के उदाहरण हैं जो

अनियमित रेखांकन पर कठिन हैं, लेकिन

अनियमित विस्तारक रेखांकन पर आसान हैं?

d

$d$

d

$d$

— जुल्का सुमेला

@ जुक्का: अनोखे खेलों में बहुपत्नी काल सन्निकटन एल्गोरिदम दिखाया गया था जब बाधा ग्राफ एक विस्तारक है [अरोरा-खोत-कोला-स्टीयर-तुलसी-विश्नोई STOC '08]। यह सामान्य ग्राफ़ के मामले के लिए ज्ञात नहीं है, और यदि यूजीसी सच था, तो वास्तव में कोई बहुपद एल्गोरिथम नहीं हैं। मैंने इसे टर्कीस्टनी के प्रश्न के लिए प्रेरणा के रूप में लिया।

— अर्नब

@ जुक्का, मेरी प्रेरणा विस्तारकों के यादृच्छिक गुणों और समस्याओं की कम्प्यूटेशनल कठोरता के बीच संबंध को समझना है। उदाहरण के लिए, मुझे उम्मीद नहीं है कि विस्तारकों पर स्वतंत्र सेट आसान होगा।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

जवाबों:

"असंतुलित विस्तारक" इस सवाल के प्रयोजन के लिए विस्तारक (एक असंतुलित विस्तारक के रूप में गिनती हैं: एक द्विपक्षीय ग्राफ , ऐसा है कि हर सबसेट के लिए , , के अंश के बीच किनारों और के बारे में $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), तो हाँ, विस्तारकों पर कई समस्याएं (जैसे, बाधा संतुष्टि की समस्याएं) लगभग एनपी-कठिन हैं।

विशेष रूप से, दो-क्वेरी, कम त्रुटि, पीसीपी प्रमेय का प्रमाण [2008 में रान रज़ के साथ] विस्तारक ग्राफ का निर्माण करता है।

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

अपनी अंतिम पंक्ति में, क्या आपका मतलब है कि आपका पेपर असंतुलित विस्तारकों का निर्माण करता है, क्योंकि तब आपके पास इस प्रश्न का उत्तर हो सकता है: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— सुरेश वेंकट

सुरेश: हां, पेपर असंतुलित विस्तारक / नमूना / एक्सट्रैक्टर का निर्माण करता है, लेकिन इस तरह के ज्ञात निर्माणों से बेहतर नहीं है।

— दाना मोशकोविट्ज़

यह अनुमान लगाने में आसान हो सकता है कि विस्तारकों पर कई सटीक समस्याएं (और शायद मजबूत सन्निकटन समस्याएं) एनपी-हार्ड हैं। विचार यह है कि यदि आप कोने पर एक मनमाने ढंग से स्थिर डिग्री ग्राफ लेते हैं , और असंतुष्ट कोने पर एक और विस्तारक जोड़ते हैं , और और बीच मेल खाते हैं , तो आपको एक विस्तारक मिलता है। इसका कारण यह है कि आधे वर्टिकल से कम के किसी भी सेट में या तो इसके बाहर के किनारों का एक निरंतर अंश होगा, या साथ इसके चौराहे पर के शीर्षों का अंश अधिक होगा । $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

चूँकि आप मनमाने ढंग से चुन सकते हैं (कहते हैं कि एक यादृच्छिक ग्राफ लें) आप में अपनी NP समस्या के लिए इष्टतम समाधान जान सकते हैं , और इसलिए वहाँ आशा (समस्या के आधार पर) हो सकती है, जो संयुक्त ग्राफ़ के लिए एक समाधान आपको दे सकता है लिए कम से कम एक अनुमानित समाधान । लेकिन मैंने इसे किसी ठोस समस्या के लिए सत्यापित नहीं किया। $H$ $H$ $G$

बेशक, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्राकृतिक समस्याएं हैं (सबसे विशेष रूप से अद्वितीय खेल) जहां कोई ऐसी चालें नहीं कर सकता है और विशेष रूप से एल्गोरिदम को विस्तारकों के लिए जाना जाता है और सामान्य मामले में नहीं जाना जाता है। किसी को समस्या के कुछ वंचित उदाहरण के साथ आने में सक्षम होना चाहिए जो कि सामान्य रूप से एनपी कठिन है, लेकिन विस्तारकों पर आसान है (उदाहरण के लिए, ग्राफ पर कुछ मनमाने ढंग से एनपी कठिन समस्या लें, और इसे संशोधित करें ताकि वर्णक्रमीय अंतर के साथ सभी उदाहरण से अधिक हो जाएं हां हैं ...)। $1/\log n$

— बोअज बराक
स्रोत