स्पार्स वाल्श-हैडमर्ड ट्रांसफ़ॉर्म

Question

वॉल्श-Hadamard परिणत (wht) फूरियर का सामान्यीकरण बदलना है, और आयाम की वास्तविक या जटिल संख्या का एक वेक्टर पर एक ओर्थोगोनल परिवर्तन है । यह परिवर्तन क्वांटम कंप्यूटिंग में लोकप्रिय है, लेकिन इसे हाल ही में जॉनसन-लिंडेनस्ट्रस लेम्मा के प्रमाण में उपयोग के लिए उच्च-आयामी वैक्टर के यादृच्छिक अनुमानों के लिए एक प्रकार के पूर्व-निर्माता के रूप में अध्ययन किया गया है। इसकी मुख्य विशेषता यह है कि हालांकि यह एक वर्ग डी × डी मैट्रिक्स है, इसे एफएफटी जैसी विधि द्वारा समय ओ ( डी लॉग डी ) ( डी 2 के बजाय ) में एक वेक्टर पर लागू किया जा सकता है ।$d = 2^m$$d\times d$$O(d \log d)$$d^2$

मान लीजिए इनपुट वेक्टर है विरल : यह केवल कुछ अशून्य प्रविष्टियों (शामिल किए जाएं )। क्या WHT की गणना करने का कोई तरीका है f ( r , d ) जैसे कि f ( d , d ) = O ( d log d ) और f ( r , d ) = o ( d log d ) r = o (के लिए ) d ) ?$r \ll d$$f(r,d)$$f(d,d) = O(d \log d)$$f(r,d) = o(d \log d)$$r = o(d)$

नोट: ये आवश्यकताएं केवल इस विचार को औपचारिक रूप देने का एक तरीका हैं कि मैं कुछ ऐसा चाहूंगा जो छोटे आर के लिए तुलना में तेजी से चलता हो ।$d \log d$$r$

Comments

मुझे यकीन है कि आप निम्नलिखित दो आसान टिप्पणियों से अवगत हैं, लेकिन वैसे भी मैं उन्हें अन्य पाठकों के लिए लिखूंगा: (1) एक सीधा गुणा O (rd) समय देता है। यह ओ (डी लॉग डी) से बेहतर है जब केवल आर = ओ (लॉग डी)। (2) भले ही इनपुट वेक्टर विरल हो, आउटपुट सामान्य रूप से विरल नहीं होता है। इसका अर्थ है कि हम f (r, d) के लिए o (d) भी r = 1 के लिए आशा नहीं कर सकते।

— त्सुयोशी इतो

क्या आप जानते हैं कि फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए एक ही प्रश्न का उत्तर क्या है?

— रोबिन कोठारी

Tsuyoshi: हाँ, मैं (1) से अवगत हूँ और यह वास्तव में उन अनुप्रयोगों के लिए किया जाता है जिन्हें इसकी आवश्यकता है। के रूप में (2) के रूप में अच्छी तरह से सच है। रॉबिन, यह एक अच्छा बिंदु है - मुझे एफटी के लिए कुछ भी नहीं पता है, और वास्तव में खुदाई शुरू करने के लिए एक अच्छी जगह हो सकती है।

— सुरेश वेंकट

यह पता चला है कि मुझे विकिपीडिया पर खुदाई करनी चाहिए थी। FFT पृष्ठ में दो कागजात का उल्लेख है जो विरल संगणना समस्या से संबंधित हो सकते हैं।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

इंडेक्स द्वारा एक पूर्णांक x WHT पंक्तियाँ, के लिए । तो x में लॉग डी बिट्स हैं। इसी तरह कॉलम को इंडेक्स करें। (एक्स, वाई) की स्थिति है ( - 1 ) ⟨ एक्स , वाई ⟩ जहां प्रतिपादक की लंबाई लॉग घ डॉट उत्पाद है। मान लें कि आर 2 की शक्ति है, यदि आवश्यक हो तो गोल करना। Dxr मैट्रिक्स को rxr ब्लॉक्स में तोड़कर पहले लॉग आर बिट्स को अलग-अलग करने दें और प्रत्येक डी / आर तरीकों में अन्य लॉग (डी / आर) बिट्स को ठीक करें। यह rxr ब्लॉक आकार r का एक छोटा WHT मैट्रिक्स है, इसके अलावा कुछ कॉलम गायब, बार-बार या नकारात्मक हो सकते हैं। किसी भी मामले में, वेक्टर को आसानी से प्रीप्रोसेस करें और समय आर लॉग आर में एक आरएक्सआर डब्ल्यूएचटी करें, फिर कुल समय डी लॉग आर के लिए डी / आर बार दोहराएं।$0 \le x \lt d$$(-1)^{\langle x,y \rangle}$

उदाहरण:

d = 4।

WHT H है

++++
+-+-
++--
+--+

स्तंभों का मनमाना सेट 00 और 10 है (उस पर सबसे बड़ा और दो ओवर):

++
++
+-
+-

रो ब्लॉक हैं

++
++

तथा

--
--

$(a,b)^T$$(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$$(-a-b,0)^T$

++
+-