चक्करदार पैली ग्राफ में अजीब छेद ढूंढना

Question

पाले का ग्राफ़ होता पी _क्ष उन जिसका शिखर-सेट द्वारा दिया जाता है कर रहे हैं परिमित क्षेत्र GF (क्यू), प्रधानमंत्री शक्तियों q≡1 (आधुनिक 4) के लिए, और जहां दो कोने निकट हैं यदि और केवल यदि वे एक से अलग ² कुछ के लिए a ∈ GF (q)। इस मामले में कि q प्रमुख है, परिमित क्षेत्र GF (q) पूर्णांक modulo q का समुच्चय है।

हाल ही के एक पेपर में , मैस्त्रेली और पेनमैन बताते हैं कि एकमात्र पैली ग्राफ जो एकदम सही है (उसके सबसे बड़े क्लिक के आकार के बराबर एक रंगीन संख्या है) नौ शीर्ष पर एक है। इसका तात्पर्य, विशेष रूप से, कि Paley रेखांकन P _q में से कोई भी q प्रमुख के लिए एकदम सही नहीं है।

मजबूत परफेक्ट ग्राफ प्रमेय का दावा है कि एक ग्राफ जी एकदम सही है यदि और केवल यदि दोनों जी और इसके पूरक का अभाव है अजीब छेद (एक प्रेरित subgraph जो अजीब लंबाई का एक चक्र है, और आकार में कम से कम 5.) प्रधानमंत्री के आदेश के पाले रेखांकन कर रहे हैं आत्म-पूरक, और अपूर्ण; इसलिए उनमें विषम छिद्र होने चाहिए।

सवाल। क्यू 1 (मॉड 4) प्राइम के लिए, क्या पी _क्यू में एक विषम छेद खोजने के लिए एक पाली (क्यू) एल्गोरिथ्म है ? क्या एक बहुभुज (q) एल्गोरिथ्म है? यादृच्छिकता और लोकप्रिय संख्या-सिद्धांत संबंधी अनुमानों की अनुमति है।

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि एक ज्ञात पाली (क्यू) एल्गोरिथ्म है। Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, और Vušković, "Recognizing Berge रेखांकन", Combinatorica 2005 द्वारा एल्गोरिथ्म की मेरी समझ यह है कि यह या तो एक विषम छेद या बहुपद समय में किसी भी गैर-परिपूर्ण ग्राफ में एक अजीब एंटीहोल पाता है। लेखक अपने कागज के पृष्ठ 2 पर लिखते हैं कि उनके पास मौजूद ग्राफ़ में विषम छेदों को खोजने की समस्या बनी हुई है, क्योंकि उनके एल्गोरिथ्म के चरण 1 और 3 में छेद पाए जाते हैं, लेकिन चरण 2 के बजाय एक एंटीहोल मिल सकता है। हालाँकि, पैली ग्राफ के मामले में, यदि आप एक एंटीहोल पाते हैं, तो इसके बजाय एक विषम छेद में बदलने के लिए एक नॉनरिड्यूस द्वारा इसमें सभी छोरों को गुणा करें।

वैकल्पिक रूप से, राडो ग्राफ के अनुरूप, प्रत्येक k के लिए ऐसा N होना चाहिए, जिसमें N या अधिक कोणों पर Paley रेखांकन का विस्तार गुण होना चाहिए: k केट के किसी भी उपसमुच्चय के लिए, और उपसमूह के किसी भी 2-रंग में, एक रंग वर्ग में प्रत्येक शीर्ष से सटे एक और शीर्ष मौजूद होता है और दूसरे रंग वर्ग में प्रत्येक शीर्ष के निकट होता है। यदि ऐसा है, तो k = 5 के लिए आप प्रति चरण बहुपद समय में एक विषम 5-छिद्र का निर्माण कर सकते हैं। हो सकता है कि यह दिशा एक पाली (लॉग (q)) एल्गोरिथ्म के लिए उम्मीद है? यदि यह काम करता है तो यह कम से कम दिखाएगा कि छोटे विषम छेद हैं, उन्हें जल्दी से खोजने के लिए एक आवश्यक शर्त है।

वास्तव में, यह मुझे आश्चर्यचकित नहीं करेगा अगर निम्नलिखित एक पाली (लॉग (q)) एल्गोरिथ्म थे: यदि q कुछ निश्चित स्थिर से छोटा है, तो उत्तर देखें, अन्यथा संख्याओं के माध्यम से क्रमिक रूप से खोजकर एक अजीब 5-छेद का निर्माण करें 0, 1, 2, 3, ... उन वर्टिकल के लिए जिन्हें आंशिक 5-होल के भाग के रूप में जोड़ा जा सकता है। लेकिन शायद यह साबित करते हुए कि यह पाली (लॉग (q)) में काम करता है समय के लिए कुछ गहन संख्या सिद्धांत की आवश्यकता होगी।

चुंग, ग्राहम और विल्सन के परिणामों के अनुसार, "क्वासी-रैंडम ग्राफ", कॉम्बिनेटरिका 1989, निम्न यादृच्छिक एल्गोरिथ्म क्यू की एक निरंतर अपेक्षित संख्या में समस्या को हल करता है जब q प्रमुख है: यदि q पर्याप्त रूप से छोटा है, तो इसका उत्तर देखिए, अन्यथा बार-बार पांच चक्करों का एक यादृच्छिक सेट चुनें, जांचें कि क्या वे एक विषम छेद बनाते हैं, और यदि ऐसा है तो इसे वापस लौटाएं। लेकिन वे यह नहीं कहते हैं कि क्या यह काम करता है जब q एक प्रमुख नहीं बल्कि एक प्रमुख शक्ति है, इसलिए शायद आपको उस मामले में अधिक सावधान रहने की आवश्यकता होगी।

Comments

यह दर्शाता है कि पैली ग्राफ में विस्तार संपत्ति है: पैली ग्राफ सभी प्रथम-क्रम आसन्न स्वयंसिद्ध एंड्रियास ब्लास, जेफ्री एक्सू, फ्रैंक हाररी, जे ग्राफ को संतुष्ट करते हैं। गु। 1981, और रेखांकन जिसमें सभी छोटे रेखांकन, बोलोबा और थॉमसन, यूर शामिल हैं। जे। कंबिन। 1981. दुर्भाग्य से मुझे उनमें से किसी की भी सदस्यता नहीं मिली है इसलिए मैं उनके बारे में ज्यादा कुछ नहीं कह सकता।

— डेविड एप्स्टीन

[Chudnovsky + Cornuéjols + Liu + Seymour + Vušković] में एल्गोरिथ्म वास्तव में कागज के पृष्ठ 4 पर है; लेकिन सूचक के लिए धन्यवाद! मैं [चेउंग + ग्राहम + विल्सन] को भी कुछ हद तक चकित करता हूँ; मैं उस पर गौर करूंगा।

— नील डी बेउद्रप

[चेउंग + ग्राहम + विल्सन] परिणाम पर पढ़ना: वे 359-360 पृष्ठों पर वर्णन करते हैं कि प्राइम-ऑर्डर पैली ग्राफ उनके अर्थ में छद्म यादृच्छिक हैं। अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो आपका सुझाव यह है कि सभी पाँच-शीर्ष प्रेरित सबग्राफ लेबल (जिनमें से बहुत से हैं, और निश्चित रूप से 5-छेद के कई नमूने शामिल हैं) लगभग एक दूसरे के समान होते हैं; यह एक निरंतर-समय एल्गोरिथ्म के आपके वर्णन का समर्थन करता प्रतीत होगा। अगर मैं कर सकता तो मैं +10 देता। बहुत धन्यवाद!

— नील डी बेउद्रप