हाइपरग्राफ की रेखा रेखाओं को पहचानना

Question

एक hypergraph की लाइन ग्राफ (सरल) ग्राफ है जी के किनारों होने एच के दो किनारों के साथ कोने के रूप में एच में निकट हैं जी अगर वे अरिक्त चौराहे की है। एक हाइपरग्राफ एक r -hypergraph है यदि इसके प्रत्येक किनारे पर अधिकांश आर कोने हैं।$H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

निम्नलिखित समस्या की जटिलता क्या है: एक ग्राफ को देखते हुए , क्या 3 -hypergraph H मौजूद है जैसे कि G , H का लाइन ग्राफ है ?$G$$3$$H$$G$$H$

यह सर्वविदित है कि -हिपरग्राफ की रेखा रेखाओं को पहचानना बहुपद है, और यह पोलजैक एट अल।, असतत अप्पल। मठ 3 (1981) 301-312) से जाना जाता है जो कि आर- हाइपरग्राफ की रेखाओं को पहचानता है। किसी निश्चित के लिए -Complete आर ≥ 4 । $2$$r$$r \ge 4$

नोट: साधारण हाइपरग्राफ के मामले में, यानी सभी हाइपरेजेज अलग हैं, समस्या एनपी-पूर्ण है जैसा कि पोलजैक एट अल द्वारा कागज में साबित हुआ है।

Comments

यह स्पष्ट करने योग्य हो सकता है कि आप हाइपरग्राफ में बार-बार किनारों की अनुमति देते हैं।

— आंद्र सलाम

@ सलामन: सुझाव के लिए धन्यवाद, मैंने उसी के अनुसार संपादन किया है। मुझे खेद है, लेकिन मुझे पता चला है कि, परिभाषा के अनुसार, हाइपरग्राफ में बहु किनारे हो सकते हैं!

— user13136

Answer 1

मुझे स्कम्प्स एट अल द्वारा पहले के संस्करण का जर्नल संस्करण मिला। @mhum द्वारा इंगित किया गया; यह यहां है: असतत गणित 309 (2009) 3500–3517 । वहाँ, लेखकों ने उनके उद्धरण को इस प्रकार सही किया:

स्थिति मौलिक बदल जाता है लेता है, तो के बजाय कश्मीर = 2 । लोवाज़ ने कक्षा एल 3 को चिह्नित करने की समस्या को उजागर किया, और नोट किया कि निषिद्ध प्रेरित उपसमूह ( एक परिमित लक्षण वर्णन ) [9] की परिमित सूची द्वारा इसका कोई लक्षण वर्णन नहीं है । यह साबित हो चुका है कि मान्यता समस्याओं " जी ∈ एल कश्मीर " "के लिए कश्मीर ≥ 4 " [15], " जी ∈ एल एल 3 " के लिए कश्मीर ≥ 3 और के किनारे चौराहे रेखांकन की मान्यता की समस्या $k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$कई किनारों के बिना-समान हाइपरग्राफ [15] एनपी-पूर्ण हैं।

संदर्भ 15 उपर्युक्त पोलजक एट अल है। (1981)।

इसलिए, मुझे लगता है, -hypergraphs (कई किनारों की अनुमति के साथ) के रेखा रेखांकन को पहचानना एक खुला समस्या है , और @ mhum का उत्तर वास्तव में इस खोज में मददगार था। धन्यवाद!$3$

Comments

यह जानकर अच्छा लगा! आपके समय के लिए शुक्रिया।

— user13136

Answer 2

मेरे पास पोलजक एट अल तक पहुंच नहीं है। कागज, लेकिन यहाँ सार इंगित करने के लिए की है कि पहचानने लाइन रेखांकन लगता -hypergraphs के लिए एनपी पूरा हो गया है r ≥ 3 , नहीं 4 । इसके अलावा, रेखीय 3-समान हाइपरग्राफ , स्कम्स एट अल के एज चौराहे रेखांकन में उद्धरण । (pdf) लगता है कि यह मामला है:$r$$r \geq 3$$4$

यदि मुख्य रूप से k = 2 के बजाय लेता है, तो स्थिति मुख्यतः बदल जाती है । लोवाज़ ने कक्षा एल 3 को चिह्नित करने की समस्या को उजागर किया, और नोट किया कि निषिद्ध प्रेरित उपसमूह ( एक परिमित लक्षण वर्णन ) [10] की परिमित सूची द्वारा इसका कोई लक्षण वर्णन नहीं है । यह साबित हो चुका है कि मान्यता समस्याओं " जी ∈ एल 3 " [17] और " जी ∈ एल एल कश्मीर " के लिए कश्मीर ≥ 3 [5] एन पी-सम्पूर्ण कर रहे हैं।$k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

$L_3$$L^l_3$

Comments

$3$

आह। समझा। यह मेरे लिए हमेशा स्पष्ट नहीं होता है यदि "हाइपरग्राफ" शब्द में हाइपरमुल्टिग्राफ (मल्टीहाइपरग्राफ?) शामिल हैं।

— 20

उत्तर के लिए धन्यवाद, और मेरे ढीले सूत्रीकरण के लिए क्षमा करें।

— user13136

@vb ले मेरे सवाल में जोड़ने और निवेश करने के लिए धन्यवाद!

— user13136

@ user13136: आपका स्वागत है! ऐसा इसलिए है क्योंकि मैं अपने सहित लोगों को जानता हूं, जो मानते हैं कि समस्या एनपी-पूर्ण होनी चाहिए, लेकिन एक संदर्भ / प्रमाण नहीं मिल सकता है।

— vb le