शास्त्रीय गणित के लिए टीसीएस के अनुप्रयोग?

Question

हम टीसीएस में अक्सर शास्त्रीय गणित (बीजगणित, टोपोलॉजी, विश्लेषण, ज्यामिति, आदि) से शक्तिशाली परिणाम और विचारों का उपयोग करते हैं।

जब यह दूसरे रास्ते से चला गया हो तो इसके कुछ उदाहरण क्या हैं?

यहाँ कुछ मैं जानता हूँ (और यह भी कि मैं किस प्रकार के परिणामों के बारे में पूछ रहा हूँ) का एक स्वाद देने के लिए:

• क्यूबिकल फोम्स (गाय किंडलर, रयान ओ'डॉनेल, अनूप राव और एवी विगडरसन: गोलाकार क्यूब्स और उच्च आयामों में गोलाई, एफओसीएस 2008)
• ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत कार्यक्रम। (हालांकि यह तकनीकी रूप से टीसीएस के लिए बीजीय ज्यामिति और प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है, वे पी बनाम एनपी की खोज में नए क्वांटम समूहों और नए विशुद्ध रूप से बीजगणित-ज्यामितीय और प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी विचारों को पेश करने के लिए नेतृत्व किए गए थे।)
• सन्निकटन एल्गोरिदम और अनुपयुक्तता परिणामों से प्रेरित मीट्रिक एम्बेडिंग पर काम करते हैं

जब तक वे विशेष रूप से आश्चर्यचकित नहीं होते हैं, तब तक मैं विशेष रूप से तर्क (परिमित मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, आदि) के लिए TCS के अनुप्रयोगों की तलाश में नहीं हूं - इस प्रश्न के प्रयोजनों के लिए TCS और तर्क के बीच संबंध बहुत करीब और मानक और ऐतिहासिक है।

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यह जवाब देने के लिए थोड़ा मुश्किल है। क्या कॉम्बिनेटरिक्स शास्त्रीय गणित से बाहर है?

— अर्नब

कॉम्बिनेटरिक्स निश्चित रूप से शास्त्रीय गणित है, लेकिन मुझे लगता है कि कॉम्बिनेटरिक्स के लिए वही टिप्पणी जाती है जो तर्क के लिए जाती है। तो: परिमित क्षेत्र काकेया अनुमान एक अच्छा उदाहरण है, जबकि PRGs द्वारा प्रेरित नए संयोजन डिजाइन बाड़ पर अधिक हैं।

— जोशुआ ग्रूको

टीसीएस समुदाय द्वारा एनल्स ऑफ मैथ में प्रकाशित परिणामों की तलाश करके आप अच्छे उदाहरण पा सकते हैं।

— MCH

Answer 1

TCS में विस्तारकों को काफी हद तक विकसित किया गया था और उनके पास गणित के लिए गहन कनेक्शन और अनुप्रयोग हैं।

Answer 2

दविर के परिमित क्षेत्र काक्य अनुमान का प्रमाण है।

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यह एक्सट्रैक्टर्स / विलय (ज़ीव और एवी विगडरसन के बाद के पेपर देखें) पर एक समस्या से प्रेरित था। आगे के सुधार (मधु सूदन, शुभांगी सराफ, स्वस्तिक कोपार्टी और ज़ीव दविर द्वारा) ने सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से अधिक विचारों का उपयोग किया, विशेष रूप से कोड की सूची डिकोडिंग (गुणा की विधि) से।

— दाना मोशकोविट्ज़

दो टिप्पणी: Dvir द्वारा प्रयुक्त बीजगणितीय विधि उन तरीकों में से एक है जिसका उपयोग ग्रहों की दूरी के लिए शास्त्रीय समस्या को हल करने के लिए किया जाता है। terrytao.wordpress.com/2010/11/20/… और gilkalai.wordpress.com/2010/11/20/… ।

— गिल कालई

दूसरा, कम्प्यूटेशनल और असतत ज्यामिति से घटना के तरीके और परिणाम पहले (वास्तविक) केकेया समस्या के लिए आवेदन थे।

— गिल कलाई

Answer 3

$P^{\sharp P}\neq NP$

Answer 4

अव्यक्त सिद्धांत सन्निकटन की कठोरता से प्रेरित थे, लेकिन उपयोगी विश्लेषणात्मक सिद्धांत हैं। सिद्धांत: एक कम डिग्री फ़ंक्शन, जिसमें प्रत्येक चर का छोटा प्रभाव होता है, लगभग समान ही व्यवहार करता है, भले ही इनपुट स्वतंत्र यादृच्छिक चर, या (संगत) गाऊसी यादृच्छिक चर हों। यह केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सामान्यीकरण है; फ़ंक्शन चर का औसत है।

कम प्रभावों के साथ कार्यों की शोर स्थिरता: इनवेरियन और इष्टतमता ई। मोसेल, आर। ओ'डॉनेल, के। ओलेसज़्विकिज़। एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स 171 (1), पीपी 295-341 (2010)। एफओसीएस '05।

$n$$F$$F^n$$F^n$

एक निश्चित स्थान में एक कम डिग्री बहुपद के लिए हैमिंग दूरी में निकटता का मतलब है कि फ़ंक्शन अंतरिक्ष के कुछ गैर-नगण्य अंश पर कम डिग्री बहुपद के साथ की पहचान करता है।

बेहतर लो-डिग्री टेस्टिंग और इसके अनुप्रयोग । एस अरोड़ा और एम। सूदन। ACM STOC 1997 में।

एक उप-निरंतर त्रुटि-संभाव्यता कम-डिग्री परीक्षण, और एक उप-निरंतर त्रुटि-संभावना पीसीपी की विशेषता एनपी , आर.राज, एस.सफरा, 29 वीं एसटीओसी की कार्यवाही, 1997, पीपी। 475-484।

Answer 5

हालांकि मैं पक्षपाती हूं, लेकिन मुझे लगता है कि यह कहना उचित है कि टीसीएस के विभिन्न विचारों ने गोवर्स के आदर्श के लिए व्युत्क्रम अनुमान पर प्रगति में योगदान दिया है, उदाहरण के लिए ग्रीन और ताओ द्वारा पेपर देखें ।

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इसके अलावा, यह कहना उचित है कि हाइपरग्राफ नियमितता लेम्मा (गोवर्स, ताओ, रोडल, शेचट और अन्य द्वारा) के माध्यम से सेजेमेरी के प्रमेय के लिए सबूत के घटक एलोन, फिशर, शापिरा और अन्य के काम से प्रभावित थे, जो मजबूत संस्करण विकसित करने में सक्षम थे। ग्राफ गुणों की परीक्षण क्षमता साबित करने के लिए नियमितता लेम्मा।

— अर्नब

Answer 6

क्या TCS की संगणनीयता सिद्धांत का हिस्सा है? यदि ऐसा है, तो बॉब सोरे द्वारा कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी और डिफरेंशियल ज्योमेट्री, जो कि सीसिमा के साथ प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोगों को उजागर करता है, एक उदाहरण है।

पता नहीं क्यों लिंक दिखाई नहीं दे रहा है .... यहाँ: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

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आप TCS के भाग के रूप में कम्प्यूटेबिलिटी की गणना करते हैं या नहीं, यह एक उदाहरण है जिसे मैं प्यार करता हूं जिसे मैं केवल उल्लेख करना भूल गया था। यह और भी ठंडा है क्योंकि इसे कोलमोगोरोव जटिलता का उपयोग करके किया जा सकता है :)।

— यहोशू Grochow

Answer 7

एक्सट्रैक्टर्स देखने के लिए एक और जगह है। उदाहरण के लिए, बराक-किंडलर-शाल्टिल-सुदाकोव-विगडरसन'04 द्वारा दिया गया पेपर रामसे रेखांकन (एक समस्या जो असतत गणित में थोड़ी देर के लिए खुला था) के निर्माण में सुधार करता है।

Answer 8

$\epsilon$

Answer 9

ज़िग-ज़ाग विस्तारक निर्माण कुछ अप्रत्याशित गुणों के साथ समूहों में से विभिन्न रोचक उदाहरण के निर्माण के लिए इस्तेमाल किया गया था, को देखने के Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson । निर्माण स्वयं एक शुद्ध गणित के दृष्टिकोण से बहुत दिलचस्प है, क्योंकि यह पिछले निर्माणों की तुलना में विस्तारकों का निर्माण करने के लिए पूरी तरह से अलग-अलग साधनों (एन्ट्रोपी से निपटने के सीएस दृष्टिकोण से प्रेरित) का उपयोग करता है। (हालांकि, शायद सबसे प्रसिद्ध आवेदन TCS- रीडिंग के लॉगस्पेस एल्गोरिथ्म में अप्रत्यक्ष कनेक्टिविटी के लिए है ।)

Answer 10

मुझे कुछ और अनुप्रयोगों का उल्लेख करना चाहिए:

शुद्ध गणित में टीसीएस का सबसे महत्वपूर्ण योगदान कटौती की कला है। कम्प्यूटेशनल जटिलता और अन्य स्थानों में टीसीएस द्वारा उपयोग किए जाने वाले फॉर्म की कटौती एक गणितीय प्रतिमान / उपकरण का प्रतिनिधित्व करती है जो गणित के अन्य क्षेत्रों की तुलना में टीसीएस में अधिक विकसित होती है।

एक संभाव्य प्रमाण की धारणा: यहां मैं संभाव्य पद्धति का उल्लेख नहीं करता (जो कि गणित में निहित है, लेकिन सीएस के लिए कई अनुप्रयोग हैं), लेकिन इस तथ्य के बजाय कि एक निश्चित संख्या का दावा करने वाले बयान की तरह एक गणितीय बयान एक प्रमुख है। एक प्रमाण दिया जाना चाहिए "किसी भी उचित संदेह से परे"। यह सीएस से आने वाली एक वैचारिक सफलता है, हालांकि इसमें गणित के अभ्यास के तरीके के बारे में अभी तक बहुत सारे अनुप्रयोग नहीं थे।

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मुझे इस बात की जानकारी नहीं थी कि गणित के अन्य क्षेत्रों ने कटौती के विचार का महत्वपूर्ण उपयोग किया है। मैं वास्तव में किसी भी संदर्भ या संकेत की सराहना करता हूं जो आप ऐसे कार्यों को दे सकते हैं! इसके अलावा, मैं इस धारणा के तहत था कि संभाव्य प्रमाण शुद्ध दहनशास्र से निकले हैं, और टीसीएस से नहीं?

— जोशुआ ग्रूको

मैंने अपने उत्तर के संपादित संस्करण में "संभाव्य प्रमाण" का क्या अर्थ है, यह समझाया। कटौती के बारे में: कम्प्यूटेशनल जटिलता कंप्यूटर विज्ञान में निहित गणित का एक क्षेत्र है। इस क्षेत्र की एक विशेषता, कटौती का उपयोग है जो वैचारिक और तकनीकी स्तर पर एक प्रमुख भूमिका निभाता है। यह गणित के अन्य क्षेत्रों में समान तकनीकों की तुलना में बहुत अधिक विकसित है। इसलिए टीसीएस के भीतर कटौती की कला को गणित के लिए टीसीएस का एक प्रमुख अनुप्रयोग माना जा सकता है। मुझे लगता है कि सीएस-प्रकार की कटौती ने अन्य क्षेत्रों में भी गणितज्ञों को प्रभावित किया है, और अधिक अभी तक आना बाकी है।

— गिल कलाई

यहोशू, मुझे एक सादृश्य दें। मान लीजिए कि कोई व्यक्ति "कैलकुलस" को शास्त्रीय गणित के भौतिकी के सबसे महान अनुप्रयोगों में से एक के रूप में संदर्भित करता है। यह भी कहा जा सकता है कि कलन मुख्य रूप से भौतिकी से आने वाली समस्या पर हमला करने के लिए महत्वपूर्ण है जो पहले "शास्त्रीय गणित" नहीं थे। फिर भी मुझे लगता है कि कैलकुलस गणित में भौतिकी का प्रमुख योगदान है। इसी प्रकार, जटिलता सिद्धांत में प्रयुक्त प्रकार की कटौती TCS के गणित के लिए एक प्रमुख योगदान है। यह एक प्रमुख गणितीय उपकरण और गणितीय विचारों का वर्णन करता है, जिनका स्वतंत्र मूल्य है। (हालांकि कैलकुलस जितना महत्वपूर्ण नहीं है।)

— गिल कलाई

$G$

@ जोशुआग्रोचो "सामान्य मामलों से लेकर विशेष कटौती" के गैर-तुच्छ उदाहरणों को खोजना मुश्किल नहीं होगा। उदाहरण के लिए, मैंने अपने जवाब में जो कैस्ज़ा सर्वे जोड़ा है, उसमें कैडिसन-सिंगर समस्या के बराबर समस्याओं के बीच गैर-तुच्छ कमी है, उनमें से कुछ पहली नज़र में बहुत ही प्रतिबंधित हैं। यह मेरी समझ है कि अंकगणित ज्यामिति ऐसी चीजों से भरा हुआ है, आप अधिक जान सकते हैं। मुझे इस बात पर यकीन नहीं है कि TCS इस समस्या को अमूर्त समस्याओं के लिए शुरू करने के लिए किस हद तक क्रेडिट का दावा कर सकता है।

— साशो निकोलोव

Answer 11

लोवेज़ लोकल लेम्मा का मोजर रचनात्मक प्रमाण कंप्यूटर विज्ञान विचारों का उपयोग करता है, लोवाज़ स्थानीय लेम्मा का एक नया प्रमाण देता है, और एक समस्या का हल करता है जो लोग काफी समय से सोच रहे थे।

Answer 12

Batson-Spielman-श्रीवास्तव बाधा समारोह विधि अनुप्रयोगों ज्यामिति के लिए और कार्यात्मक विश्लेषण के एक नंबर मिला है, कंप्यूटर विज्ञान में पैदा हुई, और संभावित समारोह तर्क का एक बहुत ही मूल रूप, निराशावादी आकलनकर्ता की विधि की याद ताजा करती है। इसके अलावा, यह पारंपरिक ज्ञान के खिलाफ जाता है जो यादृच्छिक मेट्रिसेस की विशेषता बहुपद का विश्लेषण करने योग्य है, और इसके बजाय मैट्रिक्स के क्षणों को देखना बेहतर है।

बैरियर फ़ंक्शन विधि पहले रेखांकन के रेखांकन के (और नियतात्मक बहुपद समय में निर्माण) के अस्तित्व को साबित करने के लिए विकसित की गई थी जो उनके वर्णक्रमीय गुणों को संरक्षित करती है। इस तरह के स्पार्सिफायर को एल्गोरिथम अनुप्रयोगों द्वारा प्रेरित किया गया था: मूल रूप से किसी भी एल्गोरिथ्म को कटौती की गणना करने की आवश्यकता होती है जिसे इनपुट के मूल संस्करण के एक स्पार्सिफाइड संस्करण के रूप में दिया जा सकता है।

$\ell_1^n$

2013 के लिए तेजी से आगे, और बाधा फ़ंक्शन विधि, स्टेरॉयड पर, और इंटरलेसिंग पोलिनोमिअल्स की मशीनरी के साथ संवर्धित, मार्कस, श्रीवास्तव और स्पीलमैन द्वारा कार्यात्मक विश्लेषण में सबसे कुख्यात समस्याओं में से एक का समाधान करने के लिए इस्तेमाल किया गया था: कैडिसन-सिंगर समस्या। । यह समस्या गणितीय भौतिकी में मूलभूत प्रश्नों से उत्पन्न होती है , लेकिन यह बहुत आगे बढ़ जाती है - यह पूरे गणित में दर्जनों समस्याओं के बराबर जाना जाता है । यह उल्लेख नहीं करने के लिए कि कई विश्लेषकों (काडिसन और सिंगर सहित) ने भी नहीं सोचा था कि समस्या का सकारात्मक समाधान था (कैस्ज़ा एट अल द्वारा उद्धृत सर्वेक्षण। संभावित समकक्षों पर अटकलें)।

Answer 13

एक उदाहरण जो दिमाग में आता है वह है हिगमैन एंबेडिंग प्रमेय और यह समूह सिद्धांतिक परिणाम है।

हिगमैन एंबेडिंग प्रमेय: एक समूह जी को एक पुनरावर्ती प्रस्तुति के साथ बारी-बारी से उत्पन्न किया जाता है अगर जी जी एक बारीक प्रस्तुत समूह का एक उपसमूह है।

(ध्यान दें कि समतुल्य के बाएं हिस्से में एक कम्प्यूटेशनल घटक होता है जबकि दायां विशुद्ध रूप से समूह सिद्धांत है)।

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$G$$H$$G$$Word(G) \in NP$$G$

Answer 14

यादृच्छिकता का अर्थ , एक "यादृच्छिक अनुक्रम" और संबंधित प्रश्नों के रूप में क्या गणित, संभाव्यता सिद्धांत और सदियों से सांख्यिकी में महत्वपूर्ण थे। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (और जटिलता सिद्धांत) यादृच्छिकता की समझ के लिए बहुत मजबूत गहरी और ठोस अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

जबकि गणितीय व्युत्पत्ति में शुरू की गई संभाव्यता पद्धति एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा है जिसे मुख्य रूप से CS में विकसित किया गया है।

यह मोरिट्ज़ के उत्तर से संबंधित है ।

Answer 15

ऑटोमेटा सिद्धांत और बीजगणित

बीजगणित को चिह्नित करने के लिए ऑटोमेटा सिद्धांत ने कुछ दिलचस्प परिणाम दिए हैं। मैं उनमें से दो का उल्लेख करता हूं, संदर्भों के साथ। यह किसी भी तरह से संपूर्ण नहीं है।

$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$$\sum_{i\in I} x_i t^i\text,$$ $I$$\mathbb Q$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. पारलौकिक संख्या

ट्रान्सेंडैंटल नंबरों को चिह्नित करने के लिए स्वचालित अनुक्रमों का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए,

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

बेशक, पहला आइटम एक बहुत ही क्लासिक परिणाम है!

संदर्भ।

[१] गाइल्स क्रिस्टोल। एन्सेम्बल पर्चे पेरीओडिक्स k-टोही । में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 9 (1), पीपी 141-145, 1979।

[२] किरण एस। केदलाया। समारोह क्षेत्रों के परिमित ऑटोमेटा और बीजीय विस्तार । में जर्नल डी théorie डेस nombres de बोर्डो 18 :, पीपी 379-420, 2006 arXiv गणित / 0,410,375 ।

[३] बोरिस एडमस्वेस्की, यान बेंग्यूड। बीजीय संख्याओं की जटिलता पर I. पूर्णांक आधारों में विस्तार । में गणित के इतिहास 165 (2), पीपी 547-565, 2007।

Comments

प्रमेय (एडमिसेव्स्की और बगियाद [3]) गलत हो सकता है या गलत समझा जा सकता है

— XL _At_Here_There

Answer 16

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

Answer 17

IMHO TCS गणित की एक शाखा है और मैं इसे थोड़ा व्यापक रखूँगा। हम सभी मानव गतिविधियों में, लगभग हर इंसान के एल्गोरिदम में, मुख्य रूप से हेरास्टिक एल्गोरिदम में रहते हैं। लेकिन उनमें से कुछ एल्गोरिदम 1. अच्छे हैं; 2. गहरे गणितीय सवालों के उत्तर (दफन) होते हैं; 3. एक पेशेवर गणितीय विश्लेषण / सुधार / ध्यान के लिए प्रतीक्षा करें। मेरा व्यक्तिगत अनुभव: एक भौतिक विज्ञान / मशीन सीखने की एक आश्चर्यजनक शक्ति, एक प्रमाण तकनीक के रूप में, बेथे अनुमोदन, अर्थात्। मुख्य समस्या यह है कि इस तरह के संभावित मुकाबले मुख्य रूप से उद्योग में होते हैं, जहां कोई भी उन गैर-उत्पाद संबंधी अंतर्दृष्टि / खुलासे के बारे में परवाह नहीं करता है।