विरल रेखांकन के लिए नियमितता लेम्मा

Question

सजमेरी की नियमितता लेम्मा कहती है कि हर घने ग्राफ को कई द्विदलीय विस्तारक ग्राफ के संघ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है । अधिक सटीक रूप से, सेट में अधिकांश वर्टीकल का एक विभाजन है, जैसे सेट के अधिकांश जोड़े द्विपद विस्तारक (विभाजन में सेट की संख्या और विस्तार पैरामीटर सन्निकटन पैरामीटर पर निर्भर करते हैं):O ( 1 $O(1)$$O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

"अच्छी तरह से व्यवहार" विरल रेखांकन के लिए इस लेम्मा के संस्करण हैं, उदाहरण के लिए, देखें:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

इन योगों के बारे में मुझे आश्चर्य होता है कि वे केवल इस बात की गारंटी देते हैं कि विभाजन के सेटों के अधिकांश जोड़े द्विपादक विस्तारकों के रूप में हैं, और ये द्विदलीय विस्तारक खाली हो सकते हैं। इसलिए, सामान्य विरल रेखांकन में, यह काफी संभव है कि कोने के विभाजन के विभिन्न हिस्सों के बीच के सभी किनारे एक विस्तारक से संबंधित न हों।

मुझे आश्चर्य है कि क्या ऐसे फार्मूले हैं जो यह देते हैं कि भागों के बीच के अधिकांश हिस्से एक विस्तारक से हैं, या क्या इस तरह के निर्माण के लिए कोई उम्मीद नहीं है।

Comments

लेकिन यह सहज ज्ञान युक्त लगता है कि thm, जो घने रेखांकन के लिए है, विरल पर कुछ मायनों में टूट जाता है? ध्यान दें कि विकिपीडिया रेफरी वास्तव में विस्तारक रेखांकन के बारे में कुछ नहीं कहता है, जो यह बताता है कि यह वास्तव में एक बाद की व्याख्या / सूत्रीकरण हो सकता है ...

— vzn

(1) सेट के अच्छे व्यवहार वाले जोड़े के लिए सामान्य शब्द "नियमित जोड़े" हैं (विकिपीडिया में "छद्म यादृच्छिक" जोड़ी)। मैंने इसे "द्विदलीय विस्तारकों" से बदल दिया क्योंकि मुझे यह शब्दावली मेरे लिए अधिक स्वाभाविक लगती है। किसी भी मामले में, इरादा यह है कि यदि आप जोड़ी के दोनों किनारों से बड़े पर्याप्त उपसमुच्चय उठाते हैं, तो सबसेट के बीच किनारों की संख्या जोड़ी में किनारों की संख्या के लिए आनुपातिक है। (२) निश्चित रूप से घने रेखांकन के लिए जो सत्य है वह विरल रेखांकन के लिए सत्य हो सकता है। मेरा सवाल ठीक उसी हद तक है जब तक कि घने मामले के गुण विरल मामले में पकड़ में रहते हैं।

— दाना मोशकोविट्ज़

Answer 1

नीचे एक लम्बा-चौड़ा उत्तर है, लेकिन tl; सामान्य मामले में इस तरह के सूत्रीकरण के लिए कोई उम्मीद नहीं है, लेकिन विरल रेखांकन के कई विशेष वर्गों के लिए, जिनमें नियमितता है, इस निरूपण में मौजूद है।

पृष्ठभूमि के लिए, एसआरएल के दो लोकप्रिय संस्करण हैं। वे हैं: किसी भी निश्चित और किसी भी -node ग्राफ , कोई को में कर सकता है भागों ताकि ...$\varepsilon > 0$$n$$G = (V, E)$$V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$$p = O_{\varepsilon}(1)$

• (कॉम्बीनेटरियल ) (1) और किसी भी का आकार सबसे अधिक से भिन्न होता है ( को "असाधारण सेट" कहा जाता है), और (2) सभी लेकिन शेष भागों के जोड़े संतुष्ट (यहां भागों के बीच घनत्व, यानी किनारों का अंश जो मौजूद हैं) देता है।$|V_0| \le \varepsilon n$$V_1, \dots, V_p$$1$$V_0$$\varepsilon p^2$$(V_i, V_j)$

  $$\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$$ $d(\cdot, \cdot)$

• (विश्लेषणात्मक Phrasing) दे हमारे पास

  $$\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$$ $$\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$$

"कॉम्बिनेटरियल फॉन्टेसिंग" (मैंने इन नामों को बनाया, वे मानक नहीं हैं) मूल है और शायद अधिक प्रसिद्ध है, जबकि "विश्लेषणात्मक वाक्यांश" अधिक आधुनिक और ग्राफ सीमाओं से संबंधित है, आदि (मुझे लगता है कि यह यहां लोकप्रिय हुआ था))। मेरी नज़र में विश्लेषणात्मक एक "द्विदलीय विस्तारकों के संघ द्वारा सन्निकटित ग्राफ" का सही औपचारिककरण है, क्योंकि यह इस तरह के सन्निकटन की कुल "त्रुटि" पर एक नियंत्रण देता है, और इसमें एक असाधारण सेट नहीं है जिसमें द्रव्यमान को छिपाना है। लेकिन इस बिंदु पर यह सिर्फ कॉस्मेटिक है, क्योंकि यह एक आसान लेकिन महत्वपूर्ण लेम्मा है कि ये दो फंतासियां ​​बराबर हैं। कंबाइनटोरियल से एनालिटिक तक पहुंचने के लिए, बस अनियमित भागों और असाधारण सेट की विसंगति के लिए योगदान के लिए बाध्य होना चाहिए। एनालिटिक से कॉम्बिनेटर तक पहुंचने के लिए, बस किसी भी हिस्से को स्थानांतरित करें जो असाधारण सेट में बहुत अधिक विसंगति में योगदान देता है और मार्कोव की असमानता को अपने द्रव्यमान को नियंत्रित करने के लिए लागू करता है।

अब नियमितता को विरल करना है। विरल नियमितता का लक्ष्य साथ संबंधित असमानताओं में को बदलना है , जहां में मौजूद सभी संभावित किनारों का अंश है । गंभीर रूप से, इस परिवर्तन के साथ, दो वाक्यांश अब समान नहीं हैं। इसके बजाय, एनालिटिकल फॉन्टिंग अधिक मजबूत है: यह अभी भी पहले की तरह कॉम्बिनेटरियल का अर्थ है, लेकिन कॉम्बिनेटरियल आमतौर पर एनेलेटिक का मतलब नहीं है, क्योंकि (ओपी में प्रत्याशित) एक व्यक्ति असाधारण सेट में या गैर-नियमित के बीच बहुत अधिक घनत्व छिपा सकता है। भागों की जोड़ी। वास्तव में, यह अलगाव औपचारिक है: घने SRL के लिए निचले बाध्य ग्राफ़ (कहते हैं, यह एक है$\varepsilon$$\varepsilon d(G)$$d(G)$$G$) इसका मतलब है कि विश्लेषणात्मक वाक्यांश सामान्य रूप से रेखांकन करने के लिए सामान्य रूप से विस्तार नहीं करता है, लेकिन ओपी से जुड़े स्कॉट द्वारा कागज से पता चलता है कि कंबाइनटोरियल फ़्रेसिंग वास्तव में बिना किसी शर्त के सभी विरल ग्राफ़ का विस्तार करता है।

ओपी में जुड़ा सर्वेक्षण ज्यादातर "ऊपरी-नियमित" विरल रेखांकन के लिए एक एसआरएल के बारे में बात करता है, जिसका मोटे तौर पर मतलब है कि ग्राफ में कोई कटौती नहीं है जो एक स्थिर कारक से अधिक औसत से अधिक घनी होती है। इन विशेष ग्राफों के लिए, कंबाइनटोरियल और एनालिटिकल फॉन्टिंग्स समान हैं, क्योंकि असाधारण भागों में बहुत अधिक अतिरिक्त द्रव्यमान छिपा नहीं हो सकता है, इसलिए विसंगति में उनके योगदान को घने मामले की तरह संघबद्ध किया जा सकता है। इसलिए इन रेखांकन में "द्विपद विस्तारकों के संघ द्वारा अनुमानित" व्याख्या है।

अंत में, मुझे यह उल्लेख करना चाहिए कि साहित्य में कई अन्य परिकल्पनाएँ हैं जो इन कथानकों के बीच समान रूप से समानता रखती हैं। उदाहरण के लिए, ऊपरी नियमितता ( यहाँ परिभाषित ) ऊपरी नियमितता की तुलना में अधिक सामान्य है और अभी भी समान तुल्यता के लिए पर्याप्त है। हालांकि, इस ग्राफ वर्ग और अन्य के लिए, मैं केवल संबद्ध कमजोर नियमितता से अवगत हूं ।$L_p$

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इसके अलावा, थ्रेड नेक्रोमेंसी के लिए माफी - यह सिर्फ मेरी वर्तमान जलायी समीक्षा के साथ संरेखित करने के लिए हुआ, और मुझे लगा कि मुझे जो मिला है उसे साझा करूंगा।

— जीएमबी