सेट के संग्रह में सबसे छोटा सेट शामिल नहीं है

Question

इनपुट के रूप में देखते हुए एक पूर्णांक और एक सेट एस के तत्वों के सेट में से { 1 , । । । , n } , { 1 , के तत्वों के एक सेट टी को खोजने की जटिलता क्या है । । । , n } ऐसे कि T की न्यूनतम कार्डिनैलिटी है और T , S के किसी भी सेट में शामिल नहीं है ?$n$$S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Comments

दोनों जवाब अब तक हिटिंग सेट का उल्लेख करते हैं। ध्यान दें कि हिटिंग सेट हाइपरग्राफ में भी दिखाई देते हैं, जिसे ट्रांसवर्सल कहा जाता है , और मोनोटोन बूलियन फॉर्मूले के सीएनएफ डीएनएफ रूपांतरण। $\leftrightarrow$

— vzn

Answer 1

$[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$$i = 1, 2, \dotsc, m$

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, ध्यान दें कि यदि और केवल तभी । यही है, को प्रत्येक के पूरक को काटना होगा । लेकिन इसका मतलब यह है कि आपकी समस्या, अनिवार्य रूप से, हिटिंग सेट की समस्या के बराबर है (इनपुट ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

हिटिंग सेट। एक सेट परिवार और पूर्णांक , क्या कोई सेट साथ मौजूद है और सभी ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

हिटिंग सेट को एनपी-पूर्ण के रूप में जाना जाता है और ऐसा नहीं हो सकता है, शिथिल रूप से बोलना, समय तुलना में तेजी से हल किया जाता है जब तक कि मजबूत घातीय-समय की परिकल्पना विफल नहीं हो जाती।$O(2^n)$

Comments

आह, मैंने सेट मारने के बारे में सोचा था, लेकिन मैंने कमी नहीं देखी थी। धन्यवाद!

— a3nm

Answer 2

समस्या सेट कवर समस्या / हिट सेट समस्या के बराबर है:

के सबसेट के एक पारिवारिक को देखते हुए न्यूनतम संभव आकार के एक सेट का पता लगाएं, जो परिवार के में हर सेट को प्रतिच्छेद करता है। ।$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

आपकी समस्या हिटिंग सेट समस्या के बराबर है क्योंकि , किसी भी सेट में झूठ नहीं बोलता है यदि और केवल तभी यदि वह प्रत्येक सेट को । (इसलिए हिटिंग सेट की समस्या का एक उदाहरण हल करने के लिए, यह आपकी समस्या के उदाहरण को साथ हल करने के लिए पर्याप्त है ।)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

हिटिंग सेट की समस्या एनपी-हार्ड [कार्प '72] है। इसके लिए एक सन्निकटन एल्गोरिदम है और सन्निकटन परिणाम की एक मिलान कठोरता [लुंड, यानाकिस '94, फीज '98] है।$O(\log n)$