हमें तर्क वितर्क के लिए औपचारिक शब्दार्थ की आवश्यकता क्यों है?

Question

इस प्रश्न को हल करने पर विचार करें। मैं सबसे अच्छा जवाब नहीं दूंगा क्योंकि उन सभी ने विषय की मेरी समझ में योगदान दिया है।

Im अनिश्चित है कि हमें औपचारिक तर्क के शब्दार्थ को परिभाषित करने से क्या लाभ है। लेकिन मुझे औपचारिक प्रमाण पथरी होने का मूल्य दिखाई देता है। मेरा कहना यह है कि हमें प्रमाण गणना के अनुमान नियमों को सही ठहराने के लिए औपचारिक शब्दार्थ की आवश्यकता नहीं होगी।

हम एक ऐसे परिकलन को परिभाषित कर सकते हैं जो "विचारों के नियमों" की नकल करता है, यानी कि अनुमान के नियम जो कि गणितज्ञों द्वारा सैकड़ों वर्षों से अपने प्रमेयों को प्रमाणित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। ऐसी गणना पहले से मौजूद है: प्राकृतिक कटौती। तब हम इस गणना को ध्वनि और पूर्ण होने के लिए परिभाषित करेंगे।

इसे यह समझकर उचित ठहराया जा सकता है कि विधेय तर्क का औपचारिक शब्दार्थ केवल एक मॉडल है। मॉडल की उपयुक्तता केवल सहज रूप से उचित हो सकती है। इस प्रकार, यह दिखाते हुए कि प्राकृतिक कटौती ध्वनि है और औपचारिक शब्दार्थ के संदर्भ में पूर्ण प्राकृतिक कटौती को अधिक "सत्य" नहीं बनाती है। यह उतना ही अच्छा होगा अगर हम स्वाभाविक रूप से प्राकृतिक कटौती के नियमों को सहज रूप से सही ठहराएंगे। औपचारिक शब्दार्थ का उपयोग करने वाला चक्कर हमें कुछ नहीं देता है।

फिर, ध्वनि और पूर्ण होने के लिए प्राकृतिक कटौती को परिभाषित करने के बाद, हम अन्य गणनाओं की ध्वनि और पूर्णता को दिखा सकते हैं कि वे जो सबूत पेश करते हैं, उनका प्राकृतिक कटौती और इसके विपरीत अनुवाद किया जा सकता है।

क्या मेरे प्रतिबिंब सही हैं? औपचारिक शब्दार्थ के संदर्भ में प्रमाण गणना की ध्वनि और पूर्णता को साबित करना क्यों महत्वपूर्ण है?

Comments

यह कंप्यूटर विज्ञान के बजाय (शुद्ध) तर्क के बारे में एक प्रश्न लगता है। इसे math.stackexchange.com पर पूछना बेहतर हो सकता है ।

— त्सुकोशी इतो

मैं अन्यथा बहस करूंगा। लॉजिक सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में मूलभूत सामग्री में से एक है, विशेष रूप से तथाकथित थ्योरी बी ट्रैक।

— डेव क्लार्क

@supercooldave: मैं मानता हूं कि तर्क कंप्यूटर विज्ञान में एक मूलभूत घटक है, लेकिन मैंने अनुमान लगाया था कि इस सवाल का जवाब यहां के बजाय math.stackexchange.com पर अधिक संतोषजनक रूप से दिया जाएगा। इससे पहले कि आप एक जवाब पोस्ट कर रहे थे, निश्चित रूप से।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: मैंने सुना है कि किसी अन्य विभाग की तुलना में कंप्यूटर विज्ञान विभागों में अधिक लॉजिस्टिक्स कार्यरत हैं, तर्कशास्त्र विभागों में लॉजिस्टिक्स एक सकारात्मक रूप से दुर्लभ नस्ल है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

@ सुरेश: हमने पिछले सप्ताह में सिद्धांत-बी में वृद्धि देखी है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

Answer 1

एक मामूली टिप्पणी, और एक अधिक गंभीर जवाब।

सबसे पहले, यह fiat द्वारा एक प्राकृतिक कटौती प्रणाली को पूरा घोषित करने के लिए समझ में नहीं आता है। प्राकृतिक कटौती दिलचस्प है, क्योंकि इसमें स्थिरता और / या पूर्णता की प्राकृतिक आंतरिक धारणा है - अर्थात्, कट-उन्मूलन। यह एक शानदार प्रमेय है, और IMO पूरी तरह से प्रूफ-प्रमेय शब्दार्थ प्रदान करने के प्रयासों को सही ठहराता है (और CH पत्राचार द्वारा, यह इसी तरह प्रोग्रामिंग लैंग्वेज शब्दार्थों में संचालन विधियों के उपयोग को सही ठहराता है)। लेकिन यह वास्तव में दिलचस्प है क्योंकि यह तर्क को स्थिरता की तुलना में सही होने की अधिक परिष्कृत धारणा प्रदान करता है। प्रूफ थेरैटिक रोड लेने का मतलब है कि आपको अधिक काम करना होगा, लेकिन बदले में आपको मजबूत परिणाम मिलते हैं।

हालांकि, ऐसा होता है कि कभी-कभी तर्क प्रति सेएक माध्यमिक भूमिका लेता है। हम एक (परिवार) मॉडल के साथ शुरू कर सकते हैं, और फिर एक तर्क का उपयोग करके उनके बारे में वाक्यात्मक तरीके से बात कर सकते हैं। मॉडल के एक परिवार के संबंध में तर्क की ध्वनि और पूर्णता इंगित करती है कि तर्क वास्तव में उन सभी चीजों पर कब्जा कर लेता है जो दिलचस्प और सच्चे हैं, जो आप मॉडल के वर्ग के बारे में कह सकते हैं। कार्यक्रम विश्लेषण और मॉडल की जाँच में तार्किक सिद्धांतों की तुलना में जब मॉडल अधिक दिलचस्प होते हैं, तो इसका एक ठोस उदाहरण। वहां, सामान्य बात यह है कि अपने मॉडल को एक कार्यक्रम का निष्पादन करने के लिए ले जाएं, और लौकिक तर्क के कुछ टुकड़े होने का तर्क। इन भाषाओं में आप जो प्रस्ताव कह सकते हैं, वे (जानबूझकर) बहुत रोमांचक नहीं हैं - उदाहरण के लिए, शून्य सूचक डेरेफेरेंस कभी नहीं होते हैं - लेकिन यह तथ्य है कि यह वास्तविक कार्यक्रम पर लागू होता है जो इसे ब्याज देता है।

Answer 2

मैं उपरोक्त प्रतिक्रियाओं को बढ़ाने के लिए सिर्फ एक और परिप्रेक्ष्य जोड़ूंगा। सबसे पहले, ये प्रतिबिंब सार्थक हैं, और कई लोगों के विचार समान हैं। दर्शन में इसे कभी-कभी 60 और 70 के दशक में Nuel Belnap, Dag Prawitz, Michael Dummett और अन्य लोगों द्वारा काम करने की अपील करते हुए "प्रूफ-थियेट्रिक सिमेंटिक" कहा जाता है, जो स्वयं प्राकृतिक कटौती के लिए Gentzen के काम में वापस आते हैं। प्रति मार्टिन-लोफ और जीन-यवेस गिरार्ड भी अपने लेखन में इस स्थिति के वेरिएंट को प्रस्तावित करते हैं। और बहुत मोटे तौर पर, प्रोग्रामिंग भाषाओं में यह "टाइप साउंडनेस के लिए वाक्यात्मक दृष्टिकोण" है।

बात यह है कि भले ही आप स्वीकार करते हैं कि तर्क के नियमों को एक अलग अर्थ की व्याख्या की आवश्यकता नहीं है, यह कहना बहुत दिलचस्प / उपयोगी नहीं है कि वे स्व-औचित्य हैं और इसे उस पर छोड़ दें। सवाल यह है कि एक औपचारिक शब्दार्थ क्या पूरा करता है, और क्या यह संभव है कि कम डिटर्जेंट के साथ ही इसे हासिल किया जाए। हालांकि, विश्लेषणात्मक प्रमाण सिद्धांत के साथ मॉडल सिद्धांत को एकजुट करने की परियोजना महत्वपूर्ण है, लेकिन अभी भी अनसुलझी है, सक्रिय तर्क, खेल शब्दार्थ और गिरार्ड के "लॉडिक्स" सहित कई अलग-अलग मोर्चों पर सक्रिय रूप से पीछा किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, चार्ल्स ने जो उल्लेख किया है उसके अलावा, मॉडल होने का एक और गुणात्मक लाभ गैर को ठोस प्रतिपक्ष प्रदान करने की क्षमता है-प्रश्न, और प्रश्न यह है कि "प्रत्यक्ष" दृष्टिकोण में इसका अर्थ कैसे बनाया जाए। एक ल्यूडिक्स से प्रेरित उत्तर के लिए, मिशेल बसाल्डेला और कज़ुशिएग टेरुई द्वारा "तार्किक पूर्णता के अर्थ पर" देखें ।

Answer 3

एक औपचारिक शब्दार्थ वाक्य-रचना के स्वतंत्र रूप से वाक्य-विन्यास के नियमों का एक सीधा अर्थ प्रदान करता है जिससे उनमें हेरफेर किया जा सके। औपचारिक शब्दार्थ के बिना आप यह कैसे कह सकते हैं कि कटौती के नियम सही हैं (ध्वनिहीनता) या क्या आपके पास उनमें से पर्याप्त (पूर्णता) है?

प्राकृतिक कटौती के बारे में आने से पहले "विचार के कानून" प्रस्तावित किए गए हैं। अरस्तू के सिओलॉगिज्म एक ऐसा संग्रह था। यदि हमने उन्हें ध्वनि और पूर्ण होने के लिए परिभाषित किया था, तो हम अधिक उन्नत तार्किक तकनीकों को विकसित करने के बजाय शायद आज भी उनका उपयोग करेंगे। इस बिंदु पर, अगर नपुंसकता पूरी तरह से विचार के कानूनों को पकड़ लेती है, तो हमें किसी भी अन्य लॉजिक्स को तैयार करने की आवश्यकता क्यों होगी। क्या होगा अगर वे वास्तव में असंगत थे? औपचारिक प्रमाण पथरी के साथ एक अर्थ विज्ञान होने और सुदृढ़ता और पूर्णता प्रमाण उन्हें जोड़ने इस तरह के एक तर्क प्रणाली के मूल्य को पहचानने के लिए एक मापने छड़ी प्रदान करता है। यह अब अलगाव में खड़ा नहीं होगा।

$X\lor \neg X$यहां तक ​​कि इस तर्क पर भी जाएं कि हमें यह स्वीकार करना चाहिए कि कोई भी सच्चा तर्क नहीं है और इस अवसर के लिए सबसे उपयुक्त तर्क का उपयोग करते हुए बहुलवादी रवैया अपनाएं। कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए उपलब्ध लॉजिक्स के बहुतायत (रैखिक तर्क, पृथक्करण तर्क, उच्च-क्रम रचनात्मक तर्क, कई मोडल लॉजिक, सभी शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी किस्मों में) को देखते हुए, बहुलवादी रवैया अपनाना कुछ ऐसा है जिसे हममें से शायद किसी ने दूसरा नहीं दिया है। सोचा, क्योंकि लॉजिक्स एक विशेष समस्या को हल करने के लिए एक उपकरण है और हम सबसे उपयुक्त एक का चयन करने का प्रयास करते हैं। एक औपचारिक शब्दार्थवाद तर्क की उपयुक्तता को पहचानने का एक तरीका है।

औपचारिक शब्दार्थ होने का एक अन्य कारण यह है कि विधेय पथरी की तुलना में अधिक लॉजिक्स हैं। इनमें से कई लॉजिक्स एक विशेष प्रकार की प्रणाली के कारण के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। (मैं मोडल लॉजिक्स के बारे में सोच रहा हूं)। यहां प्रणालियों की श्रेणी ज्ञात है और तर्क बाद में आता है (हालांकि, ऐतिहासिक रूप से, यह भी सच नहीं है)। फिर से, ध्वनि हमें बताती है कि क्या तर्क के स्वयंसिद्ध सिस्टम के "व्यवहार" को सही ढंग से पकड़ते हैं, और पूर्णता हमें बताती है कि क्या हमारे पास पर्याप्त स्वयंसिद्ध हैं। शब्दार्थ के बिना, हमें कैसे पता चलेगा कि क्या कटौती के नियम पर्याप्त हैं और बकवास नहीं हैं?

एक उदाहरण तर्क जिसे विशुद्ध रूप से वाक्यगत रूप से परिभाषित किया गया था और यह अभी भी जारी है कि इसे औपचारिक रूप से प्रदान किया जाए क्योंकि क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल के बारे में तर्क के लिए BAN तर्क है। तार्किक निष्कर्ष नियम उचित प्रतीत होते हैं, इसलिए एक औपचारिक शब्दार्थ प्रदान करें? दुर्भाग्य से, BAN तर्क का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि एक प्रोटोकॉल सही है, फिर भी ऐसे प्रोटोकॉल पर हमले मौजूद हो सकते हैं। कटौती नियम इसलिए गलत हैं , कम से कम अपेक्षित शब्दार्थ के संबंध में।

Comments

आपने लिखा है: "प्रस्तावित शब्दार्थ एक कटौती की सहज धारणा से मेल खाता है या नहीं यह एक दार्शनिक मामला है।" हम इस वाक्य में "शब्दार्थ" को "प्रमाण नियमों" द्वारा बदल सकते हैं और निम्नलिखित वाक्य प्राप्त कर सकते हैं: प्रस्तावित प्रमाण नियम कटौती की सहज धारणा के अनुरूप हैं या नहीं, यह एक दार्शनिक मामला है। यहाँ मेरा कहना है कि प्रमाण नियमों के विनिर्देश शब्दार्थ को परिभाषित करने का एक रूप है।

— मार्टिन

औपचारिक शब्दार्थ को निर्दिष्ट करके और फिर इस शब्दार्थ के संबंध में ध्वनि और पूर्णता को साबित करते हुए , हमने केवल यह दर्शाया है कि शब्दार्थ और प्रमाण नियम संगत हैं, लेकिन यह प्रमाण नियमों को अधिक "सत्य" नहीं बनाता है, तो यदि हम उन्हें सीधे सही ठहराते हैं प्रमाण की सहज धारणा का उपयोग करना।

— मार्टिन

दूसरे पैराग्राफ में आप जो कहते हैं, उससे मैं असहमत हूं। अगर हमने सिओलॉगिज्म को ध्वनि और पूर्ण होने के लिए परिभाषित किया था, तो हमने निश्चित रूप से कुछ अन्य गणनाओं का आविष्कार किया होगा और फिर दिखाया कि वे बिल्कुल वैसी ही प्रतिमाओं का प्रमाण दे सकते हैं जैसे कि सिओलोगिज्म (यानी वे ध्वनि हैं और सिओलोगिज़्म के संदर्भ में पूर्ण हैं )। लेकिन निश्चित रूप से, कुछ तर्कशास्त्रियों और दार्शनिकों ने साथ आकर यह तर्क दिया होगा कि नपुंसकताएं पर्याप्त नहीं हैं। नवीनतम में, Boole और Frege ने नियमों के सेट को बढ़ाया होगा, और Gentzen ने अपने ND का आविष्कार किया होगा।

— मार्टिन

अपनी पहली टिप्पणी के बारे में। दरअसल, प्रमाण नियम एक तर्क को परिभाषित करते हैं और खुद को एक शब्दार्थ के रूप में देखा जा सकता है। दरअसल, प्रोग्रामिंग लैंग्वेज रिसर्च में यह काफी सामान्य है कि प्रोग्रामिंग लैंग्वेज के शब्दार्थ को एक समान फैशन में परिभाषित किया जाता है (जैसे, ऑपरेशनल सेमेंटिक्स के माध्यम से)। तो आपकी बात सर्वमान्य है। दूसरी ओर, शब्दार्थ पर काम तर्क में सूत्र के लिए एक पूर्ण, गैर-परिचालन अर्थ खोजने की कोशिश करता है, एक जो कटौती करने के साधनों से स्वतंत्र है।

— डेव क्लार्क

@ मॉर्टिन, लोगों के जवाबों को लेकर आपकी प्रतिक्रियाएं मुझे "नरम" और "अवैज्ञानिक" लगती हैं। बेशक, हमें शब्दार्थ की आवश्यकता नहीं है , अगर "ज़रूरत" से आपका मतलब है "तो क्या यह संभव है कि सभी गणितीय प्रमेयों को बिज्ज़ारे से फिर से प्राप्त किया जा सके, लेकिन निश्चित रूप से समतुल्य विषम तर्क एल।" लेकिन मॉडल होना अच्छा है! मॉडल वे कंप्यूटर प्रोग्राम हो सकते हैं जिन्हें हम सत्यापित करना चाहते हैं, वितरित सिस्टम जिन्हें हम अनुकरण करना चाहते हैं, या उन संरचनाओं को ऑर्डर करना चाहते हैं जिन्हें हम P = FO (LFP) साबित करने के लिए Ehrenfeucht-Fraisse गेम खेल सकते हैं। आपसे मेरा सवाल: क्या आप किसी भी कंप्यूटर विज्ञान लाभ को शब्दार्थ के बिना लॉजिक्स के साथ काम करने का नाम दे सकते हैं?

— एरोन स्टर्लिंग

Answer 4

मैं सुपरकोल्डेव से सहमत हूं, लेकिन एक और अधिक या कुछ अन्य इंजेक्शन नियमों की इच्छा के लिए एक और अधिक व्यावहारिक कारण है, जो एक तर्क को चिह्नित करता है: एक दिए गए इंजेक्शन नियम नियमों का तर्क देते समय समस्याओं का जवाब देने के लिए अच्छा नहीं है। उपयोग करने के लिए।

यदि आपके पास हिल्बर्ट प्रणाली के रूप में स्वयंसिद्ध और नियमों के एक जोड़े द्वारा निर्दिष्ट एक तर्क है, तो आमतौर पर यह पता लगाने के लिए कड़ी मेहनत की जाती है कि सिस्टम में दिए गए प्रमेय को कैसे साबित किया जाए, और सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि के बिना, आप नहीं जा रहे हैं यह साबित करने में सक्षम होना कि किसी दिए गए प्रस्ताव को सिस्टम में सिद्ध नहीं किया जा सकता है। पारंपरिक मॉडल गुणों को साबित करने के लिए अच्छे हैं जो पूरे तर्क के लिए प्रेरण द्वारा धारण करते हैं।

चार प्रकार के उपकरण उन समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिन्हें अधिकांश तर्कशास्त्री हल करना चाहते हैं, कम से कम अधिकांश शब्दार्थ से व्यवस्थित:

1. हिल्बर्ट-शैली की प्रणालियाँ एक तर्क के तार्किक परिणाम संबंध को चिह्नित करने के लिए अच्छी हैं, और वे आमतौर पर कई लॉजिक्स जैसे प्रतिद्वंद्वी मोडल लॉजिक्स को वर्गीकृत करने के लिए अच्छे हैं;
2. निर्णय एल्गोरिदम को औपचारिक बनाने के लिए झांकी प्रणाली अच्छी हैं। आमतौर पर यदि कोई तर्क निर्णायक होता है, तो एक समाप्ति एल्गोरिथ्म को निर्णय एल्गोरिथ्म के रूप में पा सकता है, और यदि कोई संभावित गैर-समाप्ति वाली झांकी प्रणाली नहीं पा सकता है, जो अर्ध-निर्णय प्रक्रिया प्रदान करता है। यदि कोई निर्णायकता की जटिलता पर ऊपरी सीमा दिखाना चाहता है (यानी, एक तर्क की जटिलता वर्ग), तो झांकी प्रणाली आम तौर पर पहले स्थान पर दिखती है।
3. विश्लेषणात्मक प्रमाण सिद्धांत, जैसे कि Gentzen की प्राकृतिक कटौती और अनुक्रमिक कलन, ऐसे साक्ष्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो तर्क के लिए अच्छे होते हैं, और विश्लेषणात्मक प्रमाण की धारणा की पेशकश करते हैं, जो एक सिद्धांत के लिए प्रक्षेप जैसे उपयोगी गुणों को साबित करने के लिए उपयोगी है।
4. टार्स्की शैली के मॉडल सिद्धांत अक्सर तर्कशास्त्र के बारे में तर्क के लिए बेहतर होते हैं, क्योंकि वे तर्क के वाक्य-विवरण से लगभग पूरी तरह से दूर होते हैं। मोडल लॉजिक और सेट थ्योरी में, वे परिणाम देने में इतने बेहतर हैं कि उन तर्कशास्त्रियों की झांकी और विश्लेषणात्मक प्रमाण सिद्धांत में बहुत सीमित रुचि है।

चूंकि सुपरकोल्डेव ने अंतर्ज्ञानवादी तर्क का उल्लेख किया है: बहिष्कृत मध्य के नियम के बिना, मॉडल सिद्धांत बहुत अधिक जटिल हो जाता है, और विश्लेषणात्मक प्रमाण सिद्धांत अधिक महत्वपूर्ण हो जाते हैं, आमतौर पर पसंद के शब्दार्थ। श्रेणी सिद्धांत के रूप में बीजगणितीय तकनीक, सिंटैक्टिक जटिलता से दूर अमूर्तता के लिए पसंदीदा हो जाती है।