क्या एनपीआई पी / पाली में निहित है?

Question

यह अनुमान लगाया जा रहा है कि रूप में बाद से । लेडनर का प्रमेय यह स्थापित करता है कि अगर \ mathsf {P} \ ne \ mathsf {NP} तो \ mathsf {NPI}: = \ mathsf {NP} \ setminus (\ mathsf {NPC} / cup \ mathsf {P}) \ ne \ emptysetet । हालाँकि, सबूत \ mathsf {P} / \ text {पाली} को सामान्य नहीं लगता है, इसलिए संभावना \ mathsf {NPI} \ subset \ mathsf {P} / \ text {पाली} अर्थात \ mathsf [NP} \ " सब्मिट \ mathsf {NPC} \ cup \ mathsf {P} / \ text {पाली} खुला लगता है।$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{PH} = \Sigma_2$$\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{NPI} := \mathsf{NP} \setminus(\mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}) \ne \emptyset$$\mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NP} \subset \mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}/\text{poly}$

मान लें कि $\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ (या यहां तक ​​कि बहुपद पदानुक्रम किसी भी स्तर पर नहीं गिरता है), is $\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$ को सही या गलत माना जाता है? इसके खिलाफ और उसके लिए क्या साक्ष्य रखे जा सकते हैं?

Comments

तो, "क्या होगा अगर एनपी में सभी समस्याएं या तो एनपी-पूर्ण या पी \ पॉली में हैं"? एक बात के लिए यह फैक्टरिंग के लिए छोटे सर्किट अर्थ होगा

— Sasho निकोलोव

ps: यदि आप उद्धृत भाग में "यह" लिखेंगे तो पोस्ट अधिक पठनीय होगी। इसके अलावा, आप अपनी धारणा के रूप में \ mathsf {NP} \ not \ subseteq \ mathsf {P} के स्थान पर \ mathsf {NP} \ not \ subseteq \ mathsf {P / poly} का उपयोग करना चाह सकते हैं । $\mathsf{NP}\not\subseteq\mathsf{P/poly}$$\mathsf{NP}\not\subseteq\mathsf{P}$

— केव

एक पैडिंग तर्क नहीं दिखाएगा कि ऐसा तब तक नहीं हो सकता है जब तक कि एनपी $\subseteq$ पी / पॉली न हो ?

— पीटर शोर

@PeterShor: मैं शायद घनी जा रहा हूं, लेकिन यह वास्तव में कैसे काम करेगा?

— वैनेसा

@Squark: आप घने नहीं हो रहे हैं ... मैंने बिल्कुल काम नहीं किया था कि यह कैसे काम करेगा, और मुझे लगता है कि मैंने परिणाम को थोड़ा गलत बताया। लेकिन यहाँ मेरा मूल विचार है। मान लीजिए कि एनपी-पूर्ण समस्याओं को उप-निगमित समय और सलाह में हल नहीं किया जा सकता है। एक एनपी-पूर्ण समस्या एक्स लें, और इसे पैड दें ताकि इसके लिए सबसे तेज़ एल्गोरिथ्म मुश्किल से सब-एक्सपोनेंशियल हो। फिर यह एनपीआई है, इसलिए इसे पी / पाली में हल किया जा सकता है। इसका मतलब एनपी-पूर्ण समस्या एक्स को पी / पॉली समय की तुलना में थोड़ा धीमा समय में हल किया जा सकता है। बहुपद कमी से, अब सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं को पी / पॉली समय की तुलना में थोड़ा धीमा में हल किया जा सकता है।

— पीटर शोर

Answer 1

यहाँ लाडिंग के प्रमेय के स्कोनिंग के सामान्यीकरण के आधार पर एक पैडिंग तर्क का एक संभावित विकल्प है। तर्क को समझने के लिए, आपको इस कागज़ तक पहुँच की आवश्यकता होगी (जो दुर्भाग्य से कई लोगों के लिए भुगतान की दीवार के पीछे होगा):

उवे शोगिंग। जटिलता वर्गों में विकर्ण सेट प्राप्त करने के लिए एक समान दृष्टिकोण। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 18 (1): 95-103, 1982।

हम और भाषाओं और और होने के लिए उस पेपर से मुख्य प्रमेय लागू करेंगे जो निम्नानुसार जटिलता वर्ग हैं:ए 2 सी 1 सी$A_1$$A_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

• $A_1 = \varnothing$ (या किसी भी भाषा में )$\mathsf{P}$
• $A_2 = \text{SAT}$
• $\mathsf{C}_1 = \mathsf{NPC}$
• $\mathsf{C}_2 = \mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$

स्पष्टता के लिए, जिस तथ्य को हम साबित करेंगे वह है तात्पर्य ।एन पी मैं ⊈ पी / पी ओ एल $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

इस धारणा के तहत कि हमारे पास और । यह स्पष्ट है कि और परिमित विविधताओं के तहत बंद हैं। शूइंग के पेपर में एक प्रमाण शामिल है कि पुनरावर्ती रूप से प्रस्तुत करने योग्य है (जिसकी सटीक परिभाषा कागज में पाई जा सकती है), और तर्क का सबसे कठिन हिस्सा यह साबित करना है कि पुनरावर्ती रूप से प्रस्तुत करने योग्य है।एक 1 ∉ सी 1 ए 2 ∉ सी 2 सी 1 सी 2 सी 1 सी$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$A_1\not\in\mathsf{C}_1$$A_2\not\in\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

इन मान्यताओं के तहत, प्रमेय का तात्पर्य एक भाषा मौजूद है में न तो यह है कि है और न ही में ; और उस , यह मानता है कि , -reducible से , और इसलिए । यह देखते हुए कि में है लेकिन न तो है -Complete है और न ही में , यह इस प्रकार है कि ।सी 1 सी 2 ए 1 ∈ पी$A$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$A_1\in\mathsf{P}$$A$ एक ∈ एन पी ए एन पी एन पी एन पी ∩ पी / पी ओ एल वाई एन पी मैं ⊈ पी / पी ओ एल $A_2$$A\in\mathsf{NP}$$A$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

यह साबित होता है कि पुनरावर्ती रूप से प्रस्तुत करने योग्य है। मूल रूप से इसका अर्थ है कि नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों अनुक्रम का एक स्पष्ट विवरण है जो सभी इनपुटों पर रुका हुआ है और ऐसे हैं जैसे कि । यदि मेरे तर्क में कोई गलती है, तो यह संभवतः यहाँ है, और यदि आपको वास्तव में इस परिणाम का उपयोग करने की आवश्यकता है, तो आप इसे सावधानीपूर्वक करना चाहेंगे। वैसे भी, सभी बहुपद-काल nondeterministic ट्यूरिंग मशीनों पर (जो कि नियत रूप से सिम्युलेटेड हो सकती है, क्योंकि हम प्रत्येक के रनिंग टाइम की परवाह नहीं करते हैंएम $\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$एन पी ∩ पी / पी ओ एल y = { एल ( एम कश्मीर ) : कश्मीर = 1 , 2 , ... } एम कश्मीर एम कश्मीर एम $M_1, M_2, \ldots$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly} = \{L(M_k):k=1,2,\ldots\}$$M_k$) और सभी बहुपद, एक दिए गए भाषा के लिए बूलियन सर्किट परिवार के आकार पर ऊपरी सीमा का प्रतिनिधित्व करते हैं, मेरा मानना ​​है कि काम करने वाले एक ज्ञान प्राप्त करना मुश्किल नहीं है। संक्षेप में, प्रत्येक परीक्षण कर सकता है कि इसके संबंधित बहुपद-काल NTM बहुपद-आकार सर्किट के कुछ परिवार के साथ सहमत हैं, इनपुट स्ट्रिंग की लंबाई तक यह संभव बूलियन सर्किट पर खोज करके दिया गया है। यदि समझौता है, तो NTM के रूप में आउटपुट करेगा, अन्यथा यह अस्वीकार कर देता है (और परिणामस्वरूप एक परिमित भाषा का प्रतिनिधित्व करता है)।$M_k$$M_k$

तर्क के पीछे मूल अंतर्ज्ञान (जो शॉनिंग के परिणाम के अंदर छिपा हुआ है) यह है कि आपके पास कभी भी दो "अच्छा" जटिलता वर्ग (यानी, पुनरावर्ती प्रस्तुतियों वाले) एक-दूसरे के प्रति असंतुष्ट और बैठे नहीं रह सकते हैं। जटिल कक्षाओं की "टोपोलॉजी" इसकी अनुमति नहीं देगी: आप हमेशा दो वर्गों के बीच किसी भी तरह से इनपुट लंबाई के लंबे लंबे खंडों के लिए दोनों के बीच बारी-बारी से एक भाषा का निर्माण कर सकते हैं। की प्रमेय यह और , और Schöning का सामान्यीकरण आपको कई अन्य वर्गों के लिए भी ऐसा ही करने देता है।एन पी $\mathsf{P}$$\mathsf{NPC}$

Comments

यह Schöning के प्रकाशनों की एक कड़ी है, जो मुफ्त में उपलब्ध हैं, जिनमें से आप इसमें शामिल हैं: uni-ulm.de/in/theo/m/schoening/…

— Alessandro Cosentino

आपके उत्तर के लिए बहूत बहूत धन्यवाद! मजेदार बात यह है कि, मैं शोईनंग प्रमेय जानता था, लेकिन कुछ मूर्खतापूर्ण कारण से लगा कि यह इस मामले में लागू नहीं होता है। Btw, पाठ स्वतंत्र रूप से उपलब्ध है यहां तक ​​कि अनुभवी में भी

— वैनेसा

@Squark: यह संदेह करना मूर्खतापूर्ण नहीं है कि शॉनिंग की प्रमेय लागू नहीं होती है, यह देखते हुए कि पी / पाली में गैर-पुनरावर्ती भाषाएं शामिल हैं। मुझे लगता है कि यह सौभाग्य है कि हम इसे एनपी के साथ जोड़ सकते हैं और अभी भी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

— जॉन वॉटरस

@ जॉनवर्टस: हाँ, यह ठीक यही कारण है कि मैं भ्रमित था

— वैनेसा

Answer 2

मैं टिप्पणी में वर्णित अनुसार एक गद्दी तर्क के कुछ संस्करण लिखना चाहूंगा। मैं नहीं देखता कि एक अंतर की आवश्यकता क्यों है। हम यह बताना चाहते हैं कि यदि एनपी पी / पॉली में समाहित नहीं है, तो एनपी-मध्यवर्ती समस्या है जो पी / पॉली में निहित नहीं है।

एक अनबाउंड फ़ंक्शन ऐसा है कि SAT में से कम आकार के सर्किट नहीं हैं , और इसलिए एक फ़ंक्शन है जो अबाधित है, बढ़ता जा रहा है, और । सैट 'की लंबाई से SAT स्ट्रिंग्स को पेडिंग द्वारा प्राप्त भाषा को दर्शाते हैं । फिर:n f ( n ) g g ( n ) = o ( f ( n ) ) n n g ( n $f$$n^{f(n)}$$g$$g(n)=o(f(n))$$n$$n^{g(n)}$

• SAT 'एनपी में है (नीचे देखें!)
• SAT 'पी / पाली में नहीं है: SAT के लिए आकार सर्किट दिए गए हैं , हम SAT के लिए आकार के सर्किट प्राप्त करते हैं , लेकिन यह कुछ ।n g ( n ) k n f ( n )$n^k$$n^{g(n)k}$$n^{f(n)}$$n$
• सैट से सैट तक कोई पी / पाली कमी नहीं है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि सैट के लिए आकार सर्किट हैं , जो सैट के फाटकों की अनुमति देते हैं। उठाओ बड़ा पर्याप्त है कि और जाने । में प्रत्येक SAT के गेट में अधिकांश इनपुट होते हैं। पेडिंग इनपुट्स को हटाकर हम में SAT के गेट्स को एक से गेट कर सकते हैं जिसमें इनपुट्स से कम है , जिसे हम का उपयोग करके अनुकरण कर सकते हैं - जिसके परिणामस्वरूप SAT के गेट्स सबसे अधिक हैं। इनपुट। इसे दोहराते हुए और हाथ से इलाज हुए, SAT में लगभग आकार के सर्किट होंगेएन कश्मीर एन जी ( $C_n$$n^k$$N$n>एनसीएनएनkसीएन$g(\sqrt{N}) > 2k$$n>N$$C_n$$n^k$$C_n$ सी$\sqrt{n}$ nk/$C_{\sqrt{n}}$$n^{k/2}$$C_N$$O(n^k n^{k/2} n^{k/4} \dots) \approx O(n^{2k})$ जो कुछ लिए से कम है ।$n^{f(n)}$$n$

संपादित करें:

का चुनाव थोड़ा फिजूल है। यदि आप NP के वादे के संस्करण में SAT 'डालकर खुश हैं, तो यह थोड़ा अनावश्यक है।$g$

एफटी को अधिकतम पूर्णांक मानें जैसे कि SAT के लिए लंबाई स्ट्रिंग्स के लिए आकार का कोई सर्किट नहीं है । एक एल्गोरिथ्म द्वारा को परिभाषित करें जो लिए गणना करता है और समय या जब बाद रुक जाता है , और इस समय में प्राप्त उच्चतम मान के वर्गमूल के तल को लौटाता है । तो और और गणना समय में की जा सकती है । अब ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क केवल SAT पर निर्भर करते हैं, जिनका आकार सर्किट नहीं है , असीम रूप से कईएन एफ ( एन ) एन जी ( एन $f(n)$$n^{f(n)}$$n$$g(n)$m = 1 , 2 , … n m $f(m)$$m=1,2,\dots$$n$$m=n$$g(n)$$\liminf g(n)/f(n)=0$$g(n)$$n$$n^{f(n)}$$n$।

मैं भी एक सबूत देखने के लिए दिलचस्प होगा SAT में छेद को उड़ाने के रूप में http://blog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf । एनपी आवश्यकता के बिना यह काफी आसान है: एक अनुक्रम है ऐसा है कि कोई सर्किट ओएस आकार पता लगाता है कि एसएटी स्ट्रिंग्स की लंबाई ; लंबाई के तार करने के लिए सैट प्रतिबंधित कुछ के लिए ।( n k ) k n n 2 2 i$n_1<n_2<\dots$$(n_k)^k$$n$$n_{2^{2^i}}$$i$

Comments

@ जॉनवेट्रस के उत्तर को देखने के बाद, मुझे इम्पेग्लियाज़ो के लाडनर के प्रमेय के प्रमाण को पैडिंग (सीएफ। डाउनी एंड फोर्टेन "यूनिफॉर्मली हार्ड लैंग्वेजेस": cuchicicago.edu/~fortnow/papers/uniform.pdf ) द्वारा याद दिलाया गया । वास्तव में, आपका प्रमाण मूल रूप से इम्पेग्लियाज़ो का लाडनेर का प्रमाण है, लेकिन इस स्थिति के अनुकूल है। साफ!

— जोशुआ ग्रोको

आपके उत्तर के लिए बहूत बहूत धन्यवाद! मैं माफी माँगता हूँ मैंने इसे नहीं चुना है लेकिन मुझे एक चुनना पड़ा और वाट्सएप के तर्क का पालन करना आसान था क्योंकि यह एक परिणाम का उपयोग करता था जिसे मैं पहले से जानता था। यह चुनने के लिए एक व्यक्तिपरक तरीका है, लेकिन मैं कोई बेहतर नहीं कर सकता। वैसे भी एक दिलचस्प परिणाम पर पहुंचने के लिए एक से अधिक तरीके होना बहुत अच्छा है

— वैनेसा

@Squark: बिल्कुल - और मैंने यह भी माना कि शूइंग की प्रमेय लागू नहीं हुई।

— कॉलिन मैकक्लिअन

Answer 3

(एनपीआई पी / पाली) (पी एनपी)$\nsubseteq$$\implies$$\neq$

Comments

यह ज्ञात और तुच्छ दोनों है: यदि P = NP, तो । यह भी सवाल नहीं है , सवाल यह है कि आपने जो लिखा है, उसका उल्टा है, और कॉलिन द्वारा स्पष्ट रूप से उत्तर दिया गया था जहां तक ​​मैं देख सकता हूं। $\mathsf{NPI} \subseteq \mathsf{NP} = \mathsf{P} \subseteq \mathsf{P/pol}$

— साशो निकोलेव

सवाल "एनपीआई पी / पॉली में निहित है" हकदार है और लगता है कि यह एक उचित जवाब है, क्योंकि एनपीआई को आमतौर पर परिभाषित नहीं किया जाता है, जिस तरह से वास्तव में तुच्छ है (जैसा कि पी एनपी पर निर्भर है ) ... यह जवाब नहीं देता है अन्य उत्तर के साथ संघर्ष ...$\neq$

— vzn

वास्तव में यह और भी स्पष्ट रूप से तुच्छ है: यदि पी = एनपी, एनपीआई खाली है। यह प्रश्न स्पष्ट रूप से कहा गया है कि "एनपी पी / पॉली में निहित नहीं है। एनपीआई पी / पॉली में नहीं है। तो आपके उत्तर 1) का दावा है कि एक तुच्छ तथ्य एक खुली समस्या है 2) प्रश्न को संबोधित नहीं करता है

— साशो निकोलेव

अंकों की कम परवाह नहीं कर सकता था। पिछली बार के लिए: मेरी पहली टिप्पणी, कॉलिन का जवाब है, और सवाल ही अब तक कम तुच्छ और अधिक दिलचस्प से जुड़े हुए हैं बातचीत खाली निहितार्थ आप नीचे लिखा की।

— साशो निकोलेव

-1: कभी-कभी हारने का बिंदु सिर्फ सही लगता है

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो