कै-फेंडर-इमरमन गैजेट्स में ऑटोमोरफिज्म

Question

वेसफाइलर-लेहमैन (WL) विधि के माध्यम से ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए प्रसिद्ध काउंटर उदाहरण में इस पेपर में कै, फ्यूरर और इमरमन द्वारा निम्न गैजेट का निर्माण किया गया था । वे एक ग्राफ का निर्माण द्वारा दिए गए$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

समाचार पत्र में lemmas (लेम्मा 3.1 पेज 6) कहा गया है कि अगर हम रंग कोने में से एक और रंग के साथ तो (रंग automorphism द्वारा संरक्षित किया जाना है) जहां अंतर्विनिमय करने के लिए प्रत्येक automorphism मेल खाती और प्रत्येक के लिए कुछ सबसेट में एस के \ {1,2, \ ldots, कश्मीर \} भी प्रमुखता से । उनका कहना है कि सबूत तत्काल है। लेकिन मैं यह देखने में विफल हूं कि के = 2 के मामले में भी कैसे । में x_2 \ (a_1, मी _ {\ {1,2 \}}) एक बढ़त है, लेकिन यदि हम automorphism है इंटरचेंज जो a_1, b_1 और a_2, b_2b i i | ए यू टी ( एक्स के ) | = 2 कश्मीर - 1 एक मैं ख मैं मैं एस { 1 , 2 , ... , कश्मीर } कश्मीर = 2 एक्स 2 ( एक 1 , मीटर { 1 , 2 } ) एक 1 , बी 1 एक 2 , बी $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$उपरोक्त किनारे (b_1, m _ {\ {1,2 \}}) में परिवर्तित हो जाता है ,$(b_1, m_{\{1,2\}})$ जो कि धार नहीं है। तो यह एक मोटर वाहन नहीं होना चाहिए।

मैं समझना चाहूंगा कि मेरी गलतफहमी क्या है।

Answer 1

आप उन खाली याद कर रहे हैं, जो सभी से जुड़ा है । एक प्राप्त करने के लिए, आप एक उपसमुच्चय चयन करते हैं और फिर साथ के साथ में प्रत्येक लिए स्वैप करते हैं और फिर बीच में सेट समायोजित करते हैं। आपके उदाहरण में ग्राफख टी ⊆ { 1 , । । । , कश्मीर } एक मैं ख मैं मैं ∈ टी ( एक 1 , { 12 } ) , ( एक 2 , { 12 } ) , ( ख 1 , ∅ ) , ( ख 2 , ∅ ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

$$(a_1,\{12\}),(a_2,\{12\}),(b_1,\emptyset),(b_2,\emptyset).$$

अभी भी आपके उदाहरण में यदि आपको कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है और यदि , तो साथ , साथ और साथ द्वारा दिया जाता है। ।टी = { 1 , 2 } एक 1 ख 1 एक 2 ख 2 { 1 , 2 } $T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

अब सामान्य मामले के लिए, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि हमेशा मध्य कोने को समायोजित करने का एक तरीका है। हम जानते हैं कि की कार्डिनैलिटी भी है। तो चलो । हम सिर्फ दिखाने के लिए कि इस तरह के एक automorphism मौजूद रहने पर की जरूरत है अन्यथा के बाद से हम की संरचना लागू कर सकते हैं विभाजन करने के लिए इसी automorphisms में आकार के सबसेट । इस प्रकार मान लें । तब automorphism स्वैप साथ , साथ , प्रत्येक बीच शिखर ऐसी है कि| टी | = 2 आर | टी | = 2 आर टी आर 2 टी = { मैं , जे } एक मैं ख मैं एक जे बी जे एस एस ∩ { मैं , जे } = $T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$$b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$मध्य शीर्ष के साथ (यह आपके उदाहरण में देखा जा सकता है), और प्रत्येक सबसेट जैसे कि साथ उपसमूह वह (यह आप लिए देख सकते हैं )। ध्यान दें कि यह स्वैपिंग प्रक्रिया एक इंडेक्स एक , जो , और इन स्वैप किए गए बीच का संबंध पूरी तरह से संरक्षित है, और स्पष्ट रूप से बीच का एज ठीक से समायोजित किया गया है।एस एस ∩ { मैं , जे } = { मैं } एस ∩ { मैं , जे } = { j } कश्मीर = 3 पी ≠ { मैं , जे } एक पी बी पी एक मैं , एक जे , b i , b $S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

अंत में यह देखने के लिए कि ये एकमात्र संभव स्वचालित तत्व हैं, ध्यान दें कि प्रत्येक अपने स्वयं के रंग के साथ रंगीन है। इसलिए उन्हें दूसरी जोड़ी मैप नहीं किया जा सकता । यह भी ध्यान दें कि यह संभव एक automorphism कि कुछ स्वैप किए बिना एक मध्यम शीर्ष करने के लिए एक बीच शिखर नक्शे के लिए नहीं है कुछ के साथ । एक जे , बी जे एक मैं ख j$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$

Comments

सामान्य तौर पर हम कैसे दिखा सकते हैं कि हम हमेशा सेट को बीच में समायोजित कर सकते हैं और वांछित ऑटोमोरफिज्म प्राप्त कर सकते हैं? मेरी समस्या का मूल वास्तव में यही है।

— दुर्गादत्त

नमस्ते, मैंने वाहन निर्माता के निर्माण को जोड़ा। आशा करता हूँ की ये काम करेगा।

— माटूस डे ओलिवेरा ओलिवेरा

धन्यवाद। यह मुझे "तत्काल" नहीं लगता है। मैं अनुसंधान के लिए बहुत नया हूं। क्या यह मेरे लिए बुरा संकेत है?

— दुर्गादत्त

"क्या यह मेरे लिए एक बुरा संकेत है?" बिलकुल नहीं। मैं इसके विपरीत सोचता हूं कि आपका संदेह एक बहुत अच्छा संकेत है। किसी दिन इस तरह की बातें शायद आपके लिए भी तुरंत हो जाएँगी :)

— माटेउस डे ओलिवेरा ओलिवेरा

यह सही है कि, एक सूचकांक सेट के लिए (प्रत्येक के लिए कर रहे हैं, जिनमें से अंतर्विनिमय रहे और एक मध्यम शिखर के सूचकांक सेट) में तब्दील हो (सममित अंतर)? मैं ∈ टी एक मैं ख मैं एस एस Δ $T$$i \in T$$a_i$$b_i$$S$$S \Delta T$

— दुर्गादत्त १०'१२