0-1 रेखीय प्रोग्रामिंग: इष्टतम गठन कंप्यूटिंग

पर विचार करें आयामी अंतरिक्ष , और प्रपत्र की एक रेखीय बाधा , जहां , $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ और । $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

जाहिर है, बंटवारे का प्रभाव पड़ता है में दो उप-समूहों और । सब और केवल उन बिंदुओं को संतोषजनक होता है , जबकि सभी शामिल हैं और केवल उन अंक में हेरफेर करता । $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

मान लें कि । अब, को का उपसमूह मान लें, जो निम्नलिखित सभी तीन कथनों को रखता है: $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

में ठीक अंक हैं। $O$ $n$
ऐसे अंक रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। $n$
ऐसे अंक वे हैं जो द्वारा दर्शाए गए हाइपरप्लेन से न्यूनतम दूरी पर हैं । दरअसल, जाने एक बिंदु की दूरी होना hyperplane से । फिर, ऐसी है कि को संतुष्ट करता है 1 और 2 यह मामला है कि $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ । दूसरे शब्दों में , सब के सबसेट के बीच दोनों स्थितियों 1 और 2, एक संतोषजनक है कि कम करता hyperplane से अपने अंकों की दूरी का योग । $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

प्रशन

को देखते हुए , क्या कुशलता से गणना करना संभव है ? $c$ $O$

इसकी गणना करने के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिथम कौन सा है?

$\$

साथ उदाहरण $n = 3$

N = 3 के साथ उदाहरण

, । $S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

अद्यतन 05/12/2012

प्रेरणा

प्रेरणा है कि उपयोग कर रहा है यह इष्टतम बाधा निर्धारित करने के लिए संभव हो जाना चाहिए , के रूप में यह hyperplane द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए में अंक । $O$ $c^*$ $n$ $O$

इष्टतम बाधा एक है कि इष्टतम polytope पर ले जाया जाता । $c^*$ $P^*$

इष्टतम पॉलीटोप वह है जिसका वर्टिकल सभी हैं और केवल प्रारंभिक पॉलीटोप के पूर्णांक कोने हैं (एक पूर्णांक शीर्ष एक शीर्ष है जिसके निर्देशांक सभी पूर्णांक हैं)। $P^*$ $P$

इष्टतम गठन

$c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ $P = NP$

अतिरिक्त प्रश्न

$P$ $P^*$

— जियोर्जियो कैमरानी
स्रोत

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

@ColinMcQuillan: प्रश्न एक सटीक समाधान के लिए था, हालांकि मुझे निश्चित रूप से सन्निकटन में भी दिलचस्पी है। आप अपनी टिप्पणी को उत्तर में क्यों नहीं बदलते?

— जियोर्जियो कैमरानी 15

@ColinMcQuillan: इसके अलावा, आपके हाइपरप्लेन को एक समानता का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जबकि मेरा एक असमानता का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। क्या आप सुनिश्चित हैं कि इससे कठोरता के संदर्भ में कोई फर्क नहीं पड़ता है? मैंने अभी तक जाँच नहीं की, इस प्रकार मैं अभी पूछ रहा हूँ।

— जियोर्जियो कैमरानी

O

$O$

S_{c}

$S_c$

$O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

$O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— कॉलिन मैकक्लिअन
स्रोत

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

a_{i}

$a_i$

@GiorgioCamerani: मुझे सकारात्मक कहने की आवश्यकता है - मैंने अपना उत्तर अपडेट कर दिया है।

— कॉलिन मैकक्लिअन

ऐसा लगता है कि आप आईपी के उत्तल पतवार के लिए कोशिश कर रहे हैं - संक्षेप में यह है कि कट एल्गोरिदम क्या हासिल करने की कोशिश करते हैं। हालांकि इन तरीकों से अपील करने पर व्यवहार में खराब प्रदर्शन होता है।

वैध असमानताओं की पीढ़ी पर सभी सिद्धांत हैं। एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु पूर्णांक प्रोग्रामिंग का ब्रेज़र सिद्धांत होगा।

— ए जे छात्र
स्रोत