शोर समानता (LWE) कम सीमा / कठोरता परिणाम

कुछ पृष्ठभूमि:

मैं सीखने के लिए "कम-ज्ञात" कम सीमा (या कठोरता के परिणाम) को एरर्स (एलडब्ल्यूई) की समस्या के साथ सीखने में रुचि रखता हूं, और इसके लिए सामान्य ज्ञान जैसे रिंगों के साथ सीखना। विशिष्ट परिभाषाओं आदि के लिए, यहाँ रेगेव द्वारा एक अच्छा सर्वेक्षण किया गया है: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

(आर) एलडब्ल्यूई-शैली की धारणा का मानक प्रकार है (शायद, क्वांटम) घटाव वेक्टर समस्या पर (शायद, आदर्श) अक्षांशों पर। एसवीपी के सामान्य सूत्रीकरण को एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है, और छोटे बहुपद कारकों के लिए अनुमानित होने के लिए यह विश्वसनीय है। (संबंधित: यह लगभग / बहुपद / कारकों के लिए CVP अनुमानित करने के लिए मुश्किल है: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) मैंने यह भी सुना है कि इसका उल्लेख किया है (क्वांटम एल्गोरिदम के संदर्भ में) छोटे बहुपद सन्निकटन कारकों के लिए कुछ जाली समस्याओं (एसवीपी की तरह) को गैर-एबेलियन छिपी उपसमूह समस्या (जो अपने स्वयं के कारणों के लिए कठिन माना जाता है) से संबंधित है, हालांकि मैंने इसके लिए एक स्पष्ट, औपचारिक स्रोत कभी नहीं देखा है।

मैं अधिक रुचि रखता हूं, हालांकि, कठोरता के परिणामों में (किसी भी प्रकार का) जो लर्निंग थ्योरी से शोर पराई समस्या के परिणामस्वरूप आता है। ये जटिलता वर्ग कठोरता परिणाम, ठोस एल्गोरिथम कम सीमा, नमूना जटिलता सीमा, या यहां तक कि प्रमाण आकार कम सीमा (जैसे संकल्प) हो सकते हैं। यह ज्ञात है (शायद, स्पष्ट रूप से) कि एलडब्ल्यूई को शोर समानता (लर्निंग) के साथ शोर समानता (लर्निंग पेरिटी) के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जो (गोग्लिंग से) प्रतीत होता है कि कोडिंग सिद्धांत और पीएसी के क्षेत्रों में कठोरता में कमी का उपयोग किया गया है सीख रहा हूँ।

अपने चारों ओर देखने से, मैंने केवल LPN समस्या पर उदाहरण के लिए (हल्के रूप से सब-एक्सपोनेंशियल) UPPER BOUNDS पाया है, जैसे http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

सवाल:

मुझे पता है कि LPN सीखने वाले समुदाय में BELEDVED HARD है। मेरा सवाल है: क्यों?

क्या ऐसा इसलिए है क्योंकि हर किसी ने वास्तव में कड़ी मेहनत की है, लेकिन किसी को अभी तक एक अच्छा एल्गोरिथ्म नहीं मिला है? क्या इटैलिकाइज्ड किस्म के निचले हिस्से ऊपर ज्ञात हैं (या अन्य जिन्हें मैंने छोड़ दिया था)?

यदि उत्तर बहुत स्पष्ट है, जो ज्ञात है और / या सर्वेक्षण / व्याख्यान नोटों के संदर्भ में एक संक्षिप्त सारांश बहुत अच्छा होगा।

यदि बहुत अधिक अज्ञात है, तो "अत्याधुनिक" पेपर अधिक बेहतर हैं। :) (समय से पहले धन्यवाद!)

— डैनियल एपोन
स्रोत

LPN समस्या को वास्तव में कठिन माना जाता है, लेकिन अधिकांश समस्याओं की तरह हम मानते हैं कि कठिन हैं, इसका मुख्य कारण यह है कि कई स्मार्ट लोगों ने एक कुशल एल्गोरिदम खोजने की कोशिश की है और असफल रहे।

LPN की कठोरता के लिए सबसे अच्छा "सबूत" समता समस्या के उच्च सांख्यिकीय क्वेरी आयाम से आता है। सांख्यिकीय प्रश्न अधिकांश ज्ञात शिक्षण एल्गोरिदम पर कब्जा कर लेते हैं, गॉसियन उन्मूलन (जो कि जब भी शोर पेश किया जाता है, तब विफल रहता है), हैशिंग और इन दोनों के समान तकनीकों को छोड़कर। गैर-सांख्यिकीय-क्वेरी एल्गोरिदम को डिजाइन करना कठिन है, और यह मुख्य अड़चन है। LPN की कठोरता के अन्य प्रमाण अन्य कठिन समस्याओं (जैसे LWE, SVP जैसा आपने इंगित किया है) के साथ इसका संबंध है।

SQ- कठोरता के लिए, यहाँ Kearns ('98) पेपर का लिंक दिया गया है ।

इस समस्या पर ऊपरी सीमा पर प्रगति के लिए, कई परिणाम हैं:

$2^N$ $2^{n / \log n}$
$O(2^{n / \log\log n})$ $O(n^{1 + \epsilon})$
$k$ $\approx O(n^{0.5 k})$ $O(n^k)$ $O(n^k)$ $\eta$ $1/2$
$\approx O(n^{0.8 k})$

— लेव रेइज़िन
स्रोत

यह एक बहुत अच्छा जवाब है; धन्यवाद! मैं बिट के लिए बोट फ्लोट करने देता हूं (यदि कोई व्यक्ति कुछ विषम-बॉल लोअर बाउंड को ड्रेज करने का प्रबंधन करता है), लेकिन यह मेरे दृष्टिकोण से पूर्ण प्रतीत होता है।

— डेनियल अपॉन