पीसीपी प्रमेय का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यह है कि यह "सन्निकटन की कठोरता" प्रकार के परिणाम देता है। कुछ अपेक्षाकृत सरल मामलों में कोई पीसीपी के बिना ऐसी कठोरता साबित कर सकता है। हालांकि, कोई भी मामला जहां पीसीपी प्रमेय का उपयोग करके पहली बार अनुमानित परिणाम की कठोरता को साबित किया गया था, अर्थात, परिणाम से पहले ज्ञात नहीं था, लेकिन बाद में एक अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण पाया गया जो पीसीपी पर निर्भर नहीं करता है? दूसरे शब्दों में, क्या कोई ऐसा मामला है जहां पहले पीसीपी आवश्यक था, लेकिन बाद में इसे समाप्त किया जा सकता है?