हम रैखिक के कितने करीब पहुंच सकते हैं, जोड़ सकते हैं और तुलना कर सकते हैं (पूर्णांक पर)?

करने के लिए Accoring किलोवाट रेगन के लेख "कनेक्ट सितारे" , वह अंत है कि यह अभी भी एक खुला समस्या ऐसी है कि इसके अलावा, गुणा, और तुलना संचालन रैखिक समय में गणनीय हैं पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व मिल रहा है पर उल्लेख है:

क्या पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व मौजूद है ताकि रेखीय समय में जोड़, गुणा, और तुलना सभी उल्लेखनीय हो? असल में, क्या एक रेखीय समय है जिसे अँगूठी का आदेश दिया गया है?

(१) तुलना के बिना हम रैखिक समय गुणा और जोड़ के कितने करीब आ सकते हैं? यहां मैं मानता हूं कि समस्या के आकार भिन्न हो सकते हैं, इसलिए हमें एक डेटा संरचना / एल्गोरिथ्म की आवश्यकता हो सकती है जो पूर्णांक आकार बदलने की अनुमति देता है।

(२) पूर्ण समस्या के लिए, हम मान सकते हैं कि हम पूर्णांक के लिए गुणा, जोड़ और तुलना के लिए एक इष्टतम योजना पाएंगे। रैखिक समय की ओर हम इन तीन ऑपरेशनों (सबसे खराब स्थिति में) के सबसे करीब कैसे पहुंच सकते हैं? और उस नोट पर, अन्य ऑपरेशन कितने तेज़ होंगे?

फार्मल प्रॉब्लम स्टेटमेंट

जैसा कि एमिल जेकाबेक उल्लेख करते हैं, हम तुच्छ मामलों को नियंत्रित करना चाहते हैं और इस प्रश्न के लिए सबसे खराब मामला व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करना चाहते हैं।

तो हम पूछते हैं, के लिए गैर नकारात्मक पूर्णांक और जहां और , हम एक डेटा संरचना / एल्गोरिथ्म है कि इसके अलावा, गुणन प्रदर्शन कर सकते हैं पा सकते हैं, और बीच के साथ \ तुलना और में समय और अंतरिक्ष? $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— मैट ग्रॉफ़
स्रोत

मैं उल्लेख करता हूँ कि यह योजना बनाना संभव है जो इन ऑपरेशनों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर

करता है, जहाँ

सबसे बड़ा पूर्णांक के बिट्स है (यह मानते हुए कि हम समय से पहले

जानते हैं )। मुझे आश्चर्य है कि अगर हम बेहतर कर सकते हैं, और यह वर्तमान पूर्णांक (एस) के लिए आनुपातिक रूप से गणना की जा रही है।

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— मैट ग्रॉफ

@ टायसनविल्स: हाँ! बाइनरी!

— जेफ़

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n^{2}

$n^2$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

$n$

p_{n} # = \exp ((1 + o (1)) n \log n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

यह भी देखें कि चीनी शेष प्रमेय

— vzn

@vzn: हाँ, मैं उल्लेख करने जा रहा था कि तुलना के लिए, लेकिन फिर मेरे साथ यह हुआ कि मिश्रित रेडिक्स प्रतिनिधित्व के माध्यम से एक त्वरित तुलना ऑपरेशन हो सकता है।

— जो फिट्जसिमोंस