एक अनुचित प्लानर एक रंग घटक आकार के साथ रंग

Question

आइए हम रंग को थोड़ा शिथिल करें, अर्थात्, हम एक ही रंग को नियत करने के लिए आसन्न कोने की एक छोटी संख्या की अनुमति देते हैं। एक मोनोक्रोमैटिक घटक को उपसमूह में एक समान रंग प्राप्त करने वाले सेट से प्रेरित घटक से जुड़ा हुआ घटक के रूप में परिभाषित किया गया है, और सवाल यह है कि एक ग्राफ को रंगने के लिए आवश्यक रंगों की न्यूनतम संख्या के$\lambda$$C$ लिए पूछें जैसे कि सबसे बड़ा मोनोक्रोम घटक का आकार है C से अधिक नहीं । इस सेटिंग में
पारंपरिक रंग -coloring माना जा सकता है । इसलिए सामान्य रूप से प्लेनर ग्राफ के लिए λ की न्यूनतम संख्या एनपी-हार्ड है। $[\lambda,1]$$\lambda$

मेरे सवाल है, कैसे के बारे में प्लानर ग्राफ की -coloring$[\lambda,2]$ अधिक आम तौर पर, या, के लिए -coloring सी ≥ 2 ?$[\lambda,C]$$C \geq 2$

यह एडवर्ड्स और फर्र द्वारा अध्ययन किए गए एक दोहरी समस्या के रूप में देखा जा सकता है , जहां तय हो गई है, और एक को सी के न्यूनतम आकार को खोजने के लिए कहा गया है ।$\lambda$$C$

Answer 1

क्यूबिक प्लानर ग्राफ में 2-रंगीला एकदम सही मिलान आपकी समस्या के समान है, जिसे शेफर द्वारा एनपी-पूर्ण के रूप में कहा गया था, जो कि उनके प्रसिद्ध डायकोटॉमी प्रमेय पत्र में स्कैफर द्वारा किया गया था, हालांकि उन्होंने क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ के लिए प्रमाण नहीं दिया था। समस्या क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ के दो रंग के अस्तित्व के लिए पूछती है जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर बिल्कुल उसी रंग का एक पड़ोसी होता है।

संपादित करें: दोषपूर्ण रंग आपकी समस्या का निर्णय संस्करण है। एक ग्राफ (k, d) है, यदि कोई कश्मीर को ऐसे रंगों से रंग दे सकता है, जैसे कोई वर्टेक्स उसके समान रंग के d कोने से अधिक नहीं है। दोष के साथ निर्णय की समस्या (2,1), जो आपकी अनुकूलन समस्या के बराबर है, को प्लानर ग्राफ़ के लिए भी NP-पूर्ण दिखाया गया था ।

Comments

Yixin की समस्या के लिए "क्यूबिक प्लैनर ग्राफ्स में 2-रंगीय परिपूर्ण मिलान" से क्या कमी है?

2-रंगीन सही मिलान एक विशेष मामला है जहां अधिकतम जुड़ा घटक आकार बिल्कुल सी के बराबर होता है

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, लेकिन मैं आपके साथ सहमत नहीं हो सकता। जैसा कि "क्यूबिक प्लानेर ग्राफ्स में 2-रंगीला एकदम सही मिलान" समस्या में, EACH घटक को ठीक 2 होना आवश्यक है। लेकिन मेरा प्रश्न आसान है।

— यिक्सिन काओ

हां, मुझे वह अंतर याद आ गया।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी