यह कैसे दिखाया जाए कि आश्रित प्रकारों वाली प्रणाली में एक प्रकार का निवास नहीं किया जाता है (यानी फार्मूला सिद्ध नहीं है)?

Question

निर्भर प्रकार के बिना सिस्टम के लिए, जैसे हिंडले-मिलनर प्रकार प्रणाली, प्रकार अंतर्ज्ञानवादी तर्क के सूत्रों के अनुरूप हैं। वहां हम जानते हैं कि इसके मॉडल हेयिंग बीजगणित हैं, और विशेष रूप से, एक सूत्र को नापसंद करने के लिए, हम एक हीटिंग बीजगणित तक सीमित कर सकते हैं जहां प्रत्येक सूत्र एक खुले उपसमुच्चय द्वारा दर्शाया गया है ।$\mathbb{R}$

उदाहरण के लिए, अगर हम दिखाने के लिए कि चाहते का निवास नहीं कर रहा है, हम एक मानचित्रण का निर्माण φ के खुले सबसेट को सूत्रों से आर को परिभाषित करते हुए: φ ( अल्फा $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$$\phi$$\mathbb{R}$ तब φ ( अल्फा → ⊥

$$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$$ इससे पता चलता है कि मूल सूत्र सिद्ध नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हमारे पास एक मॉडल है जहां यह सच नहीं है, या इसके समकक्ष (करी-हावर्ड आइसोमॉर्फिज़्म द्वारा) प्रकार का निवास नहीं किया जा सकता है। $$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$$

एक और संभावना क्रिपके फ्रेम का उपयोग करने की होगी ।

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क्या आश्रित प्रकार के साथ सिस्टम के लिए कोई समान तरीके हैं? हेयिंग अल्जेब्रा या क्रिपके फ्रेम के कुछ सामान्यीकरण की तरह?

नोट: मैं निर्णय प्रक्रिया के लिए नहीं कह रहा हूं, मुझे पता है कि कोई भी नहीं हो सकता है। मैं सिर्फ एक ऐसे तंत्र के लिए कह रहा हूं जो किसी सूत्र की अप्राप्यता को देखने की अनुमति देता है - किसी को यह समझाने के लिए कि यह अप्राप्य है।

Answer 1

यह एक सूत्र सिद्ध करने योग्य नहीं है कि अनिवार्य रूप से दो तरीकों से किया जा सकता है। कुछ भाग्य के साथ हम टाइप थ्योरी के भीतर दिखाने में सक्षम हो सकते हैं कि सूत्र का अर्थ है जो पहले से ही ज्ञात नहीं है। दूसरा तरीका ऐसा मॉडल ढूंढना है जिसमें सूत्र अमान्य है, और यह काफी कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, आश्रित प्रकार के सिद्धांत के समूह मॉडल को खोजने में बहुत लंबा समय लगा , जो कि पहचान प्रमाणों की विशिष्टता को अमान्य करने वाला पहला था ।

प्रश्न "आश्रित प्रकार के सिद्धांत का एक मॉडल क्या है?" कुछ जटिल जवाब है। यदि आप प्रतिस्थापन के कुछ गुणों को अनदेखा करते हैं, तो एक मॉडल स्थानीय स्तर पर कार्टेसियन बंद श्रेणी है , और यह सबसे सरल उत्तर हो सकता है। यदि आप "वास्तविक" मॉडल चाहते हैं, तो कई विकल्प हैं, निर्भर प्रकार के सिद्धांत के श्रेणीबद्ध मॉडल पर nLab पृष्ठ देखें । किसी भी मामले में, उत्तर हमेशा थोड़ा जटिल होता है क्योंकि निर्भर प्रकार का सिद्धांत एक काफी जटिल औपचारिक प्रणाली है।

अगर मुझे इस विषय पर सिर्फ एक लेख सुझाना था, तो मैं शायद रॉबर्ट सेली द्वारा मूल पेपर की सिफारिश करूंगा, "स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणियां और प्रकार सिद्धांत" । अगर मैं एक और सुझाव देता, तो शायद वह एक होता जो बताता है कि सीली के पेपर में क्या सुधार करने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, मार्टिन हॉफमैन की "ऑन द इंटरप्रिटेशन ऑफ टाइप थ्योरी इन लोकल कार्टेसियन क्लोस्ड कैटेगरीज" ।

इस क्षेत्र में हाल ही में एक महत्वपूर्ण अग्रिम यह अहसास है कि होमोटॉपी-थ्योरिटिक मॉडल भी आश्रित प्रकार के सिद्धांत के मॉडल हैं, होमोटोपाइथेथोरी.ऑर्ग संदर्भ देखें । यह संभावनाओं का खजाना प्रदान करता है, लेकिन एक को अब मॉडल पर हाथ पाने के लिए होमोटॉपी सिद्धांत सीखना चाहिए।

Comments

यह उत्तर काफी अच्छा है, हालांकि यह साबित करने के लिए शायद सबसे सरल संभव तरीका है कि एक प्रकार का निवास नहीं है: सामान्य रूपों पर प्रेरण! विशेष रूप से, यह साबित करना आसान है कि इस तरह के अधिष्ठापन द्वारा बहिष्कृत बीच को पथरी के कंस्ट्रक्शन में नहीं बसाया जा सकता है। बेशक, आपको फिर यह दिखाने की ज़रूरत है कि प्रत्येक शब्द को एक ही प्रकार के सामान्य रूप में रखा जा सकता है, और इसमें एक मॉडल निर्माण शामिल है ...

— cody

@ कोडी: अच्छा बिंदु, सामान्य रूप बहुत उपयोगी हो सकते हैं।

— बाउर

@ कोडी: "आपको फिर यह दिखाने की ज़रूरत है कि हर शब्द को एक ही प्रकार के सामान्य रूप में रखा जा सकता है": क्या यह नहीं है कि "अच्छा" प्रकार सिस्टम के लिए मेटाटरी का एक मानक भाग (जब तक आप नहीं करते हैं स्वयंसिद्ध है), या एक "अच्छा" तर्क (जहां यह कटाव उन्मूलन है)? तो आप अभी मौजूदा प्रमाण का पुन: उपयोग कर सकते हैं, है ना?

— १०:१२ पर ब्लेज़ोरब्लेड

@ ब्लेज़रब्लड: बेशक आपको केवल एक बार कट-एलिमिनेशन को साबित करना होगा। मई बिंदु यह था कि मॉडल निर्माणों के बजाय सामान्य रूपों पर प्रेरण का उपयोग करना सवाल का भीख माँगने का एक तरीका था: आप पहले से ही यह दिखाने के लिए एक मॉडल का निर्माण कर रहे हैं कि हर शब्द को सामान्य रूप में रखा जा सकता है। कुछ अर्थों में आप "सामान्य रूप मॉडल" में काम कर रहे हैं, बजाय कड़ाई से वाक्य रचना करने के।

— कोड़ी

मैं देखता हूं - मैं "सबूत के प्रयास" के बारे में सोच रहा था, जबकि मुझे लगता है कि आप इस बारे में तर्क दे रहे हैं कि पूरे प्रमाण को कैसे लागू किया जाता है। लेकिन आपने मुझे अभी तक फिर से प्रश्न बना दिया है कि सिंटैक्टिक और सिमेंटिक दृष्टिकोणों के बीच अंतर, दिए गए मॉडल जैसे निर्माण। इसलिए मैंने उस पर एक अलग सवाल पूछा: cstheory.stackexchange.com/q/21534/989

— 23 सितंबर को Blaisorblade