एक शॉट क्वांटम मार समय

पेपर क्वांटम रैंडम वॉक हिट एक्सपोनेंशलीली फास्टर ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) केम्पे क्वांटम वॉक (हाइपरक्यूब में) के लिए समय मारने की एक धारणा देता है जो क्वांटम वॉक साहित्य में बहुत लोकप्रिय नहीं है। इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

वन-शॉट क्वांटम हिटिंग टाइम: असतत-टाइम क्वांटम वॉक में a वन-शॉट rangle -हेटिंग टाइम if li जहाँ प्रारंभिक अवस्था है, लक्ष्य अवस्था है, और हिटिंग प्रायिकता है। $(T,p)$ $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ $|\Psi_0\rangle$ $|\Psi^f\rangle$ $p>0$

आम तौर पर आप न्यूनतम जानना चाहेंगे जैसे कि । यह संभव नहीं है (मुझे सही करें अगर मैं गलत हूं) औसत हिटिंग समय की धारणा को परिभाषित करने के लिए क्योंकि आपको चलने के दौरान माप करने की आवश्यकता होगी, और यह एक शास्त्रीय चलने के लिए पतन होगा। इसलिए हमारे पास वन-शॉट धारणा है। काम के एक ही टुकड़े में, क्वांटम रूटिंग (सीएफ। धारा 5 ) के लिए एक आवेदन है । $T$ $p>0$

यह जानने के लिए कि चलना लक्ष्य शीर्ष पर आया, आपको केवल उस नोड पर माप करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, डायमेंशनल हाइपरक्यूब में नोड्स के साथ यदि आप नोड पर शुरू करते हैं और लक्ष्य नोड के रूप में है कागज से पता चलता है कि बाउंड एरर प्रायिकता के साथ है, यानी रूप में बहुत बड़ा हो गया है। तो यह पता लगाने के लिए कि वॉक पर आया था आप स्टेप्स के बाद माप करते हैं । यह एक घातीय गति है। $n$ $2^n$ $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ $T=O(n)$ $p\to 1$ $n$ $|11\dots11\rangle$ $\Omega(n)$

प्रशन:

खोज के लिए समय की मार की इस धारणा का उपयोग करने के लिए आपको मूल से लक्ष्य वर्टेक्स की कम से कम दूरी जानने की आवश्यकता है, क्योंकि यही आप अपने माप को लागू करने के लिए जानते हैं। मान लीजिए कि आपके पास एक ग्राफ , और प्रारंभिक शीर्ष रूप में सेट करें और तक पहुंचना चाहते हैं । यह भी मान लें कि और । खैर, $G$ $v_0$ $v^f$ $T=O(dist(v_0,v^f))$ $p\geq 1/2$ $T$ स्पष्ट है क्योंकि आपको उस तक पहुंचने के लिए कम से कम कई चरणों की आवश्यकता है। यह खोज के लिए इस मार समय का उपयोग कर कोई मतलब है? यदि आप जानते हैं कि नोड कहाँ है, तो खोज करने का कोई अर्थ नहीं है, लेकिन "प्रारंभिक शीर्ष से दूरी" जैसी जानकारी का एक टुकड़ा होने पर भी यह जानना ठीक नहीं है कि लक्ष्य कहाँ है, क्या यह समय मारने की धारणा किसी भी दिलचस्प (अध्ययन के लायक) देता है ) एल्गोरिथ्म खोज?
क्या क्वांटम रूटिंग के लिए आवेदन का कोई मतलब है? कागज में यह कहा गया है कि इसका उपयोग संकुल के मार्ग के लिए किया जा सकता है, लेकिन यह मुझे लगता है कि आप केवल 1 बिट भेज सकते हैं, उदाहरण के लिए गंतव्य पर पहुंचे या नहीं? क्या आप वास्तव में इस ढांचे में एक क्वांटम राज्य भेज सकते हैं? कागज में इस मुद्दे को संबोधित नहीं किया जा रहा है।
यह शायद एक मूर्खतापूर्ण सवाल है, लेकिन यहाँ यह जाता है। क्या आप "सामान्यीकृत मच-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर" के निर्माण के लिए टकराने की इस धारणा का उपयोग कर सकते हैं?

मैं क्वांटम वॉक (जैसे सज़ीदी या एंबैनिस ) के लिए कई बार मारने की अन्य धारणाओं से अवगत हूं । मुझे इस विशिष्ट हिटिंग समय में विशेष रूप से दिलचस्पी है।

अद्यतन (9/24/2010): जो फिजिट्समोन के सवालों के लिए धन्यवाद 2 और 3 पूरी तरह से उत्तर दिए गए थे। हालांकि सवाल नंबर 1 अभी भी बना हुआ है। सबसे पहले, मैं प्रश्न 2 को और अधिक विशिष्ट शब्दों में पुनर्स्थापित करूंगा जो अब मैंने उस कागज को पढ़ना समाप्त कर दिया है, जो जो ने मुझे और एक जोड़े को और अधिक अनुशंसित किया था (उदाहरण के लिए देखें arXiv: 0802.1224 ), और फिर मैं जो मेरे मन में है उसका एक ठोस उदाहरण दूंगा। प्रश्न 1 के लिए।

2 '। यदि आप एक ठोस संदेश भेज रहे हैं (शास्त्रीय बिट्स के एक अनुक्रम की तरह), तो आप एक अधिक जटिल एकात्मक का उपयोग कर सकते हैं जो इस जानकारी को चलने के चरणों के दौरान कॉपी करेगा। क्वांटम राज्यों को भेजने के लिए आपको कुछ और चाहिए। स्पिन-चेन चैनल एक निश्चित युग्मन के साथ क्वैब के रैखिक सरणी का उपयोग करता है। आप राज्य को रख सकते हैं (शुद्ध राज्य, मुझे नहीं पता कि यह मिश्रित राज्यों के लिए काम करता है) आप एक छोर में संचारित करना चाहते हैं और यह संख्यात्मक परिणामों के अनुसार उच्च निष्ठा के साथ दूसरे छोर पर जाता है। मुझे अभी भी इसे और अधिक विचार देना है, लेकिन मेरे पास दो विचार हैं: i) ग्राफ के प्रत्येक लिंक पर एक श्रृंखला रखो, या ii) चलना, लक्ष्य की स्थिति का पता लगाएं, फिर प्रारंभिक अवस्था और लक्ष्य के बीच चैनल बनाएं और फिर भेजें राज्य। क्या इनमें से कोई भी दृष्टिकोण प्रशंसनीय है? क्या यह मिश्रित राज्यों के साथ काम करता है?

1 '। एक 2-आयामी ग्रिड पर टहलने के साथ मूल में केन्द्रित विचार करें लंबाई के साथ प्रत्येक पक्ष के साथ नोड्स । पर प्रारंभिक स्थिति सेट करें और जहां पर लक्ष्य स्थिति सेट करें । क्योंकि चलना सममित है हमारे पास है कि एक ही मार समय और मार संभावनाएं ग्रिड की सीमा पर कहीं भी किसी भी लक्ष्य के लिए रखती हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है। $n$ $\sqrt{n}$ $v_0=(0,0)$ $v^f=(\sqrt{n}-1,a)$ $a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

वैकल्पिक शब्द

इसलिए हमारे पास जो जानकारी है वह । हम इसका उपयोग माप बनाने के लिए जानने के लिए कर सकते हैं। क्या इस ग्रिड को खोजने के लिए वन-शॉट हिटिंग समय का उपयोग किया जा सकता है? यहां आपको वह जानकारी चाहिए। ग्रिड की खोज करने में एक खुली समस्या यह है कि हम जानते हैं कि खोज के लिए एक निचली सीमा है, और ग्रिड के लिए सबसे ऊपरी ऊपरी । या तो हम एक बेहतर एल्गोरिथ्म खोजने में सक्षम नहीं हो रहे हैं, या जब आप उन्हें ग्रिड पर उपयोग करते हैं तो निचले सीमा को साबित करने की तकनीकें कमजोर कम बाध्यता दे रही हैं। क्या आप दिखा सकते हैं कि से नीचे जाने का एकमात्र तरीका "जानकारी का एक टुकड़ा" है, जो प्रश्न में एक है? यह ग्रिड के लिए एक निचली सीमा साबित करने का एक तरीका होगा। क्या इसका कोई अर्थ बनता है? $dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n\log n})$ $\sqrt{n\log n}$

— मार्कोस विलगरा
स्रोत

जवाबों:

मैं इस पत्र से परिचित नहीं हूँ, लेकिन मैं सरसरी स्किम के बाद आपके प्रत्येक प्रश्न का एक कठिन उत्तर देने का प्रयास करूँगा।

ग्रोवर का एल्गोरिथ्म वास्तव में हिटिंग टाइम की इस धारणा के साथ देखा जा सकता है। आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि सिस्टम को कब मापना है, और भले ही टी सभी परिणामों के लिए स्थिर है, फिर भी गणना करना महत्वपूर्ण है। यहाँ T निश्चित रूप से (जो इस मामले में 1 है), बल्कि , इसलिए आपकी धारणा है कि यहां मान्य नहीं है। $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ $O(\sqrt{n})$ $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
मुझे लगता है कि लेखक यादृच्छिक चलने के लिए एक पूरा पैकेट ले रहा है। स्पष्ट रूप से इसके लिए कुछ अधिक जटिल एकात्मकता की आवश्यकता है, लेकिन मैं वास्तव में एक मुद्दा नहीं देखता हूं। वैकल्पिक रूप से, बरगर्थ और बोस के पास समान रेखांकन के बारे में जानकारी एन्कोडिंग के लिए एक बहुत अच्छी योजना है, जो तब भी काम करेगा जब आप अपनी पसंद की नेटवर्क के साथ उनकी 1d श्रृंखला को बदल दें ( क्वांट-ph / 0406112 )।
ठीक है, आपको समय की मार की इस धारणा की बहुत आवश्यकता नहीं है। हाइपरक्यूब्स का सही राज्य स्थानांतरण है (उदाहरण के लिए क्वांट-ph / 0309131 और क्वांट- ph / 0411020 देखें ), इसलिए आप हाइपरक्यूब पर 2d मामले के लिए माच-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर के साथ एक इंटरफेरोमीटर के रूप में परिवहन देख सकते हैं।

अद्यतन: (एक ग्रिड या अन्य जाली पर यादृच्छिक चलता है के बारे में अद्यतन सवाल का जवाब देने के लिए)

स्थानिक खोज समस्या के साथ आपके द्वारा मापी गई समस्या के लिए एक दृष्टिकोण बस प्रत्येक टाइमस्टेप पर एक माप करना है जैसे कि यह 1 लौटाता है यदि शीर्ष पर वॉकर वर्तमान में है ( जैसा कि ) और वर्तमान टाइमस्टेप के बराबर है t उस शीर्ष के लिए मार का समय है। यह तरंग फ़ंक्शन को ढहने के मुद्दे से बचना चाहिए, क्योंकि माप केवल प्रत्येक शीर्ष के लिए बनाया जाता है, जब एक बार टकराने का समय पूरा हो जाता है, और यह केवल एक स्थान पर ढह जाता है यदि वह स्थान सही परिणाम है। $v_t$ $v^f$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

जो, आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। लगभग 1, माप के साथ समस्या यह है कि आपको यह जानने की आवश्यकता है कि इसका उपयोग करने के लिए आपके शुरुआती बिंदु से लक्ष्य कितना दूर है। उदाहरण के लिए, नोड्स के साथ एक डी-आयामी ग्रिड के लिए, मान लें कि आप केंद्र में शुरू करते हैं और लक्ष्य ग्रिड की सीमा पर कहीं है और हम जानते हैं कि। इसलिए केंद्र से दूरी , और यह भी आपके हिटिंग समय है अगर हिटिंग प्रोब्लिबिलिटी में त्रुटि हुई है। क्या हम यह मान सकते हैं कि हमें उस तरह का ज्ञान हो सकता है? क्योंकि ग्रोवर के लिए, आप पूरी तरह से अंधा खोज कर रहे हैं, और यह अधिक वास्तविक लगता है

n

$n$

Ω (n^{1 / d})

$\Omega(n^{1/d})$

— मार्कोस विलगरा

ज़रूर, लेकिन आपको नियमित रूप से ग्रिड पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है। ग्रोवर का एल्गोरिथ्म सीधे सभी अन्य नोड्स से जुड़े एक केंद्रीय नोड के अनुरूप होगा ताकि दूरी हमेशा तय हो। इसके अतिरिक्त, एक और समस्या है, इसमें सभी नोड्स के लिए मार का समय परिभाषित नहीं किया जाएगा। कुछ मामलों में संभावना बस सीमा मूल्य तक कभी नहीं पहुंच पाएगी। मुझे गलत माना जा सकता है, लेकिन मेरा मानना है कि एक रैखिक श्रृंखला के लिए प्रत्येक साइट पर अधिकतम ओवरलैप कुछ हद तक गिर जाता है, जैसे कि XXZ युग्मित श्रृंखलाओं के लिए ।

∣ v_{0} - v^{f} ∣^{- \frac{1}{2}}

$\mid v_0 - v^f \mid^{-\frac{1}{2}}$

— जो फिट्ज़सिमों ने

ओवरलैप क्षय आपके चलने के सिक्का संचालन पर अत्यधिक निर्भर करता है। यदि आप ग्रोवर के प्रसार ऑपरेटर को चुनते हैं, तो जब आप लक्ष्य नोड को मारते हैं तो ओवरलैप अधिक होता है और कुछ कदम बाद में यह लाइनों और ग्रिड ग्राफ़ के लिए के रूप में घट जाता है ।

O (t^{- 1})

$O(t^{-1})$

— मार्कोस विलग्रा

हाँ बिल्कुल। मैंने जो आंकड़ा दिया है वह केवल एक विशिष्ट प्रणाली के लिए है। मैं केवल इस बात पर प्रकाश डालना चाहता था कि शीर्षकों की संख्या पर स्वतंत्र रूप से निरंतर मार संभावना को प्राप्त करना संभव नहीं है।

— जो फिट्जसिमंस

लेकिन खोज पर सवाल पर वापस आते हुए, मैंने ग्रिड पर उदाहरण दिया क्योंकि मैं "ग्रिड पर स्थानिक खोज" (मात्रा-ph / 0303041) पर सोच रहा था। लेकिन फिर भी, यह मुझे लगता है कि यदि आप लक्ष्य को हिट करते हैं, तो यह देखने के लिए कि आपको लक्ष्य से उप-वर्ग पर ऐसा करने की आवश्यकता है। जैसा कि मैंने इसकी कल्पना की है, आपको उस उप-डिवाइस पर एक उपकरण की आवश्यकता होती है जो लगातार जांचता है कि चलना आया या नहीं। मेरी समस्या यह है कि ऐसा लगता है कि आपको हमेशा यह जानने की जरूरत है कि आपका लक्ष्य कहां है। (जारी)

— मार्कोस विलगरा

प्रश्न 1 के संबंध में, अज्ञात लक्ष्य वर्टेक्स और हाइपरक्यूब पर कुछ ज्ञात मूल शीर्ष के बीच की दूरी को जानने से खोज प्रक्रिया में मदद मिल सकती है। हालाँकि, दूरी का मूल्य स्वयं निर्धारित करता है कि यह जानकारी कितनी मददगार है।

विशिष्ट क्वांटम वॉक एल्गोरिदम आमतौर पर ग्रोवर खोज के रूपांतर / अनुमान हैं: वे कुल हिल्बर्ट अंतरिक्ष के 2-डी उप-स्थान में राज्य वेक्टर के अनुमानित रोटेशन को शामिल करते हैं।

आप मूल रूप से दिए गए दूरी पर सभी कोने के लगभग समान रूप से तैयार करने के लिए इन एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। फिर आप क्वांटम या शास्त्रीय (मोंटे कार्लो) खोज का उपयोग करके इस सुपरपोज़िशन के अंदर अपना लक्ष्य शीर्ष खोज सकते हैं: शास्त्रीय खोज के लिए बस सुपरपोज़िशन तैयार करें और इसे शीर्ष आधार में मापें और तब तक दोहराएं जब तक आप लक्ष्य न पा लें। क्वांटम खोज के लिए, सुपरपोजिशन तैयारी प्रक्रिया (और इसका उलटा) एक सबरूटीन बन जाती है जो ग्रोवर पुनरावृति में हैडामर्ड परिवर्तन की जगह लेती है।

इस की उपयोगिता दूरी के मूल्य पर निर्भर करती है: -डायमेंशनल हाइपरक्यूब में किसी दिए गए मूल से दूरी पर संख्याओं की संख्या द्विपद गुणांक । इसलिए अधिकांश कोने ( ) दूरी पर हैं: जबकि आप कुशलतापूर्वक इनका सुपरपोजिशन तैयार कर सकते हैं कोने, इसके अंदर लक्ष्य की खोज में अभी भी समय लगता है। $n$ $d$ $\binom{n}{d}$ $\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$ $\approx n/2$

— एंटोनियो वेलेरियो माइकेली-बारोन
स्रोत