क्या दो घनत्व वाले मेट्रिक्स के अंतर का पता लगाने का मान एक है कि ये दो घनत्व मैट्रिसेस एक साथ विकर्ण हो सकते हैं?

मेरा मानना है कि इस प्रश्न का उत्तर सर्वविदित है; लेकिन, दुर्भाग्य से, मुझे नहीं पता।

क्वांटम कंप्यूटिंग में, हम जानते हैं कि मिश्रित राज्य घनत्व मैट्रिक्स द्वारा दर्शाए जाते हैं। और दो घनत्व वाले मेट्रिसेस के अंतर का पता लगाने का मानक दो संबंधित मिश्रित राज्यों की विशिष्टता दर्शाता है। यहां, ट्रेस नॉर्म्स की परिभाषा घनत्व मैट्रिक्स के सभी eigenvalues का योग है, जिसमें एक अतिरिक्त गुणन कारक 1/2 (दो वितरणों के सांख्यिकीय अंतर के अनुसार) है। यह सर्वविदित है कि, जब दो घनत्व वाले मैट्रिक्स का अंतर एक होता है, तो संबंधित दो मिश्रित अवस्थाएं पूरी तरह से अलग होती हैं, जबकि जब अंतर शून्य होता है, तो दो मिश्रित राज्य पूरी तरह से अप्रभेद्य होते हैं।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या दो घनत्व वाले मेट्रिक्स के अंतर का पता लगाने का मानदंड इन दो घनत्व वाले मैट्रिसेस एक साथ विकर्ण हो सकता है? यदि यह मामला है, तो इन दोनों मिश्रित राज्यों को अलग करने के लिए इष्टतम माप लेना, एक ही डोमेन पर दो वितरण को अलग- अलग समर्थन के साथ अलग करना पसंद करेगा ।

quantum-computing quantum-information

— जेरेमी यान
स्रोत

क्या आप परिभाषित कर सकते हैं कि घनत्व मैट्रिक्स क्या है? क्या यह सिर्फ एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है?

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: एक घनत्व मैट्रिक्स एक hermitian, सकारात्मक अर्धचालक मैट्रिक्स है जिसका निशान 1. के बराबर है

— Tsuyoshi Ito

प्रश्न का उत्तर हां है, क्योंकि ट्रेस दूरी 1 होने का अर्थ है कि दो घनत्व वाले मैट्रोज में ऑर्थोगोनल समर्थन है।

— त्सुकोशी इतो

@ त्सुयोशी: शायद आपको उस टिप्पणी को उत्तर के रूप में लिखना चाहिए?

— रॉबिन कोठारी

@ रोबिन: ज़रूर, किया।

— त्सुयोशी इतो

जवाबों:

यहां एक तथ्य है जिसे आप रुचि रखते हैं, यह साबित करने का एक तरीका है।

मान लें कि और घनत्व मैट्रेस हैं। हर दूसरे हर्मिटियन मैट्रिक्स की तरह, यह भी संभव है कि को के रूप में और लिए पॉजिटिव सेमीफाइनल और ऑर्थोगोनल इमेज वाले होने के कारण व्यक्त किया जाए। (कभी-कभी इसे जॉर्डन-हाहन अपघटन कहा जाता है; यह अद्वितीय है और आसानी से वर्णक्रमीय अपघटन से प्राप्त होता है ।) ध्यान दें कि तथ्य यह है कि $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

और

में ऑर्थोगोनल छवियां हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक साथ विकर्ण हैं, जिसकी मैं व्याख्या करता हूं कि आप जिस संपत्ति में रुचि रखते हैं।

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

यह निष्कर्ष निकालने के लिए, पहले उस और , so । अगला, क्रमशः और की छवियों पर ऑर्थोगोनल अनुमान होने के लिए और । हमारे पास so दोनों और $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ अंतराल [0,1] में समाहित किया जाना चाहिए, जिसमें से हम उस और । इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकालना मुश्किल नहीं है कि और , और इसलिए ऊपर समीकरण द्वारा। एक समान तर्क ।

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— जॉन वॉट्रस
स्रोत

धन्यवाद ज्ञापन प्रो। दरअसल, मैं आपके व्याख्यान नोट्स से इन सभी ट्रेस मानदंड और घनत्व मैट्रिसेस सामान को सीखता हूं।

— जेरेमी यान

मैं यह जोड़ना चाहता हूं कि इस पोस्ट में चर्चा की गई सभी चीजें प्रोफेसर वॉट्स के ऑन-लाइन व्याख्यान नोट्स (व्याख्यान 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— जेरेमी यान

हाँ। यदि दो घनत्व मैट्रिक्स की ट्रेस दूरी 1 के बराबर है, तो उनके पास ऑर्थोगोनल समर्थन है, और इसलिए वे एक साथ विकर्ण हैं।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

मुझे लगता है कि उत्तर हां है, लेकिन मुझे सबूत नहीं पता।

— जेरेमी यान

सबूत का मुख्य विचार जो दो घनत्व मैट्रिक्स स्थापित करता है, जब ट्रेस दूरी एक होती है, तो पूरी तरह से अलग होती है, दो घनत्व मैट्रिक्स के अंतर को विकर्ण कर रही है ; लेकिन कैसे एक ही आधार साबित करने के लिए दो घनत्व matrices खुद को विकर्ण करता है? हो सकता है कि इस आधार के संबंध में ये दो घनत्व मैट्रा तिरछे नहीं हैं, लेकिन उनका अंतर है। क्या कोई कुछ प्रमाण विचार दे सकता है, या कुछ प्रमाण दे सकता है? धन्यवाद।

— जेरेमी यान