जीनस समस्या की स्थिरता

Question

वर्तमान में जीनस समस्या की अनुमानितता के बारे में क्या जाना जाता है? एक प्रारंभिक खोज मुझसे कहता है कि एक निरंतर कारक सन्निकटन पर्याप्त घने रेखांकन के लिए तुच्छ है, और एक $n^\epsilon$ -approximation एल्गोरिथ्म की संभावना से इनकार किया गया है। क्या यह जानकारी अप-टू-डेट है, या बेहतर सीमाएं ज्ञात हैं?

Answer 1

सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम सभी 1997 में जियान चेन, सरोजा पी। कांची और अरकडी केनव्स्की द्वारा प्रकाशित किए गए हैं।

• किसी निश्चित के लिए $\varepsilon>0$ , कंप्यूटिंग के साथ एक ग्राफ के जीनस additive त्रुटि $O(n^\varepsilon)$ एनपी कठिन है।

• $n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• बाउंड-डिग्री ग्राफ़ के लिए एक बहुपद-काल -approximation एल्गोरिथ्म है।$O(\sqrt{n})$

यह एक खुला प्रश्न है कि क्या एक कुशल स्थिर-कारक सन्निकटन एल्गोरिदम है।

Comments

मुझे समझ में नहीं आता कि यह कैसे [चेन, कांची, केनवस्की '97] से होता है, जो जीन के के गुणन सन्निकटन के साथ गणना करता है, एनपी-हार्ड है। उदाहरण के लिए, एक Additive सन्निकटन साथ MAX CUT की गणना भी NP- हार्ड है, लेकिन Goemans और विलियमसन का एल्गोरिथ्म 0.878 ... सन्निकटन देता है। $O(n^{\varepsilon})$$O(n^{\varepsilon})$

— यूरी

हाँ तुम सही हो। मैंने तुम्हारा जवाब प्रकाश में दिया है।

— जेफ

Answer 2

मैं Jɛ's E के व्यापक जवाब में जोड़ना चाहता था कि मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा इस समस्या के लिए सन्निकटन कारक पर कोई कम सीमा नहीं है। जहाँ तक हम जानते हैं, एक सन्निकटन एल्गोरिदम हो सकता है जो हमेशा एक स्थिर कारक सन्निकटन देता है (भले ही जीनस बहुत छोटा हो)।

पेपर चेन, कांची, और केनवस्की [CKK '97] केवल यह कहता है कि एडिटिव एरर साथ जीन की गणना एनपी-हार्ड है। यहाँ उनके तर्क की एक बहुत ही अनौपचारिक रूपरेखा है। यह स्पष्ट होगा कि इस तर्क का उपयोग सन्निकटन कारक पर कम बाउंड को सिद्ध करने के लिए नहीं किया जा सकता है। एक ग्राफ पर विचार करें जैसे कि यह निर्धारित करना मुश्किल है कि क्या या (कुछ ) ; इस तरह का एक ग्राफ मौजूद है क्योंकि समस्या एनपी-हार्ड है। आज्ञा देना संख्या की संख्या में । चलो के एक बड़े स्थिर हो। ग्राफ असंतुष्ट प्रतियां लें$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$और उनके मिलन पर विचार करें। फिर प्राप्त ग्राफ , यह निर्धारित करना मुश्किल है कि क्या या । अर्थात, योगात्मक त्रुटि साथ गणना करना NP- कठिन है , जहां । यह निर्माण हमें सन्निकटन कारक पर कोई निचली सीमा नहीं देता है; के अनुपात के लिए के अनुपात के बराबर होती है के लिए ।$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$$\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$