समस्याएं जो बहुपद-समय कठोरता परिणाम दिखाने के लिए उपयोग की जा सकती हैं

Question

एक नई समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म डिजाइन करते समय, अगर मुझे थोड़ी देर बाद एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म नहीं मिल रहा है, तो मैं यह साबित करने की कोशिश कर सकता हूं कि इसके बजाय एनपी-हार्ड है। यदि मैं सफल होता हूं, तो मैंने समझाया है कि मैं बहुपद समय एल्गोरिथ्म क्यों नहीं खोज सका। ऐसा नहीं है कि मैं यह सुनिश्चित करने के लिए जानता हूं कि पी! = एनपी, यह सिर्फ इतना है कि यह सबसे अच्छा है जिसे वर्तमान ज्ञान के साथ किया जा सकता है, और वास्तव में आम सहमति यह है कि पी! = एनपी।

इसी तरह, मान लें कि मैंने कुछ समस्या के लिए बहुपद-समय समाधान पाया है, लेकिन चलने का समय $O(n^2)$ । बहुत प्रयास के बाद, मैं इसे सुधारने में कोई प्रगति नहीं करता। इसलिए इसके बजाय, मैं यह साबित करने की कोशिश कर सकता हूं कि इसके बजाय यह 3SUM- हार्ड है। यह आमतौर पर एक संतोषजनक स्थिति है, मेरे सर्वोच्च विश्वास के कारण नहीं कि 3SUM को वास्तव में $\Theta(n^2)$ समय की आवश्यकता होती है , लेकिन क्योंकि यह कला की वर्तमान स्थिति है, और बहुत सारे स्मार्ट लोगों ने इसे सुधारने की कोशिश की है, और असफल रहे हैं। तो यह मेरी गलती नहीं है कि यह सबसे अच्छा मैं कर सकता हूं।

ऐसे मामलों में, सबसे अच्छा हम कर सकते हैं एक वास्तविक लोअर बाउंड के बदले एक कठोरता परिणाम है, क्योंकि हमारे पास एनपी में समस्याओं के लिए ट्यूरिंग मशीनों के लिए कोई सुपर-लीनियर कम सीमा नहीं है।

क्या समस्याओं का एक समान सेट है जो सभी बहुपद के लिए उपयोग किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, अगर मैं यह साबित करना चाहता हूं कि यह संभावना नहीं है कि कुछ समस्या में तुलना में बेहतर एल्गोरिदम है $O(n^7)$, तो क्या कुछ समस्या एक्स ऐसी है कि मैं यह दिखा सकता हूं कि यह एक्स-हार्ड है और इसे उस पर छोड़ दें?

अपडेट : यह सवाल मूल रूप से समस्याओं के परिवारों के लिए पूछा गया है। चूंकि समस्याओं के कई परिवार नहीं हैं, और इस सवाल को पहले से ही व्यक्तिगत कठिन समस्याओं के उत्कृष्ट उदाहरण मिले हैं, मैं इस प्रश्न को किसी भी समस्या के लिए आराम दे रहा हूं जिसका उपयोग बहुपद-काल कठोरता परिणाम के लिए किया जा सकता है। मैं इस प्रश्न के लिए अधिक उत्तर को प्रोत्साहित करने के लिए एक इनाम भी जोड़ रहा हूँ।

Comments

पेज maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html 3SUM के निचले और (ऊपरी) सीमा और संबंधित समस्याओं के बारे में कुछ परिणामों को सारांशित करता है और पढ़ने लायक है।

— त्सुयोशी इतो

सुपर-लीनियर लोअर सीमा की अनुपस्थिति कम से कम दो टेपों के साथ एक टीएम के लिए है, है ना? मुझे याद है कि कहीं न कहीं यह पढ़कर कि एक सिंगल-टीएम पर पलिंड्रोम की जाँच करने से क्वाड्रैटिक-टाइम लोअर बाउंड होता है। जब हम कम सीमा के बारे में बात के भीतर तरह का, Ω ( एन मैं ) बनाम Ω ( एन मैं + 1 ) , यह अभी भी ठीक है कि टीएम के सटीक मॉडल नहीं है ज्यादा बात की कल्पना करनी है? $P$$\Omega(n^i)$$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

ऑफ टॉपिक: रॉबिन, त्सुओशी, 3SUM लोअर बाउंड्स के परिवार को पेश करने के लिए धन्यवाद: मैंने उनके बारे में पहले कभी नहीं सुना था।

— gphilip

@ त्सुयोशी: जानकारी के लिए धन्यवाद। यह इस विषय पर एक अच्छा सर्वेक्षण है: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf । @gphilip: मुझे हाल ही में कुछ कम्प्यूटेशनल जियोमीटर द्वारा इस समस्या से परिचित कराया गया था। मुझे लगता है कि यह उस क्षेत्र में बहुत अच्छी तरह से जाना जाता है।

— रॉबिन कोठारी

बड़ा सवाल है। क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि "वर्दी" से आपका क्या मतलब है: क्या आप पैरामीटर के प्रीप्रोसेसिंग की मात्रा को बाध्य करना चाहते हैं?

— आंद्र सलाम

Answer 1

हाँ, के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिथ्म -SUM में चलता हे ( एन ⌈ कश्मीर / 2 ⌉ ) समय है, तो यह बहुत संभव है कि आप कुछ लोगों का तर्क हो सकता है n 7 , समस्या कठिन है क्योंकि अगर यह में है n 6.99 तो आप हल कर सकते हैं 14 - तेजी से।$k$$O(n^{\lceil k/2 \rceil})$$n^7$$n^{6.99}$$14$

ध्यान दें सम समस्या k के रूप में "आसान" हो जाती है$k$$k$ बढ़ जाती है जाती है: -SUM के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म दिया गया है, 2 k के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म प्राप्त करना काफी आसान है : -SUM: सभी O ( n 2 ) n संख्याओं के जोड़े अपने में ले लें। दिए गए 2 k -SUM उदाहरण, प्रत्येक जोड़ी को दो के योग के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, और उन संख्याओं में से k संख्याओं की तलाश करते हैं जो बराबर 0 हैं । फिर, एक हे ( n k / 2 - ε ) के लिए एल्गोरिथ्म कश्मीर -SUM एक का तात्पर्य$k$$2k$$O(n^2)$$n$$2k$$k$$0$$O(n^{k/2-\varepsilon})$$k$2 k -SUM केलिए एल्गोरिथ्म। दूसरा तरीका रखो, 2 k -SUM के लिए एक तंग निचली सीमा, k -SUM केलिए एक तंग निचली सीमा से अधिक मजबूत धारणा है।$O(n^{k-2\varepsilon})$$2k$$2k$$k$

एक कठिन समस्या के लिए एक और उम्मीदवार -Clique है। उस पर और अधिक के लिए मेरा O ( लॉग एन ) देखें । यदि आप दिखा सकते हैं (उदाहरण के लिए) कि आपकी समस्या के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म का तात्पर्य 3-- क्लिक के लिए O ( n 2 ) एल्गोरिथम है , तो आपके एल्गोरिथ्म में सुधार के लिए एक सुपर-सफलता की आवश्यकता होगी। परिमित जटिलता इस तरह की अन्य समस्याओं के कई उदाहरण देती है: k -Clique वर्ग W \ [ 1 \] के लिए कठिन है , और k -SUM W \ [ 2 \] के लिए कठिन है ।$k$$O(\log n)$$O(n^2)$$3$$k$$W\[1\]$$k$$W\[2\]$

मुझे आपको चेतावनी देते हैं कि हालांकि इस तरह की समस्याओं के साथ काम करने के लिए बहुत सुविधाजनक है, जैसी समस्याएं सम टी आई एम ई [ एन 2 ] में "सबसे कठिन"नहींहैं, उदाहरण के लिए, यह बहुत संभावना नहीं है कि टी आई में हर समस्या। M E [ n 2 ] वास्तव में रैखिक-समय को घटाकर 3 -SUM हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 3 -SUM कोरैखिक समय में O ( लॉग एन ) बिट्स ऑफ़नॉन्डेटर्मिनिज़्म के साथ हल किया जा सकता है, इसलिए यदि द्विघात समय में सब कुछ 3 -सुमतक कम किया जा सकता है, तो$3$$TIME[n^2]$$TIME[n^2]$$3$$3$$O(\log n)$$3$ और अन्य शानदार परिणामों का परिणाम है। इस बिंदु पर और अधिक लेख में पाया जा सकता है" एन 2- हार्डसमस्याएंकितनी कठिन हैं?" (कुछ बिंदु पर, "3SUM- हार्ड" को " एन 2 -हार्ड"कहा जाता था; इस SIGACT लेख ने उस नाम के बारे में शिकायत की थी।)$P \neq NP$$n^2$$n^2$

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केवल एक समस्या जो मुझे k-clique का उपयोग करने में है, वह यह है कि 3-clique में हल है । यदि यह मामला है कि कश्मीर-गुट की आवश्यकता के लिए लग रहा था थे Θ ( n कश्मीर ) , यह एक अच्छा प्राकृतिक परिवार उपयोग करने के लिए किया जाएगा। $O(n^2.376)$$\Theta(n^k)$

— रॉबिन कोठारी

मैं का उपयोग कर के बीच एक मौलिक अंतर दिखाई नहीं देता -SUM और k -Clique। k -SUM O ( n k / 2$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$ में भी । यदि आप दिखा सकते हैं कि आपकी समस्या के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म का अर्थ है कि k -Clique O ( n k / 2 ) में है , तो यह इस बात का पक्का सबूत है कि आपकी समस्या के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म खोजने में काफी कठिन होगा। $k$$k$$O(n^{k/2})$

— रयान विलियम्स

स्वच्छ संदर्भ, रयान। मुझे शर्म आती है कि मैं इसके बारे में पहले से नहीं जानता था, यह देखते हुए कि ज्यामिति समुदाय में 3SUM कितना लोकप्रिय है। बेशक यह सवाल उठता है: क्या कठिन होने के लिए कोई प्राकृतिक उम्मीदवार हैं ? $n^2$

— सुरेश वेंकट

@ रेयान: आप सही कह रहे हैं, वे वही हैं। हालांकि, के-एसयूएम के साथ, कम से कम हमारे पास कमजोर मॉडल में सबूत हैं कि अनुमान लगाया गया सही है। मुझे ऐसा कोई तर्क नहीं मालूम है जो सुझाव देता है कि 3-क्लिक्स को मैट्रिक्स गुणा से अधिक तेजी से हल नहीं किया जाना चाहिए।

— रॉबिन कोठारी

@Robin: मैं सोचा होगा के साथ समस्याओं के किसी भी प्राकृतिक परिवार संभावित कम सीमा, के लिए च ( कश्मीर ) = Θ ( कश्मीर ) , एक अच्छा जवाब होगा। सटीक निरंतर कम महत्वपूर्ण लगता है? $n^{f(k)}$$f(k) = \Theta(k)$

— आंद्रेस सलामन

Answer 2

सभी जोड़े सबसे छोटा पथ (APSP) समस्या के लिए आवश्यक माना जाता है समय। इससे कम करना यह तर्क देने का एक शानदार तरीका है कि फास्ट मैट्रिक्स गुणन (एफएमएम) पर आधारित सुधार की संभावना नहीं है।$\Omega^\star(n^3)$

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एक ग्राफ के व्यास के बारे में कैसे? बेहतर अभी तक, यह एक निर्णय समस्या है "व्यास कम से कम कश्मीर है?"। जहाँ तक मुझे पता है कोई स्पष्ट सुपरलाइनियर बाध्य होने का यह फायदा है।

— राफेल

Answer 3

यह माना जाता है कि डी में डाइनेन डिजनरेशन समस्या के लिए सबसे अच्छा एल्गोरिदम है$d$ -डायनामिक स्पेस में समय में चलने । समस्या निम्नलिखित है: पूर्णांक निर्देशांक के साथ d- आयामी स्थान में n अंक दिए जाने पर , क्या कोई d + 1 अंक एक सामान्य हाइपरप्लेन पर स्थित है?$O(n^d)$$n$$d$$d+1$

Affine degeneracy की समस्या है -SUM कठिन। यदि हम k -SUM के लिए अनुमानित निचले बाउंड को प्लग करते हैं , तो हम एक कम बाउंड प्राप्त करते हैं$(d+1)$$k$ । Affine अपकर्ष समस्या की जटिलता के लिए अनुमान के लिए बहुत मजबूत है घ ≥ 3 , हालांकि।$\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$$d \geq 3$

जे। एरिकसन, एस। हर-पेलेड, और डीएम माउंट, कम से कम मीडियन स्क्वायर समस्या, असतत और कम्प्यूटेशनल ज्यामिति, 36, 593-607, 2006 पर। http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

जे। एरिकसन और आर। सेडेल And ne और गोलाकार अध: पतन का पता लगाने पर बेहतर निचली सीमा। असतत संगति। गीत।, 13: 41-57, 1995। http://compgeom.cs.uiuc.edu/~Jffe/pubs/degen.html

जे इरिकसन। उत्तल हल समस्याओं के लिए नए निचले सीमा विषम आयामों में। एसआईएएम जे। कंप्यूटर, 28: 1198-1212, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

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मुझे यह उत्तर पसंद है, लेकिन क्या आप इसे उजागर कर सकते हैं? ऐसा क्यों माना जाता है?

— हारून स्टर्लिंग

Answer 4

Hopcroft की समस्या की आवश्यकता के लिए अनुमान लगाया जाता है $\Theta(n^{4/3})$ का एक सेट को देखते हुए: समय अंक और का एक सेट n , विमान में लाइनों किसी भी लाइन पर किसी भी बिंदु झूठ करता है?$n$$n$

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क्या कोई गैर-ज्यामितीय समस्याएं हैं जो हॉपक्रॉफ्ट की समस्या को कम करती हैं?

— सुरेश वेंकट

मैंने इस जवाब को इनाम देने का फैसला किया क्योंकि मैंने इस समस्या के बारे में पहले कभी नहीं सुना था।

— रॉबिन कोठारी