3-डिग्री बाउंड ग्राफ़ के लिए बहुपद समय में फीडबैक वर्टेक्स सेट की समस्या हल है?

Question

सामान्य अक्षरों के लिए फीडबैक वर्टेक्स सेट एनपी-पूर्ण है। इसे शीर्ष -8 बद्ध रेखांकन के लिए एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है। विकिपीडिया लेख का कहना है कि यह डिग्री -3 घिरा रेखांकन के लिए पाली समय व्याख्या करने योग्य है और डिग्री -4 घिरा रेखांकन के लिए एनपी पूरा हो गया है। लेकिन मुझे इसके लिए कहीं भी कोई प्रमाण नहीं मिला है। क्या यह सच है?

न्यूनतम डी ऐसा क्या है जो डिग्री-डी बाउंडेड ग्राफ में एफवीएस एनपी-पूर्ण है?

Comments

क्या किसी को पता है कि डिग्री 4 नियमित अप्रत्यक्ष रेखांकन पर समस्या कठिन है?

Answer 1

ली और लियू का एल्गोरिथ्म गलत है (यह चीन में प्रकाशित हुआ है, हालांकि अंग्रेजी में)। Ueno et al. की एल्गोरिथ्म सही है, और एक समान एल्गोरिथ्म Furst et al में पाया जा सकता है। १ । दोनों एल्गोरिदम समस्या को बहुपद-सॉल्व करने योग्य परिपक्वता समता समस्या [3] को कम करते हैं।

वीसी से इसकी कमी एनपी-कठोरता को डिग्री -6 बाध्य ग्राफ के लिए सुनिश्चित करती है! क्यूंकि क्यूबिक ग्राफ पर वीसी पहले से ही एनपी-हार्ड है। Speckenmeyer ने दावा किया है कि उनकी थीसिस [4] में अधिकतम डिग्री चार के प्लेनर रेखांकन पर FVS के एनपी-कठोरता का प्रमाण है, लेकिन इसे ढूंढना बहुत मुश्किल है (यदि उनकी थीसिस की पहुंच मेरे पास है तो मुझे इसकी एक प्रति भेज सकते हैं। )। सौभाग्य से, डिग्री-चार बाउंड ग्राफ के एनपी-कठोरता का एक नया प्रमाण 2 में पाया जा सकता है :

2 पर टिप्पणी : - वास्तव में, उन्होंने साबित किया कि समस्या APX- हार्ड है, लेकिन यह सत्यापित करना आसान है कि समस्या के NP-कठोरता के प्रमाण के लिए उनकी कटौती भी मान्य है। - इसकी कमी प्लानर रेखांकन पर लागू नहीं होती है।

1. मेरिक एल। फुरस्ट, जोनाथन एल। ग्रॉस, और लाइल ए। मैकगियोच, "एसीएम के जर्नल एंबेडिंग, मैक्सिमम-जीनस ग्राफ इम्बेडिंग"। ३५, नहीं। 3, पीपी। 523–534, 1988. 10.1145 / 44483.44485
2. रिज्जी, आर .: कमजोर मौलिक चक्र आधारों को खोजना मुश्किल है। अल्गोरिथमिका 53 (3), 402-424 (2009) 10.1007 / s00453-007-9112-8
3. लास्ज़लो लोवेज़, "ग्राफ मिलान समस्या," ग्राफ थ्योरी में बीजगणितीय विधियों में, सेर। Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, vol। 25, स्वेज़, हंगरी, 1980, पीपी। 495-517।
4. इवाल्ड स्पीकेनमीयर, "अनटेरचुंगेन ज़म फीडबैक वर्टेक्स ने अनगरिक्टेटेन ग्रेफेन में समस्या सेट की," पीएचडी थीसिस, यूनिवर्सिटैट-जीएच पैडरबोर्न, रीहे इंफॉर्मेटिक, बेरिच, 1983।

Comments

क्या एक साधारण कारण है कि यह "स्पष्ट रूप से गलत" क्यों है?

— सुरेश वेंकट

@SureshVenkat देर से जवाब के लिए क्षमा करें: मैंने अभी इस प्रश्न पर ध्यान दिया है। महत्वपूर्ण गलती प्रमेय 4.2 में है, जो इस पत्र का मुख्य प्रमेय है। उसका दावा है कि एक निकटता मिलान दिया और किनारों की एक जोड़ी { ई 1 , ई 2 } एक बड़ा समीपता मिलान में एम ' नहीं बल्कि में एम , वे संवर्धित कर सकते एम जोड़कर { ई 1 , ई 2 } के लिए एम । यह स्पष्ट रूप से गलत है, क्योंकि आसन्न मिलान की परिभाषा के लिए आसन्न मिलान के सभी किनारों के विलोपन की आवश्यकता होती है, जो ग्राफ को डिस्कनेक्ट नहीं करता है।$M$$\{e_1,e_2\}$$M'$$M$$M$$\{e_1,e_2\}$$M$

— यिक्सिन काओ

जारी रखा ... एक आसानी से एक मिलान प्राप्त कर सकते हैं केवल एक जोड़ी है, जो शीर्ष पर पूरा करती है वी , और एक अन्य मिलान एम ' दो जोड़े, जिनमें से एक को दूसरे किनारे घटना का उपयोग करता है के वी । इस जोड़ी का उपयोग M को बढ़ाने के लिए नहीं किया जा सकता है । इसके अलावा, लेम्मा 4.1 में भी गंभीर गलतियाँ हैं, लेकिन मुझे इस शोक का विवरण याद नहीं है। (मैंने पहले 2009 में उनका पता लगाया, और मैंने तुरंत लेखकों से संपर्क करने की कोशिश की, लेकिन दुर्भाग्य से मुझे कभी कोई प्रतिक्रिया नहीं मिली।)$M$$v$$M'$$v$$M$

— Yixin Cao

Answer 2

प्रासंगिक संदर्भ प्रतीत होते हैं:

यूनो, शुचि; काजीतानी, योजी; गोटोह, शिन्या। Nonseparating स्वतंत्र सेट समस्या और प्रतिक्रिया के साथ रेखांकन के लिए कोई तीन डिग्री से अधिक की डिग्री के साथ समस्या सेट। ग्राफ थ्योरी एंड एप्लिकेशंस पर पहले जापान सम्मेलन की कार्यवाही (हकोन, 1986)। डिस्क्रीट मैथ। 72 (1988), नहीं। 1-3, 355–360 ।

ली, डेमिंग; लियू, यानपी। 3-नियमित सरल ग्राफ के न्यूनतम प्रतिक्रिया शिखर सेट को खोजने के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म। एक्टा मठ। विज्ञान। 19 (1999), नहीं। 4, 375–381।

(चेतावनी: मैंने या तो एक नहीं पढ़ा है, लेकिन वे दोनों बहुपद समय में समस्या को हल करने का दावा करते हैं। मुझे नहीं लगता कि 3-नियमित और अधिकतम डिग्री तीन के बीच का अंतर इस समस्या के लिए महत्वपूर्ण है।)