सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुप्रयोग

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इस सवाल से प्रेरित होकर और विशेष रूप से या उत्तर के अंतिम पैराग्राफ में, मेरे पास निम्नलिखित प्रश्न हैं:

क्या आपको टीसीएस में सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के किसी भी आवेदन के बारे में पता है?

सममित समूह समूह संचालन रचना के साथ $S_n$ के सभी क्रमपरिवर्तन का समूह है। की अभिव्यक्ति से एक समरूपता है उलटी के सामान्य रैखिक समूह के लिए जटिल मैट्रिक्स। मैट्रिक्स गुणा द्वारा पर एक प्रतिनिधित्व कार्य करता है। का एक इरेड्यूसैबल प्रतिनिधित्व एक ऐसी क्रिया है जो अपरिवर्तनीय का कोई उचित उपसमूह नहीं छोड़ती है। परिमित समूहों के निरंकुश प्रतिनिधित्व एक को परिभाषित करने की अनुमति देते हैं $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ फूरियर गैर-एबेलियन समूहों पर बदल देती है । यह फूरियर ट्रांसफॉर्म चक्रीय / एबेलियन समूहों पर असतत फूरियर रूपांतरण के कुछ अच्छे गुणों को साझा करता है। उदाहरण के लिए दृढ़ संकल्प फूरियर के आधार पर बिंदुवार गुणा हो जाता है।

सममितीय समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत खूबसूरती से मिश्रित है। से प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $S_n$ के एक पूर्णांक विभाजन से मेल खाती $n$ । क्या इस संरचना और / या फ्यूमियर को सममित समूह पर बदलने से टीसीएस में कोई आवेदन मिला है?

— साशो निकोलोव
स्रोत

सममिति समूह के अनुप्रयोग भी देखें , विकिपीडिया

— vzn

सभी बहुत दिलचस्प जवाब। मैं एक मुश्किल समय को स्वीकार करने के लिए चुनने जा रहा हूं।

— साशो निकोलेव

विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक परिचय / अवलोकन, यंग

— टैबलक्स और सिमेंट्रिक

2

इस पत्र ने केवल क्वांट- फ़ अर्एक्सिव को मारा: जैनिस नोएत्ज़ेल द्वारा सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करते हुए दो पार्टी की विशिष्टता का समाधान।

— टायसन विलियम्स

एग्नेर और पुस्केल द्वारा सिमिट्री-आधारित मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन कुशल मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन / अपघटन / गुणन के लिए

और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तत्वों का उपयोग करता है। Perm-Perm समरूपता पर S3.2 देखें।

S_{n}

$S_n$

— vzn

27

यहाँ कुछ अन्य उदाहरण हैं।

डियाकोनिस और शाहशाहानी (1981) ने अध्ययन किया कि एक समरूप क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करने के लिए कितने यादृच्छिक प्रत्यारोपण की आवश्यकता होती है। उन्होंने 1/2 एन लॉग (n) +/- O (n) की एक तेज सीमा साबित की। रैंडम बदलाव के साथ एक यादृच्छिक क्रम उत्पन्न करना ।
कसाबोव (2005) ने साबित किया कि सममित समूह पर एक बंधे हुए डिग्री विस्तारक का निर्माण किया जा सकता है। सममित समूह और विस्तारक रेखांकन ।
कुपरबर्ग, लवेट और पेलेड (2012) ने साबित किया कि क्रमपरिवर्तन के छोटे सेट मौजूद हैं जो k-tuples पर समान रूप से कार्य करते हैं। कठोर दहनशील संरचनाओं का संभाव्य अस्तित्व ।

— शचर लवट
स्रोत

3

धन्यवाद शचर, और cstheory में आपका स्वागत है! मैंने आपके लिंक को ठीक करने के लिए स्वतंत्रता ली: वे थोड़ा बेमेल थे

— साशो निकोलेव

14

$S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. टिस्किन। अर्ध-स्थानीय स्ट्रिंग तुलना: एल्गोरिथम तकनीक और अनुप्रयोग। http://arxiv.org/abs/0707.3619

— अलेक्जेंडर टिस्किन
स्रोत

धन्यवाद! यह बहुत दिलचस्प लग रहा है और मैं निश्चित रूप से इसकी जांच करूंगा।

— साशो निकोलेव

14

यहाँ एक उदाहरण है जो मुझे पता है:

`` लॉग-रैंक 'संचार जटिलता में अनुमान' पर '' , आर.राज, बी.सेंकेर,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

मेरा मानना है कि वहाँ बहुत कुछ है।

— Klim
स्रोत

3

क्या आप संक्षेप में बता सकते हैं कि प्रतिनिधित्व मॉडल और इसे कैसे लागू किया जाता है?

— विजय डी।

@VijayD शायद क्लीम को अधिक जानता है, लेकिन यहाँ समस्या यह है कि किसी फ़ंक्शन की संचार जटिलता (के बारे में सोच अपने रैंक के लॉग से संबंधित है एक के रूप में असली मैट्रिक्स)। वे एक निर्माण रैंक के और सीसी । के पद का नियमित रूप से प्रतिनिधित्व में मैट्रिक की राशि के रूप में यह लिख कर की जाती है

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho निकोलोव

वास्तव में मैंने कुछ समय पहले इस पेपर को पढ़ा था इसलिए अब मुझे यह बिल्कुल याद नहीं है।

— किल्म

11

यहां क्वांटम कंप्यूटिंग से एक उदाहरण दिया गया है:

रोलैंड, जेरेमी; रोएटेलर, मार्टिन; मैगनिन, लोर्क; एंबैनिस, एंडिस (2011), "क्वांटम स्टेट जनरेशन के लिए सिमिट्री असिस्टेड एडवाइजरी", कम्प्यूटेशनल जटिलता पर 2011 IEEE 26 वें वार्षिक सम्मेलन की कार्यवाही, CCC '11, IEEE कंप्यूटर सोसायटी, पीपी। 167-177, doi: 10.1109 / CCC। 2011.24

वे दिखाते हैं कि इंडेक्स एरेसुर नामक एक निश्चित समस्या की क्वांटम क्वेरी जटिलता सममित समूह में प्लग करने के लिए एक इष्टतम प्रतिकूल मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करके । $\Omega(\sqrt{n})$

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

10

की नुथ 3 मात्रा आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग खोज और छँटाई करने के लिए समर्पित है और बहुत साहचर्य और क्रमपरिवर्तन और के लिए समर्पित है रॉबिन्सन-Schensted-नुथ पत्राचार , जो सममित समूह की अभिव्यक्ति को सिद्धांत रूप में महत्वपूर्ण है।
एलिस-फ्रेडगुट-पेलपेल और एलिस-फ्राइडगुट-फिल्मस द्वारा कई पेपर हैं जो पर हार्मोनिक विश्लेषण का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करते हैं । काफी TCS नहीं, लेकिन काफी करीब। $S_n$
Ajtai में मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व पर 90 के दशक के शुरुआती परिणाम थे जो कम्प्यूटेशनल जटिलता के सवालों से प्रेरित थे। मुझे विवरण याद नहीं है या अगर यह प्रकाशित किया गया था, लेकिन यह बेकार है! $S_n$

— गिल कलाई
स्रोत

धन्यवाद गिल! मेरा मानना है कि अजताज द्वारा आपके द्वारा लिखे गए कागजात में से एक यह है कि यह एक है: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html । मुझे लगता है कि आवेदन कबूतर सिद्धांत के सबूत जटिलता के लिए है, लेकिन मैं अभी तक कनेक्शन को काफी नहीं समझता।

— साशो निकोलेव

6

सममित समूह मूर, रसेल, शुलमैन द्वारा मजबूत फूरियर नमूनाकरण को परिभाषित करता है

"हम दिखाते हैं कि सममित समूह पर छिपी हुई उपसमूह समस्या को मजबूत फूरियर नमूना द्वारा कुशलतापूर्वक हल नहीं किया जा सकता है ... ये परिणाम ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म समस्या के लिए प्रासंगिक विशेष मामले पर लागू होते हैं।"

क्यूएम दृष्टिकोण के माध्यम से ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या को हल करने के लिए एक कनेक्शन के साथ

5 सममिति समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

— vzn
स्रोत

5

कंप्यूटर विज्ञान की तुलना में अधिक आंकड़े, लेकिन अभी भी दिलचस्प हैं: डायबिसीस के मोनोग्राफ में अध्याय 8 में ग्रुप गेपर्सेंटेशन ऑन प्रोबेबिलिटी एंड स्टैटिस्टिक्स में , ग्रुप साथ जुड़े डेटा के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण तकनीक विकसित की जाती है। यह कहना समय श्रृंखला डेटा के अधिक शास्त्रीय वर्णक्रमीय विश्लेषण का विस्तार करता है जहां प्राकृतिक वास्तविक या पूर्णांक जोड़ रहे हैं। यह समझ में आता है कि को माना जाता है जब डेटा रैंकिंग द्वारा दिया जाता है। मोनोग्राफ रैंकिंग डेटा के फूरियर गुणांक की व्याख्या करने में जाता है। उस स्थिति में डेटा सेट को एक विरल द्वारा दर्शाया जाता है $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ रैंकिंग में वरीयता देने वाले जनसंख्या के अंश तक रैंकिंग (क्रमपरिवर्तन द्वारा दी गई)

इसके अलावा एक ही अध्याय में, सममित और अन्य समूहों पर फूरियर विश्लेषण का उपयोग एनोवा मॉडल और परीक्षण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

इसका एक प्राकृतिक विस्तार रैंकिंग समस्याओं के लिए सांख्यिकीय शिक्षण सिद्धांत होगा जो एक तरह से बाइनरी वर्गीकरण के लिए बाइनरी वर्गीकरण के लिए सीखने के सिद्धांत के समान एक तरह से प्रतिनिधित्व सिद्धांत संबंधी तकनीकों से लाभ देता है, बूलियन क्यूब पर फूरियर विश्लेषण से लाभ हुआ है।

— साशो निकोलोव
स्रोत

हालांकि समस्याओं की रैंकिंग के लिए प्राकृतिक समूह संरचना क्या है?

— सुरेश वेंकट

1

@ सुरेश मैं सममित समूह को ध्यान में रखता था, लेकिन मेरा अंतिम पैराग्राफ कुछ और की तुलना में अधिक इच्छाधारी सोच है। मुझे रैंकिंग पर एक जैसी समस्या का ध्यान था: एक समारोह सीखना जो कुछ नमूनों से केवल कुछ तत्वों के सापेक्ष आदेश पर निर्भर करता है । शायद फूरियर तकनीक गैर-तुच्छ नमूना सीमा दे सकती है

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— सैशो निकोलेव

5

सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी दृष्टिकोण में निर्णायक या मैट्रिक्स गुणन पर कम सीमा के लिए एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

Bürgisser और Ikenmeyer एक कम आव्यूह गुणन की सीमा रैंक के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत का उपयोग करने पर बाध्य साबित । $S_n$
का प्रतिनिधित्व सिद्धांत किस प्रकार पर कम सीमा से संबंधित है, इसके लिए जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी II देखें: क्लास वेराइट्स और जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी VI के बीच के लिए देखें : सकारात्मकता के माध्यम से ﬂ ip $S_n$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

4

हुआंग्स पीएचडी थीसिस, PROBABILISTIC REASONING और घटकों पर शिक्षण: सममित समूह के संरचनात्मक विघटन का शोषण । अनुप्रयोग "एक वास्तविक कैमरा-आधारित बहु-व्यक्ति ट्रैकिंग परिदृश्य है।"
हुआंग, गेस्ट्रिन, गुइबास द्वारा क्रमपरिवर्तन पर फूरियर थ्योरेटिक प्रोबेबिलिस्टिक इंजेक्शन; जर्नल ऑफ मशीन लर्निंग रिसर्च 10 (2009) 997-1070। उदाहरण देखें। सेकंड 5. सममित समूह पर प्रतिनिधित्व सिद्धांत
एक और मल्टीट्रैकिंग एप्लीकेशन पेपर। कोंडोर, हॉवर्ड, जेबारा द्वारा सममित समूह (2007) के प्रतिनिधित्व के साथ बहु-वस्तु ट्रैकिंग
फ्यूरियर कोएफ़िशिएंसी, इरुज़ोकी, केल्वो, लोज़ानो (डेप्ट सीएस / एआई) के माध्यम से क्रमपरिवर्तन पर सीखने की संभावना वितरण । सेकंड 2 देखें सिमिट्रिक समूह पर फूरियर ट्रांसफॉर्म

— vzn
स्रोत

1

मैं इस उत्तर को अन्य सीखने के क्रमपरिवर्तन संदर्भ के साथ विलय करने का सुझाव दूंगा

— सैशो निकोलेव

ok ... विलय ...

— vzn

आंशिक रैंकिंग डेटा के फूरियर विश्लेषण में चरण स्पेक्ट्रम की व्याख्या करना भी देखें और रैंकिंग डेटा के फूरियर विश्लेषण के लिए एक सिग्नल प्रोसेसिंग दृष्टिकोण: ककराला द्वारा चरण का महत्व जो बहुत पहले काम का विस्तार करने के लिए लगता है

— vz

-1

क्लिन और जेक द्वारा रेखांकन के रेखीय बहुपद की गणना के लिए सममित समूहों के प्रतिनिधित्व का सिद्धांत

— vzn
स्रोत

पीएस आवेदन-ग्राफ रंग

— vzn

-2

बील्स, 1997 द्वारा एसटीओसी के इस अत्यधिक उद्धृत पेपर से यह साबित होता है कि सममित समूहों पर फूरियर के क्वांटम अभिकलन बीक्यूपी में हैं अर्थात क्वांटम बहुपद समय

— vzn
स्रोत

2

फिर से यह आपके द्वारा संदर्भित दूसरे क्वांटम पेपर के साथ जाता है। गैर-एबेलियन फूरियर ट्रांसफॉर्म को विकसित करने के लिए मुख्य प्रेरणा सममित समूह पर छिपी हुई उपसमूह समस्या को हल करने के लिए इसका उपयोग करना था। आपके द्वारा उद्धृत किए गए दूसरे पेपर से पता चलता है कि यह दृष्टिकोण समस्या का समाधान नहीं करता है।

— सैशो निकोलेव

Btw स्पष्ट होने के लिए: उपरोक्त टिप्पणी के साथ मेरा क्या मतलब है, इस उत्तर को अन्य QM उत्तर के साथ मिलाने का सुझाव देना और यह बताना कि दोनों कैसे संबंधित हैं (क्योंकि वे हैं)

— सशो निकोलेव

ठीक मूर एट अल बीट बील्स हालांकि यह नहीं है कि मुझे बील्स पेपर कैसे मिला। बाद में विलय हो सकता है, लेकिन अभी कुछ दर्शकों को यह बील्स रेफ की तरह प्रतीत नहीं होता है, जो भी कारण (पुराने,

— अलंकृत

मुझे यकीन नहीं है, मुझे लगता है कि यह एक ठीक संदर्भ है। मेरे लिए एक समस्या यह है कि आप यह नहीं समझाते हैं कि गैर-एबेलियन फूरियर रूपांतरण की गणना करने में सक्षम होने के लिए यह महत्वपूर्ण क्यों है।

— साशो निकोलेव

1

मैं पसंद करूंगा यदि उत्तर अपने दम पर खड़े हों और पाठक को पर्याप्त सुराग दें ताकि यह तय किया जा सके कि पूरा पेपर पढ़ा जा सकता है या नहीं। मैं सामग्री की सतही समझ से अधिक दिखाने का उत्तर चाहूंगा।

— साशो निकोलेव

-5

एक पुराना उदाहरण है, लेकिन अभी भी हाल ही में / चल रहे अनुसंधान के साथ, इस सिद्धांत के कुछ "पूर्ण फेरबदल" के गणित में दिखाई देते हैं, जिसे सममित समूह के एक तत्व के रूप में देखा गया था और जो उस समय एक प्रसिद्ध खोज थी। [1] समानांतर प्रसंस्करण एल्गोरिदम के लिए सही फेरबदल के अनुप्रयोगों का उल्लेख करता है और Cooley-Tukey O (n log n) DFT से भी कनेक्शन है। [२] हाल ही का है। सही फेरबदल समानांतर प्रसंस्करण [3], मेमोरी डिज़ाइन और सॉर्टिंग नेटवर्क में दिखाई देता है।

[१] डायकोनिस, ग्राहम, कैंटर द्वारा परिपूर्ण फेरबदल का गणित । 1983

[२] एलिस, फैन, शालिट (२००२) द्वारा मल्टीवे परफेक्ट फेरबदल परिक्रमण के चक्र

[३] स्टोन, १ ९ 1971१ द्वारा सही फेरबदल के साथ समानांतर प्रसंस्करण

[४] सही फेरबदल के आधार पर ओमेगा नेटवर्क

[५] समानांतर और अनुक्रमिक इन-प्लेस परम्यूटिंग और अचूक फेरबदल का उपयोग करते हुए इनवॉइस यांग एट अल (2012)

— vzn
स्रोत

1

क्या इन पेपरों में प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग किया जाता है?

— साशो निकोलेव

इसका एक विशेष मामला प्रतीत होता है

— vzn

2

एक विशेष मामला क्या है? सही फेरबदल एक क्रमचय है। मैं पूछ रहा हूँ, इन कागजात में साक्ष्यों में प्रयुक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत है? मुझे कोई नहीं मिला।

— शाशो निकोलेव

3

अन्यथा, (अपूर्ण) फेरबदल के संभावित मॉडल हैं, और इन मॉडलों में से किसी एक का उपयोग करके दोहराया फेरबदल क्रमपरिवर्तन पर एक यादृच्छिक चलना है। कभी-कभी सममित समूह पर फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके इस तरह के एक यादृच्छिक चलने के मिश्रण समय का विश्लेषण कर सकते हैं: शाचर ने यादृच्छिक रपट के फेरबदल के लिए एक उदाहरण दिया। आपके संदर्भ दिलचस्प हैं, लेकिन मैं प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ कोई संबंध नहीं देखता: कागजात कुछ (दो [1]) नियतात्मक फेरबदल और वे उत्पन्न होने वाले क्रमिक समूहों से संबंधित हैं। विश्लेषण

— दहनशील

अपूर्ण फेरबदल भी दिलचस्प है, लेकिन जवाब का पूरा पीटी एकदम सही फेरबदल है। ऐसा प्रतीत होता है कि उपरोक्त परिणाम पुनरावर्ती हो सकते हैं, या प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से सिद्ध हो सकते हैं, या इसके कुछ मुख्य पहलुओं का उपयोग बिना स्पष्ट / प्रत्यक्ष संदर्भ के बिना कर रहे हैं। नोट शार्क्स इस उत्तर में कागजों में से एक पर एक ही लेखक डायकोनिस का हवाला देते हैं। दूसरे शब्दों में, उपरोक्त लेखक निश्चित रूप से आपके प्रश्न का बेहतर उत्तर दे सकते हैं, लेकिन मेरी अपेक्षा है कि वे कम से कम कुछ हद तक सकारात्मक रूप में उत्तर देंगे =) ... इसके अलावा आपने केवल अपने स्वयं के प्रश्न में प्रतिनिधित्व सिद्धांत को "खूबसूरती से संयोजन" के रूप में वर्णित किया है!

— vzn