में समान रूप से वितरित बिंदुओं पर लालची स्पैनर की सबसे लंबी किनारे की लंबाई

Question

चलो का एक सेट हो एन में अंक आर डी । किसी भी के लिए टी ≥ 1 , एक टी -spanner एक अनिर्दिष्ट ग्राफ है जी = ( पी , ई ) Euclidian उपाय के तहत भारित, ऐसी है कि किसी भी दो अंक के लिए v , यू , में कम से कम दूरी जी , डी ( वी , यू ) , ज्यादा से ज्यादा है टी के बीच Euclidian दूरी बार वी और यू , | वी यू $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ (ध्यान दें कि इस परिभाषा को आसानी से मनमाने माप स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है)।

इनपुट के रूप में और t के साथ निम्नलिखित एल्गोरिथ्म पर विचार करें :$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

यह एल्गोरिथ्म तथाकथित लालची स्पैनर (या पथ-लालची स्पैनर) की गणना करता है। यह ग्राफ काफी शोध के अधीन रहा है: यह अभ्यास और सिद्धांत दोनों में, बहुत अच्छे बैनर पैदा करता है।

मुझे लालची स्पैनर में सबसे लंबे किनारे की लंबाई में दिलचस्पी है अगर को समान रूप से वितरित किया जाता है [ 0 , 1 ] डी (मामला है कि डी = 2 ठीक है)। मुझे लगता है कि यह अधिकतम लंबाई लगभग 1 / $P$$[0,1]^d$ , कुछ लॉग कारकों और कारकों के साथ संभावित रूप सेडी। यह अनुमान प्रायोगिक आंकड़ों से प्रेरित है।$1 / \sqrt{N}$$d$

मेरी रुचि का कारण यह है कि मेरे पास एक एल्गोरिथ्म है जो लालची स्पैनर को जल्दी से गणना करता है यदि सबसे लंबे किनारे की लंबाई अपेक्षाकृत कम है। यदि उपरोक्त सही है, तो इसका मतलब होगा कि मेरा एल्गोरिथ्म उपरोक्त परिदृश्य पर लागू है, और इसलिए व्यवहार में संभावित रूप से उपयोगी है।

मैंने कुछ कागजात को किनारों की संख्या और बेतरतीब ढंग से वितरित बिंदुओं पर अन्य प्रकार के स्पैनरों की डिग्री का विश्लेषण करते हुए पाया है, लेकिन सबसे लंबे किनारे की लंबाई पर कोई भी नहीं। इसमें शामिल होने की संभावना सिद्धांत बल्कि जटिल लग रहा था, इसलिए मैं उम्मीद कर रहा था कि खुद को एक प्रमाण देने का प्रयास करने से पहले कुछ ज्ञात हो जाए।

Answer 1

लालची स्पैनर के हमारे पेपर डिस्ट्रीब्यूशन-सेंसिटिव कंस्ट्रक्शन (ईएसए 2014 के लिए स्वीकृत) में हम निम्नलिखित सिद्ध करते हैं (थ्योरम 4 और लेम्मा 6 का संयोजन):

वहां मौजूद केवल पर निर्भर है टी है कि हर के लिए इस तरह ग > $c_t$$t$$c > 0$ , अगर अंक समान रूप से और स्वतंत्र रूप से एक में यादृच्छिक पर वितरित का एक सेट है $P$ वर्ग औरnकाफी बड़ा है, तो प्रायिकता के साथ कम से कम1-nc,Pपरलालचीटी-स्पैनर केकिनारों मेंc⋅cसे अधिक समय नहीं है$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$ ।$c \cdot c_t \log n$

सी टी पर हमारी सीमा$c_t$ काफी बड़ा है, लेकिन हमारे पास प्रायोगिक साक्ष्य हैं कि 'राइट' बाउंड $\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$ ।