उच्च जीनस ग्राफ के लिए कठिन समस्याएं

Question

प्लेनार ग्राफ में जीनस शून्य होता है। एक टोरस पर एम्बेड किए गए रेखांकन में जीनस सबसे अधिक होता है। 1. मेरा प्रश्न सरल है:

• क्या कोई समस्या है जो कि प्लानेर ग्राफ पर बहुपत्नी रूप से हल करने योग्य है लेकिन जीनस के ग्राफ पर एनपी-हार्ड है?

• अधिक आम तौर पर कोई समस्या है कि जीनस जी के रेखांकन पर बहुपद रूप से हल करने योग्य हैं, लेकिन जीनस के ग्राफ पर एनपी-हार्ड> जी?

Comments

दूसरे सवाल के लिए, क्या आप चाहते हैं कि समस्या जीनस के ग्राफ = = k के लिए NP-कठिन हो, जहाँ k, g से लगातार बड़ा हो? या क्या आप चाहते हैं कि समस्या ग्राफ़ के लिए एनपी-हार्ड हो, जिसका जीन जी से कम नहीं है (जो सामान्य ग्राफ़ के लिए एनपी-हार्ड होने के बराबर है)?

— रॉबिन कोठारी

मैं जीनस के ग्राफ = = k के लिए NP-Hard समस्याओं की तलाश कर रहा हूं, जहां k, g की तुलना में एक निरंतर बड़ा है।

— शिव किंताली

Answer 1

यह मेरे अपने काम की पब्लिसिटी है, लेकिन क्रॉसिंग नंबर और 1-प्लैनरिटी प्लानर ग्राफ्स में बहुत ही सॉल्व हैं, लेकिन जीनस के ग्राफ्स के लिए कठिन हैं। Http://arxiv.org/abs/1203.5944 देखें

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"एक ग्राफ नियर-प्लानर है यदि इसे एक किनारे को जोड़कर एक प्लैनर ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है। एक ग्राफ 1-प्लानर है यदि इसमें एक ड्राइंग है जहां प्रत्येक किनारे को एक दूसरे किनारे पर सबसे अधिक पार किया जाता है। हम दिखाते हैं कि यह एनपी है। - यह तय करना कि क्या एक नियर-प्लानर ग्राफ 1-प्लानर है। " मेरा कुछ छूट रहा है। प्रत्येक नियर-प्लानर ग्राफ 1-प्लानर भी क्यों नहीं है?

— टायसन विलियम्स

जो मुझे लगता है कि आप कह रहे हैं कि आप बस का एक प्लानर एम्बेडिंग ले सकते हैं और किनारे को फिर से जोड़ सकते हैं। हालांकि, अतिरिक्त किनारे 1-प्लैनरिटी का उल्लंघन करते हुए एक से अधिक किनारों को पार कर सकते हैं। $G-e$

— तीमुथियुस सूर्य

@TimothySun हाँ। अलावा प्रत्येक किनारे को एक बार ( ई ) से सबसे अधिक पार किया जाएगा , लेकिन ई को एक से अधिक दूसरे किनारे से पार किया जा सकता है, जिसकी अनुमति नहीं है। धन्यवाद। $e$$e$$e$

— टायसन विलियम्स

Answer 2

अगर खिलौने की समस्या ठीक है:

आज्ञा देना और चलो एच जीनस जी + 1 के कुछ ग्राफ हो । के लिए φ एक CNF-सूत्र, चलो जी φ के कुछ एन्कोडिंग हो φ एक समतल ग्राफ के रूप में प्लस के एक असंबंधित प्रति एच ।$g\in\mathbb{N}$$H$$g+1$$\phi$$G_\phi$$\phi$$H$

यह देखते हुए , जो जीनस का ग्राफ है जी + 1 , यह तय करने के लिए एनपी कठिन है φ संतुष्टि योग्य है। यह समस्या हालांकि तब तुच्छ हो जाती है जब जीनस graph जी के ग्राफ तक सीमित रहती है ।$G_\phi$$g+1$$\phi$$\leq g$

Comments

जीनस के रेखांकन पर इस समस्या क्या है $\leq g$

— Sasho निकोलोव

सभी ग्राफ में जीनस जी + 1 है । इस प्रकार, यदि आप समस्या को जीनस g के ग्राफ तक सीमित रखते हैं, तो आप हमेशा अस्वीकार कर सकते हैं। $G_\phi$$g+1$$g$

— रादु कर्टिसैपियन

आह, यह वास्तव में तुच्छ हो जाता है, मैं देखता हूं

— सैशो निकोलोव

Answer 3

EDIT (2012-09-05): जेफ और राडू की टिप्पणियां सही हैं। उद्धृत परिणाम प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। राडू की टिप्पणी पर विस्तार करने के लिए, यहाँ से एक संबंधित एल्गोरिथ्म है Bravyi जिस पर करार matchgate tensors के लिए एक एल्गोरिथ्म देता है एक ग्राफ के साथ जीनस जी चलाने के समय के साथ टी = पी ओ एल y ( एन ) + 2 2 जी ओ ( मीटर 3 ) जहां मीटर किनारों की न्यूनतम संख्या है, उसे प्लानर बनाने के लिए G से निकालना होगा।$G$$g$$T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$$m$$G$

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कै, लू, और ज़िया ने हाल ही में #CSP की गिनती की समस्याओं के लिए निम्न द्विभाजन को सिद्ध किया:

हम सीएसपी समस्याओं की गिनती के ढांचे में जटिलता डाइकोटॉमी प्रमेय साबित करते हैं। स्थानीय बाधा कार्य बूलियन इनपुट लेते हैं, और वास्तविक-मूल्यवान सममित कार्य हो सकते हैं। हम साबित करते हैं कि, इस वर्ग की प्रत्येक समस्या ठीक तीन श्रेणियों की है:

(1) जो सामान्य रेखांकन पर ट्रैक्टेबल (यानी, बहुपद समय कम्प्यूटेबल) हैं, या
(2) वे जो सामान्य ग्राफ़ पर # पी-हार्ड हैं, लेकिन प्लेनर ग्राफ़ पर ट्रैकेबल हैं , या
(3) वे हैं जो # पी-हार्ड हैं। योजना के रेखांकन पर।

वर्गीकरण मानदंड स्पष्ट हैं।

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इस सवाल का जवाब नहीं है। क्या श्रेणी (2) को प्लानेर ग्राफ्स के लिए (2a) ट्रैक्टेबल में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन टॉरॉयडल ग्राफ के लिए # पी-हार्ड, और (2 बी) बाउंड-जीनस ग्राफ के लिए ट्रैक्टेबल है, लेकिन अनबाउंड-जीनस ग्राफ के लिए # पी-हार्ड?

— जेफ

केस (2) में ऐसी समस्याएं हैं जो स्थानीय प्लानर गैजेट्स को पेश करके प्लानर ग्राफ़ में सही मिलान की गिनती करने के लिए कम की जा सकती हैं। यह भी ज्ञात है कि पूर्ण मिलान को बहुपत्नी काल में बंधे-जीनस रेखांकन पर गिना जा सकता है। इस प्रकार, मामले में सभी समस्याएं (2) वास्तव में बंधे-जीनस ग्राफ पर ट्रैक्टेबल हैं।

— रादु कर्टिसैपियन

Answer 4

किसी भी निश्चित  , यह निर्धारित करने के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है कि क्या ग्राफ में जीनस है (अधिकतम)  जी । बता दें कि एक्स जी   किसी भी समस्या है जो एनपी- जी के ग्राफ पर जी -पूर्ण से अधिक है  (उदाहरण के लिए, 3-कोलोराबिलिटी)। प्रत्येक निश्चित  g के लिए , समस्या "क्या इनपुट ग्राफ में अधिकांश g पर जीन है  या यह  X g (या दोनों) में है?" सामान्य इनपुट के लिए NP- पूर्ण है, लेकिन बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है जब इनपुट अधिकांश g पर जीनस के ग्राफ़ के लिए प्रतिबंधित है  ।$g$$g$$X_g$$g$$g$$g$$X_g$$g$

$\mathcal C$$\mathcal C$