वन-वे क्वांटम सत्यापन

क्लस्टर-स्टेट कम्प्यूटेशन का सिद्धांत अब तक अच्छी तरह से स्थापित है, यह दर्शाता है कि किसी भी BQP सर्किट को संशोधित किया जा सकता है, इसलिए यह केवल एकल क्वांटम क्वांटम गेट्स का उपयोग करता है, संभवतः शास्त्रीय रूप से नियंत्रित, बशर्ते "क्लस्टर राज्य" नामक राज्य की पर्याप्त आपूर्ति - स्टैबिलाइजर राज्य का उत्पादन करने के लिए एक सरल है।

मेरा प्रश्न है: क्वांटम सत्यापन के लिए ज्ञात एक समान धारणा है - अर्थात कोई QMA सर्किट को शास्त्रीय रूप से नियंत्रित 1-qubit फाटकों के साथ बदल सकता है, संभवतः कुछ "विशेष राज्य" का उपयोग कर रहा है? कम से कम शुरू में, मैं स्पष्ट नहीं हूं कि इस मामले में क्लस्टर राज्य भी काम कर सकता है।

quantum-computing

— जूनियर एल्डर
स्रोत

अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो क्या यह समस्या है कि क्यूएमए मर्लिन में आपके पास एक क्वांटम सबूत है जिसे आपको किसी तरह मॉडल में शामिल करना है? दूसरे शब्दों में, अगर यह QMA के बजाय QCMA था, जहां मर्लिन सिर्फ एक शास्त्रीय स्ट्रिंग आपके हाथ में है, तो हम सिर्फ BQP के लिए ज्ञात परिणामों का उपयोग कर सकते हैं, है ना?

— रॉबिन कोठारी

हाँ, यह सही है। इस अंतर को बनाने के लिए धन्यवाद।

— लियोर्ड एल्डर

शुरू करने के लिए, कोई बीक्यूपी के लिए एक ही सवाल पूछ सकता है: क्या हम 1-क्वांट माप करने की शक्ति दी गई किसी भी क्वांटम कम्प्यूटेशन का प्रदर्शन कर सकते हैं, और अविश्वसनीय क्लस्टर राज्यों (या कुछ अन्य उपयुक्त राज्य) की आपूर्ति दे सकते हैं?

— नोर्बर्ट शुच

जवाबों:

QMA-पूर्णता को बनाए रखते हुए QMA सत्यापनकर्ता को एकल-qubit माप और शास्त्रीय पूर्व- और पश्चप्रक्रम (यादृच्छिकता के साथ) तक सीमित करना संभव है।

यह देखने के लिए कि किसी भी वर्ग के -kocal-kaa-Hamiltonians को क्वैब पर ले लें। एक क्रम में जोड़ने और कारक के साथ जोड़कर , हैमिल्टनियन को जहां के रूप में लाया जा सकता है। , , और , जहां का एक उत्पाद है। सटीकता के लिए के सबसे छोटे प्रतिजन का अनुमान अभी भी QMA- कठोर है। $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

हम अब एक सर्किट का निर्माण कर सकते हैं, जो केवल एकल-qubit माप का उपयोग करता है, जिसे एक राज्य दिया जाता है , प्रायिकता के साथ स्वीकार करता है (जो निर्माण और बीच है ) । इसके लिए, पहले वितरण अनुसार अनियमित रूप से । फिर, में Paulis में से प्रत्येक को मापने , और समता ले परिणामों की है, जो अब से संबंधित है के माध्यम से अब सर्किट $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ , और आउटपुट इसलिए अनुसार वितरित किया जाता है ।

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

यदि हम (QMA- पूर्ण) स्थानीय हैमिल्टन समस्या का एक उदाहरण लेते हैं, तो एक स्थिति है जैसे कि यह सत्यापनकर्ता कुछ प्रायिकता साथ स्वीकार करेगा , जबकि अन्यथा किसी भी राज्य को अस्वीकार कर दिया जाएगा। संभाव्यता के साथ, । क्यूएमए का वैरिएंट जहां सत्यापनकर्ता एक-क्विट माप तक सीमित है, इसलिए कुछ अंतर के लिए QMA- पूर्ण है । अंत में, QMA के इस संस्करण को QMA के लिए सिर्फ पारंपरिक प्रवर्धन तकनीकों का उपयोग करके प्रवर्धित किया जा सकता है, जो अंततः सिद्ध करता है कि यह QMA- अंतर से पूर्ण स्वतंत्र है (QMA के समान सीमा के भीतर)। $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

— नॉर्बर्ट शुच
स्रोत

क्या आप एक संक्षिप्त विवरण या संदर्भ दे सकते हैं कि के सबसे छोटे प्रतिजन के आकलन की समस्या अभी भी क्यूएमए-कठिन क्यों है? धन्यवाद!

H

$H$

— हेनरी यूएन

हम एक हैमिल्टनियन से शुरू करते हैं जिसके लिए यह समस्या [अप टू ] QMA- पूर्ण है, इसे हैमिल्टनियन , जहां और , इसलिए सटीकता के लिए की GS ऊर्जा का अनुमान अभी भी है QMA मुश्किल।

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

— नोबर्ट शुच

क्या आप हमेशा मान सकते हैं कि पाउली हैमिल्टन के एक आइगेंसस्पेस पर प्रोजेक्टर है?

h_{i}

$h_i$

— हेनरी यूएन

खैर, मूल हैमिल्टन में प्रत्येक शब्द को पाउली उत्पादों ( लिए ), और के योग के रूप में लिखा जा सकता है । प्रत्येक पाउली उत्पाद का is ।

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— नोर्बर्ट शूच

प्रश्न की मेरी व्याख्या यह है कि आप पूछ रहे हैं, क्या हम मान सकते हैं कि क्यूएमए प्रोटोकॉल के लिए सत्यापनकर्ता सर्किट केवल एकल-क्वबिट माप का उपयोग करता है? (यह विचार किया जा रहा है कि यह कहावत आप दोनों को क्वांटम प्रूफ और क्वांटम क्लस्टर स्टेट को "वन-वे क्वांटम कंप्यूटिंग" द्वारा मूल सत्यापन सर्किट को लागू करने के लिए आवश्यक है।

बेशक, समस्या यह है कि हो सकता है कि आप सभी को मान्य क्लस्टर राज्य न भेजें। इसलिए सत्यापनकर्ता को यह सुनिश्चित करने के लिए प्राप्त राज्य का परीक्षण करना होगा कि यह वास्तव में एक क्लस्टर राज्य है। सत्यापनकर्ता एकल-qubit माप करके और सहसंबंधों की जांच करके आवश्यक स्टेबलाइजर चेक को संतुष्ट करता है। चूंकि ऐसे परीक्षण राज्य के लिए विनाशकारी होते हैं, इसलिए एक ऐसी प्रक्रिया होनी चाहिए जहां सत्यापनकर्ता को राज्य की कई प्रतियां दी जाती हैं, उनमें से अधिकांश की जाँच करता है, और गणना के लिए एक यादृच्छिक का उपयोग करता है। क्या बहुपद कई प्रतियाँ होती हैं?

मुझे नहीं लगता कि यह एक ज्ञात प्रमेय है। मैं एक स्पष्ट प्रतिसाद नहीं देखता (एक मिनट के विचार के साथ), इसलिए यह विश्वसनीय हो सकता है। परीक्षण राज्यों पर ज्ञात प्रूफ तकनीक ऐसा लगता है कि इसे जाँचने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। उदाहरण के लिए, मैथ्यू मैककेग का पेपर arXiv: 1010.1989 [क्वांट-फ़] देखें। यदि आपको प्रूफिंग का काम मिलता है, तो पेपर को QIP (डेडलाइन 5 अक्टूबर) भेजें!

— गुमनाम
स्रोत

शायद मैं इस सवाल को गलत समझ रहा हूं। यदि आप पूछ रहे हैं कि क्या आप माप आधारित गणना का उपयोग करते हुए QMA में एक समस्या के लिए सत्यापनकर्ता सर्किट को लागू कर सकते हैं, जहां मर्लिन इनपुट परत की आपूर्ति करता है, और आर्थर संसाधन राज्य में सभी आगे की मात्रा की आपूर्ति करते हैं और शुरू होने से पहले दोनों सेटों की मात्रा को उलझा देते हैं, फिर उत्तर तुच्छ रूप से हां है। यह सीधे इस तथ्य से है कि किसी भी क्वांटम सर्किट को माप आधारित गणना के रूप में लागू किया जा सकता है चाहे आप शास्त्रीय या क्वांटम इनपुट के बारे में परवाह करते हैं।

आप देखेंगे कि माप आधारित संगणना इनपुट साइटों पर अधिकांश कागजात आम तौर पर अन्य साइटों से अलग पहचाने जाते हैं, और यही कारण है कि (विशेष रूप से क्वांटम इनपुट के मामले से निपटने के लिए)।

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

वास्तव में मैं इस बिंदु पर अस्पष्ट हूं। माप-आधारित गणना के कागजात पर, मैंने देखा है, परिवर्तन किसी भी BQP सर्किट से शास्त्रीय इनपुट के साथ होता है, क्लस्टर राज्य से शुरू होने वाले एक-तरफ़ा कम्प्यूटेशन सर्किट के लिए। कहने का तात्पर्य यह है कि इनपुट के आधार पर किसी भी मनमाने ढंग से एकात्मक सर्किट U को माप-आधारित परिपथ U_1 पर ले जाने वाले परिवर्तन के रूप में वर्णित नहीं किया गया है। हालांकि मैंने जो जटिलता प्रश्न पूछा था, वह अब नॉर्बर्ट के उत्तर के बाद हल हो गया है, फिर भी मैं इस बिंदु को समझना चाहूंगा।

— लियोर Eldar

@ लायरएल्डार: फिर आपको मूल राउज़ोन्डोर्फ और ब्रीजेल पेपर या राउज़ोन्डोर्फ, ब्राउन और ब्रीगेल एक को देखना चाहिए। वे स्पष्ट रूप से एक समय में एक गेट सर्किट का निर्माण करते हैं, यह दिखाते हुए कि प्रत्येक माप पैटर्न इनपुट परत पर दिए गए गेट को लागू करता है, जो एक मनमाना स्थिति में हो सकता है। आप सबसे निश्चित रूप से मनमाने ढंग से इनपुट पर मनमाने सर्किट को लागू कर सकते हैं।

— जो फिट्जसिमों ने

लिरन वास्तव में आचेन के आसपास थे जब हमने इस पर चर्चा की थी, और सवाल को समझने का एक तरीका इस विचार पर आधारित है: क्या मर्लिन एक (अप्रतिष्ठित) क्लस्टर राज्य में निर्मित प्रमाण प्रदान कर सकता है, और आर्थर या तो सत्यापित करने के लिए अपने एक-qubit माप का उपयोग करता है क्लस्टर या MBQC का उपयोग कर सबूत की पुष्टि करें? (हो सकता है कि कोई व्यक्ति समान विचारों का उपयोग अंधे कंप में कर सके। जहां त्रुटि सुधार का उपयोग किया जाता है?) दुर्भाग्य से, किसी को QMA- कठोरता को साबित करने के लिए इस अच्छे विचार की आवश्यकता नहीं है। ;-( हालांकि, मेरा मानना है कि यह अभी भी समझने के लिए एक दिलचस्प सवाल है कि क्या यह काम करेगा, और आप इसे दिखाने के लिए विशेषज्ञ होंगे :-)

— नॉर्बर्ट शुच

@ लायर: यदि आप इनपुट को सत्यापित करने के लिए एमबीक्यूसी का उपयोग करना चाहते हैं, तो निश्चित रूप से आपको वन-क्वैबिट माप के अलावा 2-क्विट गेट्स की भी आवश्यकता है (क्योंकि आपको अपने क्लस्टर स्टेट के साथ इनपुट को उलझाना होगा)।

— नोर्बर्ट शुच

@ जो: बीटीडब्ल्यू, बीक्यूपी के लिए एक ही सवाल (क्या हम बीक्यूपी को 1-क्वांट माप का उपयोग करके एक अविशिष्ट क्लस्टर राज्य का उपयोग करके चला सकते हैं) निश्चित रूप से अभी भी खुला है, और यह मुझे लगता है कि अंधे गणना में उपयोग किए जाने वाले विचार जाने का तरीका हो सकता है ।

— नोर्बर्ट शुच