यादृच्छिक वृद्धिशील विलंबित त्रिभुज एल्गोरिथ्म का सबसे खराब मामला क्या है?

मुझे पता है कि उम्मीद की बुरी से बुरी हालत क्रम यादृच्छिक वृद्धिशील डेलॉनाय ट्राईऐन्ग्युलेशंस एल्गोरिथ्म (के रूप में दी कम्प्यूटेशनल ज्यामिति ) है $\mathcal O(n \log n)$ । एक व्यायाम है जो सबसे खराब स्थिति है $\Omega(n^2)$ । मैंने एक उदाहरण का निर्माण करने की कोशिश की है, जहां वास्तव में यह मामला है लेकिन अभी तक सफल नहीं हुआ है।

उन कोशिशों में से एक बिंदु को इस तरह से सेट करने और व्यवस्थित करने का आदेश था, जब एक बिंदु जोड़ते हैं $p_r$ कदम में $r$ , के बारे में $r-1$ किनारों का निर्माण होता है।

एक अन्य दृष्टिकोण में बिंदु-स्थान संरचना शामिल हो सकती है: बिंदुओं को व्यवस्थित करने का प्रयास करें ताकि बिंदु का पता लगाने के लिए बिंदु-स्थान संरचना में लिया गया पथ $p_r$ कदम में $r$ जब तक संभव हो।

फिर भी, मैं अनिश्चित हूं कि इन दोनों में से कौन सा दृष्टिकोण सही है (यदि बिल्कुल भी) और कुछ संकेतों के लिए खुशी होगी।

— Tedil
स्रोत

सभी बिंदुओं को वक्र पर रखने का प्रयास करें

y = x^{r}

$y = x^r$ कुछ चुने हुए लोगों के लिए

r

$r$ ।

— पीटर शोर

पहले दृष्टिकोण को इस प्रकार औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

चलो $P$ का एक मनमाना सेट हो $n$ परबोला की सकारात्मक शाखा पर अंक $y=x^2$ ; अर्थात्,

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ । सामान्यता की हानि के बिना, मान लें कि ये बिंदु बढ़ते क्रम में अनुक्रमित हैं:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ ।

दावा: Delaunay त्रिभुज में $P$ सबसे बाईं ओर का बिंदु $(t_1, t_1^2)$ में हर दूसरे बिंदु का पड़ोसी है $P$ ।

इस दावे का मतलब है कि एक नया बिंदु जोड़ना $(t_0, t_0^2)$ सेवा $P$ साथ में $0 < t_0 < t_1$ जोड़ता $n$ Delaunay त्रिकोण के नए किनारे। इस प्रकार, संयोगवश, अगर हम वेतन वृद्धि के अनुबंध को विलंबित करते हैं $P$ राइट-टू-लेफ्ट ऑर्डर में पॉइंट्स डालकर , बनाई गई Delaunay किनारों की कुल संख्या है $\Omega(n^2)$ ।

हम दावे को इस प्रकार सिद्ध कर सकते हैं। किसी भी वास्तविक मूल्यों के लिए $0<a<b<c$ , चलो $C(a,b,c)$ अंक के माध्यम से अद्वितीय सर्कल को निरूपित करें $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ ।

लेम्मा: $C(a,b,c)$ कोई बिंदु नहीं है $(t,t^2)$ कहाँ पे $a<t<b$ या $c<t$ ।

प्रमाण: चार बिंदुओं को याद करें $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ cocircular हैं यदि और केवल यदि

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ इस प्रकार, एक बिंदु

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ सर्कल पर स्थित है

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ यदि और केवल यदि

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ यह मुश्किल नहीं है (उदाहरण के लिए, वुल्फराम अल्फा से पूछें) का विस्तार करने के लिए और कारक

4 \times 4

$4\times4$ निम्नलिखित रूप में निर्धारक:

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ इस प्रकार,

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ आश्रित होना

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ यदि और केवल यदि

t = a

$t=a$ ,

t = b

$t=b$ ,

t = c

$t=c$ , या

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ । इसके अलावा, क्योंकि

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ , ये चार जड़ें अलग हैं, जिसका अर्थ है कि परवल वास्तव में पार करता है

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ उन चार बिंदुओं पर। यह इस प्रकार है कि

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ झूठ के अंदर

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ यदि और केवल यदि

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ या

b < t < c

$b<t<c$ ।

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
स्रोत

धन्यवाद, भले ही मैं वास्तव में केवल एक संकेत (सबूत के बिना) चाहता था;)

— टेडिल