क्या

Question

यादृच्छिक प्रतिबंधों और स्विचिंग लेम्मा के आधार पर कई प्रसिद्ध सर्किट आकार कम-बाउंड परिणाम हैं ।$\mathsf{AC^0}$

क्या हम सर्किट के लिए निम्न आकार-बाउंड को सिद्ध करने के लिए एक स्विचिंग लेम्मा परिणाम विकसित कर सकते हैं ( लिए निम्न-बद्ध प्रमाण के समान )? A C $\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$

या निचले-सीमा को साबित करने के लिए इस दृष्टिकोण का उपयोग करने के लिए कोई अंतर्निहित बाधा है ?$\mathsf{TC^0}$

क्या नैचुरल प्रूफ जैसे बैरियर रिजल्ट में को इस्तेमाल करने की तकनीक के बारे में कुछ भी कहा जाता है, जैसे कि सिद्ध करने के लिए तकनीकें लोअर- ?$\mathsf{TC^0}$

Comments

क्या आप लिए लेम्मा स्विच करने के प्रमाण से परिचित हैं ? $\mathsf{AC^0}$

— केवह

मैंने अरोड़ा की पाठ्यपुस्तक के सर्किट कम सीमा अध्याय को पढ़ा। सबसे पहले, किसी भी निरंतर गहराई के कीर्तुइट को बिना गेट और इंटरलेयर के साथ गेट्स के बिना सर्किट में बदलना, और दूसरा स्विचिंग लेम्मा का उपयोग करके इस दो लेयर को अंतिम रूप देना, हमें एक सर्किट टॉप मिलता है और दूसरा स्तर समान (या या) गेट्स है। इस प्रकार हम सर्किट की गहराई को कम करते हुए, एक परत के साइकेट को वंचित कर सकते हैं।

— Jeigh

हालाँकि, बूलियन केस से आसान नहीं है कि हम गेट के आउटपुट का निरीक्षण करें जब हम इनपुट के कई मूल्यों को ठीक करते हैं (बूलियन मामले में हम स्क्वायर रूट एन इनपुट के बारे में तय करते हैं)। और गेट और OR गेट थ्रॉटल गेट्स का चरम संस्करण है और प्रतिबंधों के प्रभाव का निरीक्षण करना बहुत आसान है।

— Jeigh

यादृच्छिक प्रतिबंध तकनीक के पीछे विचार यह है कि यादृच्छिक प्रतिबंध द्वारा मारा गया एक पर्याप्त मुक्त चर रखते हुए गैर-शून्य संभावना के साथ सरल (वास्तव में स्थिर) हो जाता है। और द्वारों के विपरीत , एक एकल गेट एक यादृच्छिक प्रतिबंध से टकराता है फिर भी छोटे आकार के इनपुट पर a गेट की गणना करेगा और सरल नहीं बनेगा। ∧ $\mathsf{AC^0}$$\land$$\lor$$\mod p$$\mod p$

— केवह जूल 26'12

यह भी ध्यान दें कि यादृच्छिक प्रतिबंध और स्विचिंग लेम्मा प्राकृतिक सबूत के प्रमुख उदाहरणों में से एक हैं। किसी भी मामले में, उम्मीद है कि सर्किट जटिलता विशेषज्ञ अधिक व्यापक उत्तर देगा। ps: मैंने प्रश्न को फिर से लिखने के लिए स्वतंत्रता ले ली, यदि आप मेरा संपादन पसंद नहीं करते हैं, तो वापस रोल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— केवह

Answer 1

दहलीज सर्किट के लिए कम सीमा साबित करने के लिए यादृच्छिक प्रतिबंधों का उपयोग करना वास्तव में संभव है।

थ्रेशोल्ड सर्किट के लिए पेपर साइज-डेप्थ ट्रेडऑफ्स में विशेष रूप से , इम्पेग्लियाज़ो, पटुरी, और सक्स समता समारोह की निरंतरता के लिए सुपरलाइनर लोअर बाउंड (तारों की संख्या पर) को साबित करने के लिए यादृच्छिक प्रतिबंधों का उपयोग करते हैं।

सर्किट के लिए साबित करने के संबंध में , हां, प्राकृतिक प्रमाण अवधारणा प्रासंगिकता की है क्योंकि में छद्म यादृच्छिक फ़ंक्शन जनरेटर के निर्माण हैं ।टी ० सी$\mathsf{TC}^0$$\mathsf{TC}^0$

Answer 2

डेथ - केन और रयान विलियम्स, सुपर-लाइन गेट और सुपर-क्वाड्रेटिक वायर लोअर बाउंड्स फॉर डेप्थ -2 और डेप्थ -3 थ्रेशोल्ड सर्किट (एसटीओसी 2016) के हालिया पेपर को भी देखें ।

रयान पेपर का वर्णन इस प्रकार करता है (निम्नलिखित विवरण उसके मुखपृष्ठ से लिया गया है):

हम में एक स्पष्ट कार्य करते हैं, जिसके लिए गहराई के दो-दो लीनियर थ्रेशोल्ड सर्किट (अनबाउंड वेट के साथ) को गेट्स और तारों की आवश्यकता होती है, एक साथ। हम यह भी दिखाते हैं कि एंड्रीव के कार्य ( आकार के एक गहराई-तीन बहुमत सर्किट द्वारा गणना योग्य ) की गहराई और दो रैखिक थ्रेशोल्ड सर्किट के साथ गणना करने के लिए समान गेट और तार के निचले हिस्से की आवश्यकता होती है। एक महत्वपूर्ण उपकरण लिटिलवुड-ऑफॉर्ड लेम्मा है, जिसका उपयोग हम कम गहराई वाले थ्रेशोल्ड सर्किट के इनपुट पर यादृच्छिक प्रतिबंधों के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए करते हैं।एन 1.5 एन 2.5 ओ ( एन $\mathsf{PP}$$n^{1.5}$$n^{2.5}$$O(n)$