क्या शून्य समाकलन अंतर कुछ समस्याओं के लिए शून्य द्वैत अंतर को दर्शाता है?

Question

हम जानते हैं कि यदि पूर्णांक कार्यक्रम और उसके दोहरे ("द्वैत अंतराल") के मूल्यों के बीच का अंतर शून्य है, तो पूर्णांक कार्यक्रम के रैखिक प्रोग्रामिंग छूट और छूट के दोहरे, दोनों अभिन्न समाधान (शून्य "अभिन्नता स्वीकार करते हैं) अंतर ")। मैं यह जानना चाहता हूं कि क्या काफिला पकड़ में है, कम से कम कुछ मामलों में।

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$$A$$0-1$$P'$$P$$P'$

मैं किसी भी काउंटर-उदाहरण या संकेत की सराहना करता हूं।

Comments

@ नहीं यकीन है कि सन्निकटन-एल्गोरिदम यहाँ सही टैग है। या यहां तक ​​कि dalal एल्गोरिदम

— सुरेश वेंकट

पहले पैरा में आप एक पूर्णांक कार्यक्रम के दोहरे से क्या मतलब है? पॉलीहेड्रल सिद्धांत की मूल बातें समझने के लिए रैखिक और पूर्णांक प्रोग्रामिंग पर श्राइवर की पुस्तक को देखना उपयोगी है और विशेष रूप से जब रैखिक प्रोग्रामिंग आराम में पूर्णांक कोने होते हैं। TUM मैट्रिक्स और असमानताओं की TDI प्रणाली आपके प्रश्न के लिए प्रासंगिक हैं।

— चन्द्र चकुरी

@ सुरेश, क्या रैखिक प्रोग्रामिंग और अनुकूलन एल्गोरिदम में नहीं आते हैं?

— केवह

@ChandraChekuri मैं पूर्णांक रैखिक कार्यक्रमों की बात कर रहा हूँ; इसलिए दोहरी आईएलपी का मानक दोहरी है जिसके लिए कमजोर द्वंद्व है। यहाँ कठिनाई यह है कि (primal) LP समाधानों (जैसे TUM / संतुलित इत्यादि) की अभिन्नता के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ प्रतीत होती हैं कि यह primal और इसके दोहरे LP के समाधानों की अभिन्नता की प्रतीत होती मजबूत अवधारणा से होकर गुजरती हैं। यह मुझे आश्चर्यचकित करता है कि अगर मौलिक समाधान की अभिन्नता दोहरे समाधान की अभिन्नता का अर्थ है, कम से कम अभिन्न गुणांक के लिए। पुनश्च: मैं सिर्फ साइबेल तक चल सकता था और हम वहाँ बात कर सकते थे! मैं कुछ साल पहले आपकी कक्षा में था!

— अंकुर

यह विशेष प्रश्न उन टैगों के करीब है जो वर्तमान में हैं।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

यहाँ एक उदाहरण है जो दावे के प्रति प्रतिपक्ष के करीब हो सकता है ।

LP और इसके दोहरे के लिए मैट्रिक्स$P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$$P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$$12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

का एक इष्टतम समाधान (अन्य सभी चर शून्य हैं), के उद्देश्य फ़ंक्शन मान के साथ दिया गया है । का इष्टतम समाधान वेक्टर । यदि आप को पूर्णांक प्रोग्राम के रूप में हल करते हैं , तो इष्टतम उद्देश्य फ़ंक्शन मान केवल , और एक इष्टतम समाधान है।$P'$$y_1=y_2=y_{12}=1$$3$$P$$x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$$P$$2$$x = [1~0~0~1~0~0]$

सारांश में, एलपी में एक अभिन्न इष्टतम समाधान है, लेकिन इसके दोहरे, में एक अभिन्न इष्टतम समाधान नहीं है। अंकुर चाहते थे कि सेट से दोहरी-दोहरी भूमिकाएं उलट जाती हैं। लेकिन एलपी द्वंद्व की प्रकृति को देखते हुए, इस उदाहरण को अभी भी मूल दावे के सामान्य कथन का प्रतिरूप माना जा सकता है।$P'$$P$

Comments

धन्यवाद! वह काम करता है! आप इस उदाहरण के साथ कैसे आए? क्या समस्याओं का एक ऐसा वर्ग है जिससे यह तैयार है?

— अंकुर

मैट्रिक्स एक मोबियस स्ट्रिप की सीमा मैट्रिक्स का एक संशोधन है, जो हमारे पेपर में इष्टतम समरूप चक्रों पर दिया गया है। मैं हाल ही में इस तरह के बाउंड्री मेट्रिक्स के साथ खेल रहा हूं, और इसलिए कुछ हद तक स्वाभाविक रूप से इस मैट्रिक्स के साथ मैंने जो उदाहरण दिया, उसे बनाने के लिए शुरू किया।

— कर्बला