GF (2) पर कम डिग्री के साथ यादृच्छिक बहुपद का पूर्वाग्रह क्या है?

Question

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* जब मैं डिग्री $\le d$ और एन चर के साथ यादृच्छिक बहुपद लिख रहा हूं , तो आप संभावना 1/2 के साथ उठाए गए कुल डिग्री \ ली डी के प्रत्येक मोनोमियल के बारे में सोच सकते हैं $\le d$।

केवल एक ही प्रासंगिक बात जो मुझे पता है कि श्वार्ट्ज़-ज़िपेल का एक प्रकार है जो बताता है कि यदि बहुपद गैर-संयमी है तो इसका पूर्वाग्रह $1-2^{1-d}$ । इसलिए, के लिए $\epsilon=1-2^{1-d}$ probaiblity है वास्तव में $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ जहां इस संभावना है कि है $p$ है निरंतर। दुर्भाग्य से, यह $\epsilon$ काफी बड़ा है।

Comments

पूर्वाग्रह (f) में f क्या है?

— टायसन विलियम्स

Answer 1

बेन-एलिएज़र, होद द्वारा पेपर "रैंडम कम-डिग्री बहुपद मुश्किल से अनुमानित हैं", और लवेट आपके प्रश्न का उत्तर देते हैं। वे यादृच्छिक dynomials के पूर्वाग्रह का विश्लेषण करके, सबसे पर डिग्री के बहुपद के साथ डिग्री के यादृच्छिक बहुपद के सहसंबंध पर मजबूत सीमाएं दिखाते हैं । उनकी लेम्मा 2 देखें: एक यादृच्छिक डिग्री- बहुपद का पूर्वाग्रह (कुछ जो में रैखिक है ) अधिकतम , प्रायिकता को छोड़कर ।$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

Comments

हाय @ दाविद, आपका जवाब बहुत मददगार था। मैं आपसे ई-मेल के माध्यम से कुछ पूछना चाहता था, क्या आप मुझे संदेश भेज सकते हैं?

— अविषय ताल

Answer 2

आपका प्रश्न रीड-मुलर कोड के वजन वितरण पर पूंछ की सीमाओं के बराबर है। रीड-मुलर कोड के वजन वितरण को समझना कोडिंग सिद्धांत में एक पुराना और चुनौतीपूर्ण सवाल है, और इसके बारे में कई दिलचस्प परिणाम ज्ञात हैं (वजन वितरण पूरी तरह से केवल और लिए समझा जाता है )। एक महान प्रारंभिक बिंदु के रूप में, ताली काफ़मैन, शचर लवेट, एली पोराट और उसके संदर्भ में "वेट डिस्ट्रीब्यूशन और लिस्ट-डिकोडिंग साइज़ ऑफ़ रीड-मुलर कोड्स" देखें।$d=1$$d=2$