क्वांटम राज्यों के बीच भेद

Question

एक राज्य को समान रूप से मिश्रित राज्यों के एक सेट से यादृच्छिक पर चुना गया , की सही पहचान करने की अधिकतम औसत संभावना क्या है ?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

इस समस्या को से को अलग करने की समस्या पर विचार करके इसे दो राज्य की अंतर-समस्या में बदल दिया जा सकता है ।$\rho_A$$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

मुझे पता है कि दो क्वांटम राज्यों के बीच समस्या का एक अच्छा समाधान है राज्यों के बीच ट्रेस दूरी के संदर्भ में जब आप त्रुटि की अधिकतम संभावना को कम करने के बजाय त्रुटि की औसत संभावना को कम करते हैं, और मैं उम्मीद कर रहा था कि इसके लिए भी कुछ ऐसा ही हो सकता है ये मामला। POVMs पर अनुकूलन के संदर्भ में संभावना लिखना निश्चित रूप से संभव है, लेकिन मैं उस चीज की उम्मीद कर रहा हूं जहां अनुकूलन पहले से ही किया जा चुका है।

मुझे पता है कि क्वांटम राज्यों की भिन्नता पर बहुत बड़ा साहित्य है, और मैं पिछले कुछ दिनों से इस प्रश्न का उत्तर खोजने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन बहुत सारे पत्र पढ़ रहा हूं, लेकिन मुझे इसका उत्तर खोजने में परेशानी हो रही है समस्या की विशेष भिन्नता। मैं किसी ऐसे व्यक्ति से उम्मीद कर रहा हूं जो जानता है कि साहित्य मुझे कुछ समय बचा सकता है।

कड़ाई से बोलते हुए, मुझे सटीक संभावना की आवश्यकता नहीं है, एक अच्छा ऊपरी बाध्य होगा। हालाँकि, किसी भी एक राज्य और अधिकतम मिश्रित अवस्था के बीच का अंतर काफी छोटा होता है, इसलिए उस सीमा में उपयोगी होना आवश्यक है।

Comments

क्योंकि सही उत्तर की संभावना एक अर्ध-निर्धारित कार्यक्रम का अधिकतम मूल्य है, इसलिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए दोहरे पर विचार करना अक्सर उपयोगी होता है।

— त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto: वास्तव में, लेकिन मैं यह अनुमान लगा रहा था कि इस समस्या का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और इसमें एक डिब्बाबंद परिणाम हो सकता है।

— जो फिट्जसिमन्स

क्या आप जानते हैं कि शास्त्रीय संभाव्यता वितरण के अनुरूप प्रश्नों का अच्छा जवाब है? आपके द्वारा उल्लिखित "ट्रेस दूरी" परिणाम शास्त्रीय वितरण के लिए "सांख्यिकीय दूरी" (उर्फ "कुल भिन्नता दूरी") के उपयोग का एक सामान्यीकरण है। [शास्त्रीय मामले में, प्राकृतिक रणनीति सबसे विशेष रूप से उत्पादन उत्पन्न करने के लिए वितरण को लेने की संभावना है। आप इसकी सफलता की संभावना के लिए एक बंद फॉर्म को लिख सकते हैं, हालांकि मुझे नहीं पता कि यह एक साधारण मात्रा (जैसे वितरण के बीच औसत दूरी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।]

— एडम स्मिथ

@ अदमस्मिथ: ऐसा लगता है कि शास्त्रीय रूप से आप प्रत्येक वितरण को घटित होने की प्रायिकता के आधार पर कर सकते हैं और फिर आपके द्वारा देखे जा रहे परिणाम को देने के लिए सबसे अधिक संभावना है।

— जो फिट्जसिमन्स

Answer 1

आप का उल्लेख है, यह इष्टतम औसत सफलता संभावना संख्यानुसार, जो semidefinite प्रोग्रामिंग के माध्यम से कुशलता से किया जा सकता है निर्धारित करने के लिए संभव है (उदाहरण के लिए देखने के इस पत्र Eldar, Megretski और वर्गीज या द्वारा इन व्याख्यान नोट्स जॉन Watrous द्वारा), लेकिन कोई बंद फार्म अभिव्यक्ति है मालूम।

हालांकि, त्रुटि की संभावना पर कई ज्ञात ऊपरी और निचले सीमाएं हैं (अर्थात 1 औसत सफलता की संभावना शून्य)। जोड़ो में fidelities के संदर्भ में, अपनी सेटिंग में त्रुटि की संभावना होने के लिए जाना जाता है कम घिरा द्वारा , और ऊपरी घिरा द्वारा 2$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$ ।

ट्रेस दूरी के संदर्भ में एक और निचली सीमा को भी जाना जाता है: , जो मामले में बंधे सटीक हेल्स्ट्रॉम को कम करता है । इन सभी की तुलना के लिए इस पेपर को देखें , और कुछ अन्य सीमाएं भी। ध्यान दें कि ये सभी सीमाएँ औसत-स्थिति सेटिंग में हैं जहाँ राज्यों पर पूर्व संभावना वितरण है।एन=$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$

Comments

बहुत बढ़िया, धन्यवाद एशले। ट्रेस दूरी के संदर्भ में त्रुटि की संभावना पर कम बाध्य वही है जो मैं देख रहा था। दरअसल, मेरी बैकअप योजना मैं एक अच्छा जवाब पाने में नाकाम रही थी यहाँ आप ईमेल करने जा रहे थे, क्योंकि मुझे पता है कि आपने इस सामान पर काम किया है।

— जो फिट्ज़सिमन

क्या कोई सीमा है जो त्रुटि की संभावना की सीमा में अच्छी तरह से काम करती है 1 के करीब है? ट्रेस दूरी एक 1/2 पर अधिकतम करने के लिए लगता है। मैं इस समय निष्ठा की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि मैं वास्तव में उस समस्या में निष्ठा की गणना कर सकता हूं जिस पर मैं काम कर रहा हूं, और आपके द्वारा दी गई सीमाएं योगात्मक त्रुटियों के प्रति बहुत संवेदनशील लगती हैं।

— जो फिट्ज़सिमों ने

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