क्या P में ऐसी भाषाएँ हैं जिनका अस्तित्व PA या ZFC से स्वतंत्र है? (टीसीएस समुदाय विकि)

Question

उत्तर: ज्ञात नहीं है।

पूछे जाने वाले प्रश्न स्वाभाविक, खुले और स्पष्ट रूप से कठिन हैं; सवाल अब एक सामुदायिक विकि है।

अवलोकन

प्रश्न जटिलता वर्ग से संबंधित भाषाओं को विभाजित करने का प्रयास करता है  - साथ में निर्णय के साथ ट्यूरिंग मशीन (TMs) जो इन भाषाओं को स्वीकार करती हैं - दो पूरक उपवर्गों में:$P$

• ग्नोस्टिक भाषा और टीएम (जो मान्य / समझने के लिए संभव हैं), बनाम
• गुप्त भाषा और टीएम (जो मान्य / समझने के लिए स्वीकार्य हैं)।

परिभाषाएँ: सूक्ति बनाम गुप्त संख्या, टीएम और भाषाएं

स्वयंसिद्ध ढाँचे पीए और जेडएफसी के भीतर , हम गुप्त ट्यूरिंग मशीनों और भाषाओं से सूक्ति को अलग करते हैं:

D0   हम कहते हैं कि एक गणना योग्य वास्तविक संख्या   , gnostic iff है, जो TM के गैर-खाली सेट से संबंधित है, पीए में प्रत्येक TM को एक सार्वभौमिक TM पर मान्य कोड शामिल संख्याओं की एक स्पष्ट सूची के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, जैसे कि किसी भी सटीकता के लिए ϵ > 0 एक इनपुट के रूप में आपूर्ति की, प्रत्येक टीएम provably (ZFC में) एक निर्गम संख्या के साथ हाल्ट ओ provably कि (ZFC में) को संतुष्ट करता है r - ε < ओ < आर + ε ।$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

रिमार्क   यह ज्ञात है कि कुछ कम्प्यूटेशनल रियल ग्नॉस्टिक नहीं हैं (एक ठोस उदाहरण के लिए राफेल रिट्जिग का जकफ के प्रश्न का उत्तर देखें " क्या गैर-रचनात्मक एल्गोरिथ्म अस्तित्व प्रमाण हैं? ")। इन संगणनीय-अभी-भी-अजीब संख्याओं से जूझने से बचने के लिए, यह प्रतिबंध लगाया गया है कि टीएम द्वारा रनटाइम एक्सपोजर की गणना की जानी चाहिए जो कि PA में स्पष्ट रूप से गणना की जाती है (जैसा कि ZFC में निर्दिष्ट TMs निहित के साथ विपरीत है)। आगे की चर्चा के लिए अनुभाग निश्चित विचार (नीचे) देखें।

अब हम उन परिभाषाओं की तलाश करते हैं जो इस जटिलता को पकड़ लेती हैं कि जटिलता वर्ग में गुप्त भाषाओं का एक सबसेट शामिल है जिसमें कोई (gnostic) रनटाइम घातांक निचले-बाउंड को निश्चित रूप से सौंपा जा सकता है। $P$

आगे देखने के लिए, समापन की परिभाषा ( D5 ) एक कैनोनिक रूप से क्रिप्टिक निर्णय TM के विचार को निर्दिष्ट करती है , जिसकी परिभाषा को कम करने के लिए एक दृष्टिकोण के साथ तैयार किया गया है (जो कि तुच्छ रूप से) कम्प्यूटेशनल सुपरफ़्लिफ़ इपी-संगणनाओं को दर्शाते हुए (क्रिप्टोकरंसी) मुखौटा क्रिप्टिकल कम्प्यूटेशंस। इस प्रमुख परिभाषा के औचित्य और स्रोतों पर बाद में चर्चा की गई है - शीर्ष परिभाषा के अंतर्गत  - और टिमोथी चाउ, पीटर शोर, साशो निकोलेव, और लुका ट्रेविसन द्वारा टिप्पणियों के योगदान को कृतज्ञतापूर्वक स्वीकार किया जाता है।

डी 1   को देखते हुए एक ट्यूरिंग मशीन एम कि सभी इनपुट तार लिए रुकता है, एम कहा जाता है गुप्त iff निम्नलिखित बयान न साध्य है और न ही खंडन करने योग्य है कम से कम एक रहस्यवादी वास्तविक संख्या के लिए  :$r \ge 0$

कथन: M की रनटाइम इनपुट लंबाई n के संबंध में ${O}(n^r)$$n$

ट्यूरिंग मशीनें जो क्रिप्टिक नहीं हैं, हम कहते हैं कि जिनेटिक टीएम हैं।

डी 2   हम कहते हैं कि एक निर्णय ट्यूरिंग मशीन एम कुशल है अगर यह एक gnostic रनटाइम घातांक  कि भाषा एल कि एम स्वीकार करता है कोई अन्य टीएम एक gnostic रनटाइम घातांक आर से छोटा है  ।$r$$r$

डी 3   हम कहते हैं कि एक भाषा एल गुप्त है अगर यह (ए) द्वारा स्वीकार किया  जाता है तो कम से कम एक ट्यूरिंग मशीन एम है जो कि कुशल और गूढ़ है, और इसके अलावा (बी)  कोई टीएम नहीं है जो दोनों कुशल और सूक्ष्मतम रूप से स्पष्ट रूप से एल है।

डी 3 को दूसरे तरीके से व्यक्त करने के लिए , एक भाषा क्रिप्टिक है यदि टीएम उस भाषा को स्वीकार करते हैं जो सबसे कुशलता से स्वयं क्रिप्टिक हैं।

ऐसी भाषाएं जो क्रिप्टिक नहीं हैं, हम कहते हैं कि ज्ञानवादी भाषाएँ हैं।

D4   हम कहते हैं कि एक गुप्त टीएम है दृढ़ता से गुप्त iff भाषा उसे स्वीकार कर लेगा गुप्त है।

डी 5   हम कहते हैं कि एक जोरदार क्रिप्टिक टीएम कैनोनिक रूप से क्रिप्टिक है अगर यह कुशल है।

D5 को दूसरे तरीके से व्यक्त करने के लिए , प्रत्येक गुप्त भाषा को कैनोनिक रूप से क्रिप्टिक निर्णय TM के सेट द्वारा स्वीकार किया जाता है, जो कि उस भाषा को स्वीकार करने वाले सबसे कुशल निर्णय TM हैं।

पूछे गए सवाल

निम्नलिखित अनुमान C0 प्राकृतिक है और (जाहिरा तौर पर) खुला है:

C0   जटिलता वर्ग P में कम से कम एक गूढ़ भाषा है।

तीन प्रश्न पूछे जाते हैं, Q1 - Q3 , जिनमें से पहला है:

Q1   क्या C0 पीए या ZFC से स्वतंत्र है?

इस धारणा के तहत कि C0 सच है - या तो ZFC में, या एक स्वतंत्र स्वयंसिद्ध के रूप में जो ZFC का पूरक है - दो और प्रश्न स्वाभाविक हैं:

Q2   क्या P में कम से कम एक गूढ़ भाषा को संक्षिप्त रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है, अर्थात्, एक परिमित वर्णमाला में स्पष्ट शब्दों के शब्दकोश के रूप में प्रदर्शित किया जाता है जिसमें किसी भी निर्दिष्ट लंबाई तक सभी शब्द शामिल हैं? यदि हां, तो ऐसे शब्दकोश का प्रदर्शन करें।

Q3   क्या कम से कम एक कैनोनिक रूप से गुप्त निर्णय टीएम को संक्षिप्त रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है, अर्थात, ट्यूरिंग मशीन के निर्माण के लिए एक सक्षम विवरण के रूप में, जो कि (बहुपद समय में) Q2 के शब्दकोश के सभी शब्दों को तय करता है ? यदि ऐसा है, तो ऐसी ट्यूरिंग मशीन का निर्माण करें और इसके साथ कंप्यूटिंग करके, क्यू 2 के क्रिप्टो भाषा शब्दकोश का प्रदर्शन करें ।

निश्चित विचार

परिभाषा D0 का तात्पर्य है कि प्रत्येक सूक्ति वास्तविक संख्या संगणक है, लेकिन यह ज्ञात है कि कुछ संगणक वास्तविक संख्याएँ गुणसूत्र नहीं हैं । उदाहरण के लिए, पर जवाब देख MathOverflow द्वारा Michaël Cadilhac और रयान विलियम्स और पर टीसीएस StackExchange द्वारा राफेल Reitzig । आमतौर पर, परिभाषाएँ D0-D5 को गैर-ज्ञानवादी रनटाइम घातांक के संदर्भों को बाहर करने के लिए तैयार किया जाता है।

जैसा कि TCS wiki में चर्चा की गई है " क्या P में असंगत भाषाएं हैं? ", परिभाषाएँ D0-D5 यह सुनिश्चित करती हैं कि प्रत्येक गुप्त भाषा को कम से कम एक TM द्वारा स्वीकार किया जाए जो कि कैनोनिक रूप से गुप्त हो। (यह भी ध्यान दें कि वर्तमान प्रश्न में "क्रिप्टिक" शब्द कम विवरणात्मक शब्द "विकी शब्द" का उपयोग विकी में किया गया है)।

इसके अलावा - डी 3 (ए) और डी 3 (बी) के मद्देनजर -  एक गनॉस्टिक टीएम के लिए कैनोनिक रूप से क्रिप्टिक टीएम की कोई कम्प्यूटेशनल रूप से मामूली कमी मौजूद नहीं है जो समान भाषा को स्पष्ट रूप से पहचानती है। विशेष रूप से, डी 3 (क) और डी 3 (ख) में बाधा डालती polylimiter घटाने की रणनीति है कि द्वारा टिप्पणी में रेखांकित किया गया पीटर शोर , और द्वारा Sasho निकोलोव , और स्वतंत्र रूप से लुका ट्रेविसान , और भी नुकसान पहुँचा रहा भी polynomially क्लॉक की कमी रणनीति टिमोथी चाउ , सभी जिसमें से समान रूप से एक शानदार कम्प्यूटरीकृत एपि-संगणना को ओवरले करके क्रिप्टिक संगणनाओं का मुखौटा ।

सामान्य तौर पर, "ज्ञानात्मक" और "गुप्त" की परिभाषाएँ जानबूझकर ट्यून की जाती हैं ताकि गणितीय रूप से मामूली कटौती के संबंध में मजबूत हो (और यह पूरी तरह से संभव है कि इन परिभाषाओं के आगे ट्यूनिंग वांछनीय हो सकती है)।

पद्धति संबंधी विचार

लांस फ़ॉर्स्टन की समीक्षा "जटिलता की पी बनाम एनपी समस्या की स्थिति " जटिलता सिद्धांत में स्वतंत्रता (या अन्यथा) अनुमानों की स्थापना के लिए सर्वेक्षण के तरीके; विशेष रूप से वांछित सुझाव हैं कि Q1 का जवाब देने के लिए लांस समीक्षा कैसे मदद कर सकती है (या नहीं) ।

यह स्पष्ट है कि कई और प्रश्न स्वाभाविक हैं। उदाहरण के लिए, हार्टमैनिस-स्टर्न्स अनुमान हमें यह पूछने के लिए प्रेरित करता है कि "क्या क्रिप्टोकरेंसी रियल-टाइम मल्टीटैप ट्यूरिंग मशीन मौजूद है? क्या उनका अस्तित्व (या नहीं) पीए या जेडएफसी से स्वतंत्र है?"

ज़ीलबर्गर-प्रकार के विचार

$P$

इस संबंध में जटिलता सिद्धांत अधिकांश गणितीय विषयों से अलग है, जैसे कि डोरॉन ज़िलबर्गर ने अपनी हालिया " ओपिनियन 125: में व्यक्त की गई आशंकाओं को व्यक्त किया है कि अब एलन ट्यूरिंग 100 साल का हो गया, यह समय है कि वह अपने सेमिनाल योगदान पर एक नए रूप में नजर आए।" , कि बहुत सारे अच्छे लेकिन बहुत सारे नुकसान भी हुए "यकीनन अच्छी तरह से स्थापित हैं।

 $\equiv$

Z0:   ज़ेलेबर्गर की संवेदनशीलता मानदंड   जटिलता वर्ग P की परिभाषाएँ ज़ीलबर्गर-समझदार iff   कहलाती हैं, P की सभी भाषाएँ, स्पष्ट रूप से ज्ञानवर्धक हैं।

वर्तमान में यह ज्ञात नहीं है कि स्टीफन कुक की जटिलता वर्ग पी की परिभाषा   ज़ेलेबर्गर-समझदार है या नहीं।

प्रेरक विचार

"सूक्ति" और "गूढ़" की परिभाषाओं को निम्नलिखित (जैसे) अनुमानों की ओर देखने के साथ तैयार किया गया है:

$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

  $P' \ne NP'$

 $\to$ 

$P\ne NP$

ज्यूरिस हार्टमैनिस इस जटिलता की जांच को गंभीरता से आगे बढ़ाने वाले पहले जटिलता सिद्धांतकारों में से थे; उदाहरण के लिए, हार्टमैनिस की मोनोग्राफ फिजिबल कम्प्यूटेशंस और प्रोवेबल कॉम्प्लेक्सिटी प्रॉपर्टीज (1978) देखें।

नामकरणीय विचार

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी (OED) से हमारे पास:

• ज्ञानविज्ञानी (adj)  ज्ञान से संबंधित; संज्ञानात्मक; बौद्धिक   "वे [संख्या] एक महत्वपूर्ण, ज्ञानवादी और सट्टा में मौजूद हैं, लेकिन एक ऑपरेटिव तरीके से नहीं।"

• गूढ़ (adj)  तुरंत समझने योग्य नहीं; रहस्यमय, गूढ़   "मैन्काइंड के लिए उपयोगी सादे नियमों के बजाय, वे [दार्शनिक] क्रुप्टिक और डार्क सेंटेंस को मानते हैं।"

जाहिरा तौर पर किसी भी गणितीय समीक्षा ने पहले किसी भी अर्थ में "सूक्ति" शब्द का उपयोग नहीं किया है। हालांकि, ध्यान मार्कस Kracht के हाल के लेख "करने के लिए तैयार की है आत्मिक ज्ञान " ( दार्शनिक तर्क के जर्नल , MR2802332) है, जो OED भावना का उपयोग करता है।

स्पष्ट रूप से किसी भी गणितीय समीक्षा ने जटिलता के सिद्धांत के संबंध में - "तकनीकी" शब्द का उपयोग अपने तकनीकी अर्थों में नहीं किया है। हालांकि, चार्ल्स एच। बेनेट के लेख " लॉजिकल डेप्थ एंड फिजिकल कॉम्प्लेक्सिटी " ( द यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन: अ हाफ सेंचुरी सर्वे , 1988) में ध्यान आकर्षित किया गया है जिसमें मार्ग शामिल है

किसी वस्तु के साथ जुड़ी एक अन्य प्रकार की जटिलता कठिनाई होगी, जो वस्तु को दिया जाता है, उसे समझाने के लिए प्रशंसनीय परिकल्पना खोजने की। इस तरह की जटिलता वाली वस्तुओं को "गुप्त" कहा जा सकता है : वस्तु के लिए एक प्रशंसनीय मूल खोजने के लिए एक क्रिप्टोग्राम को हल करने जैसा है।

स्वाभाविकता, खुलेपन और कठिनाई के विचार

इन सवालों की स्वाभाविकता ज्यूरिस हार्टमैनिस की मोनोग्राफ फिजिबल कम्प्यूटेशंस और प्रोवेबल कॉम्प्लेक्सिटी प्रॉपर्टीज (1978) की थीसिस को दर्शाती है:

"एल्गोरिदम की जटिलता के बारे में परिणाम काफी मौलिक रूप से बदलते हैं यदि हम केवल गणनाओं के गुणों पर विचार करते हैं जो औपचारिक रूप से साबित हो सकते हैं।"

इन सवालों की खुलेपन और कठिनाई मोटे तौर पर लांस फ़ॉर्स्टन की समीक्षा " द वर्सेस ऑफ़ द पी वर्सस एनपी प्रॉब्लम " (2009) के निष्कर्ष के साथ मेल खाती है:

"हममें से कोई भी वास्तव में पी बनाम एनपी समस्या को नहीं समझता है, हमने केवल इस तेजी से जटिल प्रश्न के आसपास की परतों को छीलना शुरू कर दिया है।"

विकी मार्गदर्शन

विशेष रूप से मांगी गई निश्चित समायोजन और सबूत रणनीति विशेष रूप से Q1-Q3 से संबंधित हैं और मोटे तौर पर हार्टमैनिस-प्रकार के अनुमानों को C1-C2 को प्रकाशित करते हैं ।

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि आपका Q3 में क्या मतलब है; ऐसा लगता है कि इनपुट प्रतिनिधित्व भारी रूप से टीएम के कार्य को प्रभावित करेगा।

एक सकारात्मक अर्ध-वास्तविक संख्या क्या है? मैं वास्तविक सममित मैट्रिसेस के लिए "सकारात्मक अर्धविराम" समझता हूं, लेकिन संख्याओं के लिए इसका क्या मतलब है !?

— डेविड मोननियाक्स

इसका अर्थ है शून्य या अधिक (1x1 मैट्रिक्स के रूप में देखी गई संख्या)।

— जॉन सिडल्स

जांच की दिलचस्प पंक्ति। लंबे समय से सोचा है कि ब्लम स्पीडअप थम इस तरह और / या पी =? एनपी जैसे सवालों के लिए कुछ कनेक्शन हो सकता है, लेकिन havent देखा कि कहीं भी नीचे या पता लगाया। विशेष रूप से, हवेंट ने एक बहुत ही सख्त / कठोर प्रमाण देखा कि पी में कोई भाषा नहीं है जो कि ब्लम द्वारा पहचाने जाने वाले वर्ग में भी है जैसे कि कार्यक्रम में "सबसे तेज़ एल्गोरिथ्म नहीं है"

— vzn

@ जॉनसन मुझे नहीं लगता कि पी के भीतर कोई भी ग्नोस्टिक भाषा मौजूद है, भले ही एनपी पी में निहित हो। हम शायद उन्हें अलग कर सकते हैं जैसे कि हम खोज कर हल कर सकते हैं और अन्य एक अलग विधि द्वारा खोज रहे हैं।

— तैफून पे सेप

Answer 1

मुझे लगता है कि आपके द्वारा पूछे जा रहे प्रश्न के साथ एक मूलभूत अंतर्निहित कठिनाई है (और यह कि आपने अपने संबंधित प्रश्नों में अपूर्ण भाषाओं के बारे में पूछा है)।

मोटे तौर पर, ऐसा लगता है कि आप एक भाषा तलाश कर रहे हैं जो$L$

$L\in P$$L\in P$

$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$$\phi(x)$$x\in L$$L$

$L$$P$$P$$L\in P$$L$

$L$$L$$L$

$x$$x$

$P$

$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Comments

टिमोथी, इस उत्तम निबंध के लिए धन्यवाद। क्या मैं सही ढंग से सराहना करता हूं, हालांकि, कि अरोरा और बराक कम्प्यूटेशनल जटिलता के अनुसार पी की मानक परिभाषा : एक आधुनिक दृष्टिकोण और / या हार्टमैनिस व्यवहार्य संगणनाएं और प्रदान करने योग्य जटिलता गुण , या मिलेनियम पुरस्कार कथन। बहुआयामी नहीं है? फिर भी शायद कुछ समस्याएँ अधिक ट्रैफ़िक वाली होंगी यदि पी की परिभाषा में संशोधन किया गया था, इस आधार पर कि (हार्टमैनिस के अनुसार) "हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि एल्गोरिदम की जटिलता के बारे में हमारा 'विश्व दृष्टिकोण' कैसे बदलना है यदि हम केवल विचारशील हैं एल्गोरिदम के गुण। "

— जॉन सिडल्स ने

@JohnSidles की पी की मानक परिभाषा "सभी भाषाओं का सेट है जो कुछ पॉलीटाइम टीएम द्वारा तय की जा सकती है"। किसी भाषा को कैसे परिभाषित किया जाता है (तीव्रता या बाह्य रूप से) चित्र में बिल्कुल भी प्रवेश नहीं होता है: यह केवल चित्र में प्रवेश करता है जब हमें यह साबित करने की आवश्यकता होती है कि कुछ विशेष मशीन कुछ विशेष भाषा को स्वीकार करती है।

— साशो निकोलेव

Sasho, टिमोथी चाउ के जवाब का जोर है (जैसा कि मैंने इसे पढ़ा) "यदि हम परिभाषित है पी extensionally , में तो निर्णय लेने से सदस्यता पी मामूली बात है।" आपकी टिप्पणी का जोर (जैसा कि मैंने पढ़ा है) यह है कि वर्तमान समय के सम्मेलन द्वारा, " पी को तीव्रता से परिभाषित किया गया है ।" इन दोनों टिप्पणियों को मिलाने से हम हार्टमैन की टिप्पणी की सराहना करते हैं: "एल्गोरिदम की जटिलता के बारे में परिणाम काफी मौलिक रूप से बदलते हैं यदि हम केवल गणनाओं के गुणों पर विचार करते हैं जो औपचारिक रूप से साबित हो सकते हैं।" और इसलिए हम स्वाभाविक रूप से आश्चर्य करते हैं कि पी की परिभाषा कैसे भिन्न हो सकती है, इसलिए अधिक आसानी से अच्छे सिद्धांत साबित होते हैं।

— जॉन सिडल्स

$P$$P$

हां, ग्नोस्टिक और ट्रान्सेंडैंटल की परिभाषाओं को निम्नलिखित (जैसे) बयानों की ओर एक दृश्य के साथ प्रस्तुत किया गया है: थ्योरम लेट पी ' और एनपी' पी और एनपी सम्मान के ज्ञानी प्रतिबंध हैं । फिर पी '≠ एनपी' । "ग्नोस्टिक" की उपयुक्त व्यापक रूप से प्राकृतिक परिभाषा के लिए, इस तरह के एक प्रमाण की तुलनात्मक रूप से रोशन हो सकती है, और तुलनीय व्यावहारिक अर्थ है, (संभवतः बहुत कठिन?) सबूत है कि पी । एनपी । AFAICT, ज्यूरिस हार्टमैनिस जांच की इस लाइन को गंभीरता से आगे बढ़ाने के लिए पहले जटिलता सिद्धांतकारों में से थे।

— जॉन सिडल्स

Answer 2

Q1: $\:$कोई
Q2:$\:$ हां, कम से कम दो-दो-एक-बाइनरी में

लेम्मा: $\:$ कम से कम 1 है कि एक कम्प्यूटेशनल रनटाइम घातांक के साथ हर टीएम ट्रान्सेंडैंटल है।

प्रमाण:
A और B को पुनरावर्ती रूप से अविभाज्य सेट होने दें ।$\:$$M_0$$\:$$M_1$$\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ तब D1 का कथन सत्य है] और [यदि $\:m\in B\:$ तब D1 का कथन गलत है]। $\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$इसलिए ट्यूरिंग मशीन ट्रान्सेंडैंटल है।


परिभाषा:
कम से कम दो-1-एस-बाइनरी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का समूह है, जिनके द्विआधारी
प्रतिनिधित्व में कम से कम दो 1 s हैं।$\:$ (शर्त आप कभी नहीं लगा होगा ^ _ ^)

परिभाषा:
एम ट्यूरिंग मशीन है जो
अपने इनपुट के द्विआधारी प्रतिनिधित्व को स्कैन करती है , अगर यह कम से कम दो 1 एस पाता है, और अन्यथा अस्वीकार करता है।

जाहिर है, एम कम से कम दो-1-एस-बाइनरी तय करता है और इसमें रनटाइम एक्सपोनेंट 1 होता है, और कोई भी रनिंग मशीन छोटे रनटाइम एक्सपोनेंट में भी कम से कम-दो-एक-एस-बाइनरी तय करता है।
तुच्छता,$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$लेम्मा द्वारा, एम कुशल और पारलौकिक है।
इनका मतलब है कम से कम दो-दो-एक-बाइनरी भी ट्रान्सेंडैंटल है।

इसलिए टीपीसीसीसी पीए (और जेडएफसी) का एक प्रमेय है, और
कम से कम दो-दो-एक-बाइनरी एक ठोस पारलौकिक भाषा है।

Comments

रिकी, बहुत बहुत धन्यवाद! आपके सरल "कम से कम दो-दो-एक-बाइनरी" (ALT1siB) भाषा और टीएम जो इसे स्वीकार करता है, उस पर विचार करने में कुछ दिन लगेंगे ... स्वाभाविकता के विचार हैं कि D1-5 (उम्मीद है) सुनिश्चित करने के लिए तैयार है, और वह (उम्मीद है) ALT1siB का सम्मान करता है। विशेष रूप से मांगी जाने वाली अंतर्ज्ञान के बारे में "ALT1siB हमें जटिलता के बारे में क्या सिखाता है?" यदि आप इस संबंध में टिप्पणी की पेशकश करना चाहते हैं, तो वे आभारी होंगे।

— जॉन सिडल्स

(आपको उम्मीद है कि यह महसूस होगा, लेकिन) केवल एक चीज जो मैं ALT1siB के बारे में उपयोग कर रहा हूं, वह यह है कि इसमें बिल्कुल रैखिक जटिलता है, इसलिए यह हमें जटिलता के बारे में कुछ भी नहीं सिखाती है। $\:$ लेम्मा हमें जो सिखाती है, वह यह है कि अधिकांश प्राकृतिक ट्यूरिंग मशीनें ट्रान्सेंडैंटल हैं। $\;\;$

$r$

हम्म् ... इसे दूसरे तरीके से कहें, क्योंकि ट्रांसेंडेंटल की हमारी परिभाषा इतनी व्यापक है (प्रति लिम्मा के अनुसार) यहां तक ​​कि टीएम है कि हम (हम समझते हैं) ठीक समझते हैं - अर्थात, टीएम की जिसे हम सूक्ति के रूप में मानते हैं - वास्तव में हैं ट्रान्सेंडैंटल, तो "ट्रान्सेंडैंटल" की परिभाषा (उम्मीद है कि न्यूनतम रूप से) प्रतिबंधित होनी चाहिए। उदाहरण: हम अपने सामान्य ज्ञान के अंतर्ज्ञान का सम्मान करना चाहते हैं जो टीके जो कि एकेएस प्राइमलिटी टेस्ट के माध्यम से प्राणिकता का निर्णय लेते हैं, वे वंशानुगत नहीं हैं। आपके उत्तर से पता चलता है कि (उम्मीद से मामूली) निश्चित ट्यूनिंग की आवश्यकता है ... लेकिन क्या?

— जॉन सिडल्स

रिकी, मुझे आश्चर्य है कि क्या आप मी , एस , और टी के लिए स्पष्ट परिभाषाएं देने के लिए अपने उत्तर का संपादन करना चाहेंगे । जैसा कि यह खड़ा है, इन नंबरों की परिभाषा का अनुमान लगाया जाना है, और मैं किसी भी तरह से आश्वस्त नहीं हूं कि मैंने सही अनुमान लगाया है। विशेष रूप से, क्या मैं सही ढंग से समझता हूं कि डी 1 में "वास्तविक" को "तर्कसंगत" में बदलने से लूपहोल बंद हो जाएगा कि आपकी पोस्ट (एएफएआईसीटी) बताती है, जैसे कि संशोधित डी 1 के तहत कम से कम कुछ टीएम ग्नोस्टिक हैं?

— जॉन सिडल्स

Answer 3

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$

Comments

बेन, इस सावधानीपूर्वक तर्कपूर्ण और सोच-समझकर जवाब देने के लिए धन्यवाद। इसे पचाने में कुछ दिन लगेंगे ... मुझे एक-दो सप्ताह में टिप्पणी करने की उम्मीद है!

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