जैसा कि दूसरों ने बताया है, आपके प्रश्न के विवरण के साथ कुछ तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। उन्हें सीधा करने के लिए, आइए बिना योग्यता के "अप्राप्य" शब्द के उपयोग से बचें और यह स्पष्ट करें कि आपके कथन T के स्वयंसिद्ध समूह से कौन सा सेट अप्रतिष्ठित है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम ऐसे कथन T में रुचि रखते हैं जो PA से अप्राप्य हैं, प्रथम-क्रम Peano अंकगणित के स्वयंसिद्ध हैं।
पहली झुंझलाहट यह है कि टार्स्की की प्रमेय द्वारा "टी ट्रू" अंकगणित की प्रथम क्रम की भाषा में व्यक्त नहीं है। हम इसके चारों ओर एक मेटैथोरी में काम करके प्राप्त कर सकते हैं जो एक अंकगणितीय कथन की सच्चाई को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली है, लेकिन मुझे लगता है कि आपके उद्देश्यों के लिए यह एक अनावश्यक रूप से जटिल मार्ग है। मुझे लगता है कि आप प्रति सेकेण्ड में सत्य नहीं हैं, लेकिन उकसावे में हैं। यह है, मुझे संदेह है कि यदि आप T सच है, लेकिन PA में अप्राप्य है, और T को Godel_1 होने के लिए T को परिभाषित करने पर T को परिभाषित करने से संतुष्ट होंगे, यदि T PA में अप्राप्य है, लेकिन "PA में T अप्राप्य है", PA में अप्राप्य है और T को Godel_2 होने के लिए परिभाषित किया जाए, यदि T PA में अप्राप्य है और PA में "T अप्राप्य है", PA में अप्राप्य है, लेकिन "PA में T अप्राप्य है 'PA में अप्राप्य है" PA में अप्रतिष्ठित है, आदि। इस तरह हम डॉन'।
यह आपके प्रश्न को सटीक बनाने के लिए पर्याप्त है, लेकिन दुर्भाग्य से इसके बजाय एक तुच्छ समाधान है। टी = "पीए सुसंगत है।" तब टी सच है क्योंकि पीए सुसंगत है, और टी गोएडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय द्वारा पीए में अप्राप्य है। इसके अलावा, "पीए में टी अप्राप्य है" भी पीए में कुछ हद तक मूर्खतापूर्ण कारण के लिए अप्राप्य है: पीए में "एक्स एक्स अनप्रोवेबल है" फॉर्म का कोई भी बयान पीए में अप्राप्य है क्योंकि "एक्स पीए में अप्राप्य है" तात्पर्य पीए के अनुरूप है "(चूंकि असंगत सिस्टम सब कुछ साबित करते हैं )। तो टी सभी n के लिए Godel_n है, लेकिन मैं वास्तव में आपके इच्छित प्रश्न पर नहीं जाता।
हम इस तरह की तुच्छताओं से बचने के लिए आपके प्रश्न को "पैच" करने की कोशिश कर सकते हैं, लेकिन इसके बजाय मुझे वह करने की कोशिश करें जो मुझे लगता है कि आपका इच्छित प्रश्न है। स्वाभाविक रूप से, मेरा मानना है कि आप मनोवैज्ञानिक कठिनाई के साथ एक प्रमेय साबित करने के लिए आवश्यक तार्किक शक्ति का सामना कर रहे हैंयह साबित करने के लिए। यही है, आप "एक्स में अप्राप्य है" फॉर्म के परिणाम की व्याख्या करते हुए कहते हैं कि टी किसी भी तरह से हमारी समझने की क्षमता से परे है। वहाँ इन राक्षसी अनुमानों से बाहर हैं, और हम मनुष्यों को पीए-व्हिप या जेडएफसी-व्हिप या उन क्रूर जानवरों पर आपके पास है, उन्हें वश में करने की कोशिश कर रहे हैं। लेकिन मुझे नहीं लगता है कि "टी एक्स में अप्राप्य है" की व्याख्या की जानी चाहिए क्योंकि "टी के बारे में तर्क करना असंभव है।" बल्कि, यह केवल T के बारे में एक विशेष तकनीकी संपत्ति को माप रहा है, अर्थात् इसकी तार्किक शक्ति। इसलिए अगर आप über-मॉन्स्टर के साथ आने की कोशिश कर रहे हैं, तो मुझे नहीं लगता कि ऐसा कुछ खोजना जो न केवल असुरक्षित है, बल्कि जिसकी अप्रतिस्पर्धी भी, आदि नहीं है, जाने के लिए सही दिशा है।
अंत में, इस बारे में आपके प्रश्न के बारे में कि क्या असंगति जटिलता वर्गों की विभाज्यता से जुड़ी हुई है, बाध्यता अंकगणित की कुछ प्रणालियों में कम्प्यूटेशनल इंट्रेक्टिबिलिटी और अप्राप्यता के बीच कुछ संबंध हैं। इसमें से कुछ का उल्लेख पेपर में आरोनसन द्वारा किया गया है जिसे आप उद्धृत करते हैं; कुक और गुयेन की पुस्तक लॉजिकल फाउंडेशंस ऑफ प्रूफ कांप्लेक्सिटी भी देखें ।