किसी फ़ंक्शन के मान बनाम कंप्यूटिंग के लिए परीक्षण की जटिलता

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सामान्य तौर पर हम जानते हैं कि परीक्षण की जटिलता किसी इनपुट पर दिए गए इनपुट पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने की तुलना में किसी विशेष इनपुट पर एक विशेष मूल्य लेती है या नहीं। उदाहरण के लिए:

एक नॉनजेगेटिव पूर्णांक मैट्रिक्स के स्थायी का मूल्यांकन # पी-हार्ड है, फिर भी यह बताना कि क्या ऐसा स्थायी शून्य है या नॉनजरो पी में है (द्विदलीय मिलान)
N वास्तविक संख्या जैसे कि बहुपद में निम्नलिखित गुण हैं (वास्तव में वास्तविक संख्याओं के अधिकांश सेटों में ये गुण होंगे) । दिए गए इनपुट , यह बहुपद शून्य है या नहीं, इसका परीक्षण करना, गुणन और तुलना ( Ben-Or के परिणाम से है , क्योंकि शून्य सेट में घटक हैं), लेकिन उपरोक्त बहुपद का मूल्यांकन करने में कम से कम Paterson-Stockmeyer द्वारा कदम । $a_1,...,a_n$ $\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$ $n$ $x$ $\Theta(\log n)$ $n$ $\Omega(\sqrt{n})$
छंटाई की आवश्यकता है एक तुलना पेड़ पर कदम (भी बेन या के परिणाम से फिर से कोई वास्तविक बीजीय निर्णय वृक्ष पर कदम,), लेकिन अगर एक सूची केवल का उपयोग करता है क्रमबद्ध किया जाता है परीक्षण तुलना। $\Omega(n \log n)$ $\Omega(n \log n)$ $n-1$

क्या एक बहुपद पर सामान्य स्थितियां होती हैं जो यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त हैं कि (बीजगणितीय) परीक्षण की जटिलता बहुपद शून्य है या नहीं यह बहुपद का मूल्यांकन करने की जटिलता के बराबर है?

मैं ऐसी परिस्थितियों की तलाश कर रहा हूं जो पहले से ही समस्याओं की जटिलता को जानने पर निर्भर न हों।

( स्पष्ट 10/27/2010 ) स्पष्ट होने के लिए, बहुपद इनपुट का हिस्सा नहीं है। इसका मतलब यह है कि, कार्यों का एक निश्चित परिवार दिया गया है (प्रत्येक इनपुट आकार (या तो बिटक्लोमीटर या इनपुट की संख्या) के लिए), मैं भाषा / निर्णय समस्या की जटिलता की तुलना करना चाहता हूं का मूल्यांकन करने की जटिलता के साथ काम करता है । $\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

स्पष्टता: मैं बहुपद के परिवारों के मूल्यांकन / परीक्षण की असममित जटिलता के बारे में पूछ रहा हूं । उदाहरण के लिए, एक निश्चित फ़ील्ड (या रिंग, जैसे कि ) पर "स्थायी" एक बहुपद नहीं है, लेकिन एक अनंत परिवार जहाँ उस क्षेत्र (या रिंग) पर मैट्रिक्स का स्थायी है । $\mathbb{Z}$ $\{perm_{n} : n \geq 0 \}$ $perm_{n}$ $n \times n$

cc.complexity-theory reference-request algebraic-complexity

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

क्या आपके सवाल पर गुस्सा न केवल बहुपद पर निर्भर करता है, बल्कि उसके प्रतिनिधित्व पर भी निर्भर करता है?

— इलियाराज

@ अलीराज: निश्चित नहीं कि आपका क्या मतलब है। बहुपद इनपुट का हिस्सा नहीं है।

— अर्नब

यहोशू, क्या आप बेहतर पठनीयता के लिए सवाल 'लेटेक्साइज' कर सकते हैं?

— सुरेश वेंकट

4

मुझे वैलेंट का एक पेपर मिला ( dx.doi.org/10.1016/0020-0190(76)90097-1 ) "जाँच और मूल्यांकन की सापेक्ष जटिलता", जो अनिवार्य रूप से एक ही प्रश्न पर विचार करता है, लेकिन मानक ट्यूरिंग मशीन सेटिंग में, बजाय एक बीजीय सेटिंग। वह मेरे सवाल का जवाब नहीं देता, लेकिन अगर आपको यह सवाल दिलचस्प लगा तो आपको उसका पेपर भी दिलचस्प लग सकता है।

— जोशुआ ग्रूको

1

Makowski के "अल्फ़रमेन-विजर्ड प्रमेय के एल्गोरिथ्म का उपयोग" संभवतः प्रासंगिक है। वह रेखांकन पर एमएसओएल-निश्चित संरचनाओं पर संक्षेप में बहुपद को परिभाषित करता है और दिखाता है कि जब वे पेड़ की चौड़ाई से बंधे होते हैं, तो उनका मूल्यांकन करना आसान होता है

— यारोस्लाव बुलटोव

4

ओवर , शून्य और मूल्यांकन के लिए परीक्षण निम्नलिखित अर्थों में "लगभग" समान है: मान लें कि आपके पास एक निर्णय पेड़ है जो परीक्षण करता है कि क्या कुछ इरेड्यूसबल बहुपद नॉनजेरो है। हम पर काम कर रहे हैं , इसलिए हम केवल समानता के लिए परीक्षण कर सकते हैं लेकिन हमारे पास "<" नहीं है। यह सवाल में दूसरे उदाहरण के लिए महत्वपूर्ण अंतर है! अब ठेठ पथ, यानी, पथ लगभग सभी आदानों द्वारा उठाए गए (हम हमेशा 'का अनुसरण ले "-branch)। इसके अलावा, विविधता में सभी तत्वों का विशिष्ट पथ लें । चलिए वो नोड है जिस पर ये दोनों पथ पहली बार एक अलग शाखा लेते हैं। चलो $\mathbb{C}$ $f$ $\mathbb{C}$ $\not=$ $V(f)$ $v$ बहुआयामी पद है कि दो पथ के आम उपसर्ग के साथ परीक्षण कर रहे हैं हो सकता है। चूंकि बंद है, सभी तत्व जो और तक पहुँचतेहैं, में भी झूठ बोलते हैं। इसलिए, यदि , तो का एक पर गायब हो जाता है। हम करने के लिए हिल्बर्ट के Nullstellensatz लागू और कहा कि प्राप्त $h_1,\dots,h_m$ $V(f)$ $V(f)$ $v$ $V(h_m)$ $f(x) = 0$ $h_i$ $x$ $h_1 \cdots h_m$ कुछ बहुपद के लिए कि के लिए coprime । संक्षेप में, जब हम गणना नहीं कर रहे हैं, तो यह तय करते समय कि क्या , हमेंकुछ grrime लिए गणना करनी होगी। $f g = h_1 \cdots h_m$ $g$ $f$ $f$ $f(x) = 0$ $fg$ $g$

— मार्कस ब्लैसर
स्रोत

तो परीक्षण की जटिलता

अनिवार्य रूप से

का मूल्यांकन करने की जटिलता द्वारा कब्जा कर लिया है । तब से

अलघुकरणीय है, का मूल्यांकन करने की जटिलता

polynomially के मूल्यांकन की जटिलता से घिरा है

, की डिग्री

, और चर की संख्या। इसलिए यदि

में बहुपद डिग्री है और परीक्षण

पर्याप्त रूप से आसान है, तो परीक्षण और मूल्यांकन बराबर हैं। (हालांकि, अगर या तो

f (x) = 0

$f(x)=0$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

f g

$fg$

f g

$fg$

f

$f$

f (x) = 0

$f(x)=0$

d e g f

$deg f$ बड़ी है या यदि परीक्षण कठिन है - कहो कि

की डिग्री बहुत बड़ी है - तो यह बहुत कम कहती है।)

g

$g$

— जोशुआ ग्रूचो

मुझे यह नहीं मिलता है: यदि आप

मूल्यांकन कर सकते हैं , तो आप केवल एक और ऑपरेशन द्वारा शून्य के लिए परीक्षण कर सकते हैं, अर्थात्, अंत में एक समानता परीक्षण। क्या गलत हो सकता है कि किसी कारण के लिए

मूल्यांकन करने की तुलना में

का मूल्यांकन सस्ता है । (नोट:

का मूल्यांकन करने का अर्थ है एक सामान्य बिंदु पर, जो अनिश्चित समय पर मूल्यांकन करता है।)

f

$f$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— मार्कस ब्लैसर

ठीक। मूल्यांकन

के मूल्यांकन की तुलना में आसान हो सकता है

। (मुझे पता है कि

का मूल्यांकन करने का मतलब एक सामान्य बिंदु पर मूल्यांकन करना है; मुझे वास्तव में समझ में नहीं आता है कि आपने क्यों सोचा कि आपकी अंतिम पैतृक टिप्पणी आवश्यक थी, लेकिन यह बिंदु के अलावा हो सकता है।) यह वास्तव में क्या है जो आपको नहीं मिलता है? आपकी पिछली टिप्पणी के आधार पर, हम कहेंगे कि हम दोनों की स्थिति को समझते हैं और एक-दूसरे की समझ से सहमत हैं ... बर्गिसर द्वारा "मल्टीवेरेट पोलिनेम्स के कारकों की जटिलता" भी देखें, जो मेरी पिछली टिप्पणी में कहा गया वही निष्कर्ष देता है।

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— जोशुआ ग्रोचो

इस चर्चा से अतिरिक्त दिलचस्प निष्कर्ष: हालांकि एक nonnegative मैट्रिक्स का स्थायी शून्य है या नहीं, यह परीक्षण करना आसान है, अगर एक मनमाना जटिल मैट्रिक्स का स्थायी शून्य है, तो परीक्षण करना आसान है और यदि केवल स्थायी का मूल्यांकन करना आसान है।

— जोशुआ ग्रोचो

क्षमा करें, मैंने आपकी पहली टिप्पणी को गलत समझा। सब कुछ ठीक है।

— मार्कस ब्लैसर

5

Makowski के "अल्फ़रमेन-विजर्ड प्रमेय के एल्गोरिथ्म का उपयोग" संभवतः प्रासंगिक है। वह रेखांकन पर MSOL- निश्चित संरचनाओं पर संक्षेप में बहुपद को परिभाषित करता है और दिखाता है कि जब ग्राफ ट्री-बाउंड बाउंड होते हैं, तो उनका मूल्यांकन करने के लिए वे ट्रैक्टेबल होते हैं।

यह FPT होने से परे परीक्षण / मूल्यांकन की जटिलता में अंतर के बारे में बहुत कुछ नहीं कहता है। एक मान के लिए परीक्षण का मतलब है कि यह पूछना कि क्या ऐसे चर की मौजूदगी है जो दिए गए ग्राफ पर दिए गए MSO2 फॉर्मूले का सही मूल्यांकन करते हैं, जबकि मूल्यांकन में MSO2 फॉर्मूले के संतोषजनक असाइनमेंट की गणना करना शामिल है। यह इस सवाल से संबंधित प्रतीत होता है कि SAT की गणना की जटिलता SAT की जटिलता से कैसे संबंधित है।

10/29 संपादित करें एक और उपयोगी अवधारणा यूनिफ़ॉर्म डिफिकल्ट पॉइंट प्रॉपर्टी को देखने के लिए हो सकती है। स्पष्ट रूप से इस संपत्ति वाले बहुपद या तो सभी बिंदुओं में मूल्यांकन करना आसान है, या लगभग हर बिंदु पर मूल्यांकन करना कठिन है। Makowski स्लाइड्स पर कुछ संदर्भ देता है 46-52 - http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

— यारोस्लाव बुलटोव
स्रोत

3

मैं इस विचार को उद्यम करने जा रहा हूं कि फिक्स्ड प्राइम (या किसी भी परिमित क्षेत्र विस्तार के लिए में एक बहुपद मूल्यांकन करना , और उसी क्षेत्र तक सीमित गुणांक के साथ) आपकी कसौटी पर खरा उतरेगा। $q(x)$ $\mathbb F_p$ $p$

अधिक संक्षेप में, में एक बहुपद पर विचार करने देता है । हम जानते हैं कि में है , इसलिए यदि हम मानते हैं कि कोई भी बहुपद पहले से ही कम रूप में है जब एक इनपुट के रूप में दिया जाता है, तो हम केवल एक पर विचार करते हुए छोड़ दिए जाते हैं: और तदनुसार मूल्यांकन। इनमें से कोई भी बहुपद या से किसी भी २ अंक पर होता है। $\mathbb F_2[x]$ $x^2=x$ $\mathbb F_2$ $0,1,x,x+1$ $0$ $1$

मेरा मानना है कि एक समान "अंकगणित संचालन की निश्चित संख्या के माध्यम से निरंतर समय" कथन लिए अधिक सामान्यतः लागू होता है जहां जहां अभाज्य है। ध्यान दें कि यदि निश्चित नहीं है, तो यह कथन मान्य नहीं है $\mathbb F_q$ $q=p^n$ $p$ $n$

— कार्टर ताज़ियो शोनवल्ड
स्रोत

1

कार्टर: आपके तर्क से, जो तकनीकी रूप से सही है, वही बहुपद के किसी भी परिमित सेट के लिए सही है । हालांकि, किसी भी सार्थक फैशन में विषमतापूर्ण जटिलता पर विचार करने के लिए, हमें बहुपत्नी के अनंत परिवारों पर विचार करना चाहिए। तात्पर्य यह है कि परिमित क्षेत्रों पर काम करना लेकिन क्षेत्र (आकार) को अलग-अलग करने या अनंत क्षेत्रों पर काम करने की अनुमति देना। उदाहरण के लिए, जब हम कहते हैं कि "स्थायी" वास्तव में हम अनंत परिवार के बारे में बात कर रहे हैं

, जहां

एक की स्थायी है

मैट्रिक्स।

{p e r m_{n} : n \geq 0}

$\{perm_{n} : n \geq 0\}$

p e r m_{n}

$perm_{n}$

n \times n

$n \times n$

— जोशुआ ग्रूको

1

पर्याप्त रूप से, "अनन्त क्षेत्र में बहुपद" के साथ प्रश्न कथन को स्पष्ट करने देता है, बल्कि एक उत्तर के प्रयास को नकारता है जो एक आवश्यक स्पष्टीकरण को इंगित करता है :) स्थायी के साथ आपका उदाहरण यह स्पष्ट नहीं करता है, क्योंकि मैट्रिसेस अभी भी कुछ तय से अधिक हैं वलय या मैदान। इसके अलावा,

के मामले में , मैं वास्तव में केवल उन 4 बहुपदों पर विचार करने के लिए खुद को प्रतिबंधित नहीं कर रहा हूं, बल्कि बहुपद के समय रैखिक में उन चार में से किसी एक को उच्च डिग्री बहुपद को कम करने के लिए

के समतुल्य संबंध का उपयोग कर रहा हूं। डिग्री।

F_{2}

$\mathbb F_2$

x^{2} = x

$x^2=x$

— कार्टर ताज़ियो शोनवल्ड

1

कार्टर: मुझे लगा कि यह स्पष्ट है कि मैं एसिम्पोटिक्स के बारे में पूछ रहा था, लेकिन मैंने अब स्पष्ट कर दिया है। आप मल्टीवर पोल का उपयोग भी कर सकते हैं जहाँ vars की संख्या निश्चित नहीं है। डाउनवोट के लिए क्षमा करें, लेकिन मुझे नहीं लगता कि आप इस बात की ओर इशारा करते हैं कि 1-var पोलिस के परिमित सेटों का मूल्यांकन O (1) ऑप्स के साथ किया जा सकता है। मुझे पता है कि आप वास्तव में कुछ कम स्पष्ट इंगित कर रहे थे, लेकिन यह सवाल के लिए प्रासंगिक नहीं था: जैसा कि पहले से ही क्यू पर टिप्पणियों में बताया गया है , पाली इनपुट का हिस्सा नहीं है। इसलिए F_2 पर विचार करने के लिए वास्तव में केवल 4 1-var पोल हैं (x ^ 2 = x का उपयोग करना अनावश्यक है)।

— जोशुआ ग्रूको

उम्म, अपने स्पष्टीकरण अभी भी टूटी हुई है, आप के लिए एक निश्चित अंगूठी या क्षेत्र की आवश्यकता

सामान या उसके बकवास।

p e r m_{n}

$perm_n$

— कार्टर ताज़ियो शोनवल्ड

1

मैं आपसे सामान्य रूप से सहमत हूं, इसलिए मैंने स्पष्टीकरण तय किया। दिलचस्प है, 0,1, -1 कोएफ़्स (जैसे कि परमिट और हिरासत) के साथ बहुपद के मामले में, क्षेत्र को अलग करने की अनुमति देना कुल बकवास नहीं है। एक तरह के रूप में एक परिणाम कल्पना कर सकता: "चाहे परीक्षण

0 के मूल्यांकन के रूप में के रूप में मुश्किल है

से अधिक की

(कुछ निर्दिष्ट अनुक्रम के लिए"

, प्रधानमंत्री शक्तियों के सभी जरूरी नहीं कि एक ही विशेषता के )। हालांकि, यह एक निश्चित क्षेत्र के रूप में स्वाभाविक रूप से परिणाम नहीं होगा।

d e t_{n}

$det_{n}$

d e t_{n}

$det_{n}$

F_{p_{n}}

$\mathbb{F}_{p_{n}}$

p_{n}

$p_{n}$

— जोशुआ ग्रोको

3

मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैं प्रश्न को सही ढंग से समझता हूं लेकिन मुझे कुछ प्रकाश डालने का प्रयास करना चाहिए।

आमतौर पर, कुछ मूल्यों पर एक बहुपद का मूल्यांकन पहचान परीक्षण की तुलना में आसान होता है, खासकर जब बहुपद का प्रतिनिधित्व एक सर्किट (कुछ रसीला प्रतिनिधित्व) के माध्यम से होता है। हालांकि, बहुत सारे यादृच्छिक पहचान परीक्षण एल्गोरिदम ( श्वार्ज-ज़िपेल सबसे सीधे-आगे होने वाले) हैं जो मूल्यांकन पर काम करते हैं।

कुछ विशेष मामलों में, हमारे पास पहचान परीक्षण के लिए 'ब्लैक-बॉक्स' परीक्षण होते हैं, जहां आप परीक्षण कर सकते हैं कि क्या एक बहुपद शून्य है या नहीं, केवल अंकों के पूर्वनिर्धारित सेट पर इसका मूल्यांकन करके। इसका एक सरल उदाहरण यह है कि यदि बहुपद 'विरल' है (बस मोनोमियल है)। एक्सपोज़र को सरल बनाने के लिए, मान लें कि बहुपद बहुवचन है (प्रत्येक मोनोमियल विभिन्न चर का एक उत्पाद है)। $n^{O(1)}$

एक बहुभिन्नरूपी बहुपद को एक भेजने का एक प्राकृतिक तरीका प्रतिस्थापन । जिसके परिणामस्वरूप बहुपद है कहना । यह निश्चित रूप से एक घातीय डिग्री बहुपद हो सकता है लेकिन हमें / s की एक छोटी श्रृंखला के लिए modulo जाना चाहिए । अब एक एक मोनोमेयल्स की जोड़ी के लिए "खराब" होगा यदि और एक ही मोनोमियल modulo मैप किए जाएं $x_i \mapsto y^{2^i}$ $\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$ $y^r - 1$ $r$ $r$ $y^a$ $y^b$ $y^r - 1$ । या दूसरे शब्दों में, विभाजित करता । इस प्रकार जब तक विभाजित नहीं होता , ऐसा नहीं होगा। इसलिए यह की एक बहुपद श्रेणी पर चलने के लिए पर्याप्त है । इस प्रकार, यह एकता की कुछ जड़ों पर बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त है और हम बहुपद का पता लगा सकते हैं कि शून्य है या नहीं। $r$ $a - b$ $r$ $\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$ $r$

ब्लैक-बॉक्स पहचान परीक्षण एल्गोरिदम में अधिक प्रगति हुई है। अभी, तब अधिकांश प्रतिबंधित गहराई 3 सर्किट (चर के योग के उत्पादों की राशि) पर खड़े हैं। (एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू) इसमें से कुछ का उल्लेख मेरे एम.एससी थीसिस के अध्याय 3 और 4 में अधिक विवरण में किया गया है । और सक्सेना और शेषाद्री द्वारा हाल ही में और भी सुधार किए गए हैं ।

— रामप्रसाद
स्रोत

जब तक मैं पहचान परीक्षण के साथ कुछ संबंध याद नहीं कर रहा हूं, मुझे लगता है कि आपको गलत समझा जा सकता है। इस तथ्य के अलावा कि बहुपद मेरे प्रश्न के लिए इनपुट का हिस्सा नहीं हैं --- मैं निर्णय समस्या में बहुत दिलचस्प हूं और बहुपद के परिवार द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन समस्या --- मैं पहचान परीक्षण के बारे में नहीं पूछ रहा हूं, लेकिन परीक्षण, दिए गए इनपुट

, क्या

। यह सामान्य समस्या से आसान प्राथमिकता है: इनपुट

, मूल्यांकन

। उम्मीद है कि मैंने अभी जो स्पष्टीकरण दिया है वह इस सवाल को और स्पष्ट करता है।

x

$x$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x

$x$

f (x)

$f(x)$

— जोशुआ ग्रोको

आह! मैं देख रहा हूँ ... स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद; मेरा जवाब उस मामले में बहुत प्रासंगिक नहीं है।

— रामप्रसाद

1

किसी भी # समस्या, या यहां तक कि # पी / पाली, एक बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है: नंद द्वार से बाहर एक सर्किट बनाएं, इन्हें रूप में लिखें जहां और 0-1 मूल्यवान पूर्णांक हैं, और सभी इनपुटों पर योग करते हैं । यह में एक बहुपद देता है आकार इनपुट के लिए । निर्णय समस्या परीक्षण कर रही है कि क्या यह 0 है। $1-xy$ $x$ $y$ $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ $n$

— कॉलिन मैकक्लिअन
स्रोत

हाँ। यह स्थायी के उदाहरण का थोड़ा और सामान्य संस्करण है। ऐसी निर्णय समस्या

(या

) में है। यह माना जाता है कि

तुलना में

काफी कठिन है (क्योंकि यह पूरी बहुपद पदानुक्रम की तरह कठिन है)। क्या आप

समस्याओं पर एक सामान्य स्थिति के बारे में जानते हैं , यदि

फ़ंक्शन

संतुष्ट होने का तात्पर्य है कि

अपने निर्णय संस्करण से अधिक कठिन नहीं है?

N P

$NP$

N P / p o l y

$NP/poly$

# P

$\# P$

N P

$NP$

# P

$\# P$

# P

$\# P$

f

$f$

f

$f$

— जोशुआ ग्रोको

There's a conjecture that the natural counting versions of NP-complete problems are always #P-complete, but I don't know any other relationship. A sort of trivial condition would be that the problem is self-reducible and f is bounded by a polynomial.

— Colin McQuillan