रिवर्सेबल रैंडम वॉक के लिए कवर टाइम और स्पेक्ट्रल गैप

Question

मैं एक प्रमेय की तलाश कर रहा हूं जो कुछ इस तरह से कहता है: यदि प्रतिवर्ती मार्कोव श्रृंखला का कवर समय छोटा है, तो वर्णक्रमीय अंतर बड़ा है। यहाँ स्पेक्ट्रल गैप का मतलब है$1-|\lambda_2|$, अर्थात्, हम श्रृंखला के सबसे छोटे प्रतिजन को अनदेखा करते हैं।

इस दिशा में जो एकमात्र परिणाम मुझे मिला वह कवर टाइम , ब्रोडर और कार्लिन, एफओसीएस 88 पर सीमा से है । यह माना जाता है कि श्रृंखला का संक्रमण मैट्रिक्स दोगुना स्टोचैस्टिक है (लेकिन जरूरी नहीं कि यह पुनरुत्थान योग्य हो) और एपेरियोडिक; मोटे तौर पर, कागज से पता चलता है कि इन मान्यताओं के तहत यदि कवर का समय , तो कम से कम n ^ {- 1} है ।$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

सहज रूप से, यह बहुत प्रशंसनीय लगता है कि यदि आप एक ग्राफ के सभी कोने को जल्दी से कवर कर सकते हैं, तो मिश्रण समय छोटा होना चाहिए। विशेष रूप से, यदि आप $n^2$ समय में किसी ग्राफ़ के सभी कोने को कवर कर सकते हैं, तो निश्चित रूप से, आपको, n ^ {- 1000} के वर्णक्रमीय अंतराल को नियंत्रित करने में सक्षम होना चाहिए $n^{-1000}$?

एक संभावित बाधा जो छोटे आवरण समय और बड़े वर्णक्रमीय अंतराल के बीच निहितार्थ को तोड़ देती है, द्विदलीयता है: द्विदलीय ग्राफ पर, आपके पास -1 के आइगेनवैल्यू के साथ एक छोटा आवरण समय हो सकता है $-1$। अपने प्रश्न के द्वारा, मैं इस मुद्दे को सबसे छोटे स्वदेशी की अनदेखी करके दरकिनार कर रहा हूं।

Answer 1

मोटे तौर पर, मिश्रण का समय आधा चक्करों का सबसे खराब समय है। कवर टाइम एक ऐसा स्टॉपिंग टाइम है जब सभी सबटाइटल हिट होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह हमेशा मिश्रण समय से बड़ा होता है। इस प्रकार आपका उदाहरण है कि मिश्रण समय और कवर समय । $n^{1000}$$n^2$

इस अंतर्ज्ञान को सटीक बनाने के लिए थोड़ी सी देखभाल की आवश्यकता होती है क्योंकि हमें कई बार मिश्रण को आइगेनवेल्यू गैप से संबंधित करने की आवश्यकता होती है, आधा चक्कर नहीं बल्कि आधा स्थिर वितरण , आदि। इसमें से कोई भी मुश्किल नहीं है। लोवाज़ और विंकलर द्वारा इस पत्र के साथ शुरू करें , जो मिश्रण समय के उपरोक्त संस्करण को देता है और इसे कुल भिन्नता में अधिक मानक मिश्रण समय से संबंधित करता है। $\pi$