एकात्मक समूह पर अनुकूलन की जटिलता

Question

एकात्मक समूह पर विभिन्न कार्यों के अनुकूलन की कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या है ?$\mathcal{U}(n)$

एक ठेठ कार्य, क्वांटम सूचना सिद्धांत में अक्सर उत्पन्न होने वाले, के प्रकार के एक मात्रा को अधिकतम होगा (या में उच्च आदेश बहुआयामी पद यू ) में सभी एकात्मक मैट्रिक्स यू । क्या इस प्रकार का अनुकूलन कुशलतापूर्वक (शायद लगभग) कम्प्यूटेबल है, या क्या यह एनपी-हार्ड है? (शायद यह अच्छी तरह से जाना जाता है, लेकिन मैं किसी भी सामान्य संदर्भ को खोजने में असमर्थ रहा हूं)$\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$$U$$U$

Comments

क्या आप "विभिन्न कार्यों" को "बहुपत्नी इकाईयों पर" सीमित करने के लिए ठीक हैं?

— Artem Kaznatcheev

मुझे इस बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है कि ये समस्याएँ कैसे उत्पन्न होती हैं, लेकिन इस समस्या का प्राकृतिक शास्त्रीय एनालॉग क्या होगा? क्या आप उस समस्या की जटिलता जानते हैं?

— रॉबिन कोठारी

1991 से रोजर ब्रोकेट द्वारा एक बहुत अच्छा पेपर है, जो दिखाता है कि आप जिस रूप में वर्णन करते हैं, उस रूप में क्रमबद्ध और रैखिक प्रोग्रामिंग को कैसे व्यक्त करते हैं, लेकिन ऑर्थोगोनल मैट्रिस पर। हालांकि जटिलता का कोई उल्लेख नहीं है, लेकिन इस तथ्य को दो अलग-अलग समस्याओं को एक ही तरह से व्यक्त किया जा सकता है, इसका मतलब है कि आपको जटिलता निर्धारण करने के लिए समस्या संरचना के बारे में कुछ जानना होगा: eecs.berkeley.edu/~sburden/research जोनाथन / ब्रोकेट 1991.pdf

— सुरेश वेंकट

@ आर्ट: हाँ, व्यवहार में कम डिग्री के बहुपद सबसे अधिक प्रासंगिक हैं, मुझे लगता है।

— मार्सिन कोटोवस्की

$A$$B$$A$$B$$U$$U B U^\dagger$$A$$A$$B$

— निएल डी ब्यूड्रैप

Answer 1

माफ करना, मुझे आने में देरी हुई! क्वांटम कंप्यूटिंग सिद्धांत में, एकात्मक समूह पर अनुकूलन समस्याओं के बहुत सारे उदाहरण हैं, जो आश्चर्यजनक रूप से (कम से कम मेरे लिए), अर्धचालकीय प्रोग्रामिंग में कमी करके (शास्त्रीय) बहुपद समय में हल करने योग्य हैं।

यहाँ एक प्रारंभिक उदाहरण था: २००० से मेरी एक समस्या को हल करना , २००३ में बरनम, सक्स, और सेजेडी ने दिखाया कि क्यू (एफ), एक बूलियन फ़ंक्शन की क्वांटम क्वेरी जटिलता f: {०,१}} ⁿ → / ०,१ }, 2 ^एन में समय बहुपद में गणना की जा सकती है (यानी, एफ की सत्य तालिका का आकार)। मैं इस बारे में सोचा था, लेकिन नहीं यह कैसे करना है (संभवतः 2 के अपने स्वयं के सेट के साथ, हर एक को देख सकता था, के बाद से एक की जरूरत है सभी संभव क्वांटम क्वेरी एल्गोरिदम से अधिक सफलता संभावना अनुकूलन करने के लिए ⁿ आकार के) एकात्मक मैट्रिक्स। बरनम एट अल। एकतरफा मैट्रिसेस और पॉजिटिव सेमीफाइनल मैट्रिसेस के बीच एक "द्वंद्व" का फायदा उठाकर एसडीपी के लिए कम, तथाकथित चोई- जमायलोव्स्की इस्मोर्फिज्म। एक और हालिया और सरल एसडीपी क्यू (एफ) के लिए, रीचर्ड के 2010 के पेपर को दिखाते हुए देखें कि नकारात्मक-वजन प्रतिकूल विधि इष्टतम है।

एक और महत्वपूर्ण मामला जहां इस चाल का शोषण किया गया है वह क्वांटम इंटरेक्टिव प्रूफ सिस्टम में है। जबकि यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट नहीं है, 2000 में किताएव और वात्रस ने साबित किया कि क्यूआईपी obvious EXP। 3-राउंड क्वांटम इंटरएक्टिव प्रूफ सिस्टम में उत्पन्न होने वाले घातीय-आकार के एकात्मक मेट्रिक्स पर अनुकूलन की समस्या को कम करके, एक एकल-घातीय-आकार के एसडीपी को हल करने के लिए (फिर से, मुझे लगता है कि मिश्रित राज्यों और राज्यों के बीच चोई-जमीकोलोस्की इस्मोर्फिज़्म का उपयोग करके। एकात्मक मातृ)। हाल ही में QIP = PSPACE की सफलता यह दर्शाती है कि उस विशेष SDP को लगभग बेहतर तरीके से NC (यानी, लॉग-डेप सर्किट द्वारा) हल किया जा सकता है।

इसलिए, एकात्मक समूह को शामिल करने वाली आपकी विशिष्ट अनुकूलन समस्या, मेरा अनुमान है कि यह आपके विचार से अधिक तेजी से हल किया जा सकता है - यदि कुछ भी सरल तरीके से नहीं, तो एसडीपी में कमी करके!

Comments

प्रिय स्कॉट! बरनम, सैक्स और स्वेग्डी ने स्पष्ट रूप से चोई-जमोलिकोव्स्की आइसोमॉर्फिज़्म का उल्लेख नहीं किया है, और मुझे समझ नहीं आता कि यह उनके निर्माण से कैसे संबंधित है। क्या आप इस बारे में विस्तार से बता सकते हैं? मैं पूछ रहा हूं क्योंकि मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या दोषपूर्ण oracles के मामले के लिए एक समान परिणाम संभव है।

— जोरिस

Answer 2

यह निर्धारित करना कि दो हैडमार्ड मैट्रिसेस समतुल्य हैं, एक ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म (जीआई) पूर्ण समस्या है। ब्रेंडन मैके ने इस विषय पर एक पेपर दिया है। बीडी मैकके, हेडमर्ड तुल्यता को ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के माध्यम से देखें, असतत गणित, 27 (1979) 213-216।

Comments

$\pm 1$