जवाब जटिल है, दो कारणों से।
कंप्यूटर साइंस के विभिन्न लोग "ऑब्जेक्ट" शब्द की अलग-अलग व्याख्या करते हैं। एक यह है कि एक वस्तु में कुछ डेटा और संचालन एक साथ पैक किए जाते हैं। दूसरा यह है कि एक वस्तु वह सब है, लेकिन उसकी "स्थिति" भी है, अर्थात यह परिवर्तनशील इकाई का कुछ रूप है ।
"परिवर्तन" (और क्या "इकाई" का अर्थ है, जैसा कि यह लगातार बदल रहा है) के साथ क्या करने के लिए गहरे दार्शनिक मुद्दे हैं, और क्या गणितीय विवरण वास्तव में परिवर्तनकारी संस्थाओं को पकड़ते हैं।
डेटा + संचालन के अर्थ में वस्तु : यह गणित में बहुत मानक है। किसी भी समूह सिद्धांत पाठ्य पुस्तक को लें। इसकी कहीं न कहीं एक परिभाषा होगी जैसेजजी( x ) = जीएक्सजी- 1। (यह एक संयुग्मन ऑपरेटर है।) दजजीइस शब्दावली में एक "वस्तु" है। इसका कुछ डेटा है (जी) और एक ऑपरेशन x ↦ जीएक्सजी- 1। या आप जोड़ी बनाकर इसे और अधिक ऑब्जेक्ट-वाई बना सकते हैं⟨ जी, x ↦ जीएक्सजी- 1⟩ या तिगुना ⟨ जी, x ↦ जीएक्सजी- 1, एक्स ↦जी-1एक्स जी⟩। आप किसी भी कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषा में इस तरह के "ऑब्जेक्ट्स" का निर्माण कर सकते हैं जिसमें लैम्ब्डा एब्सट्रैक्शन और ट्यूपल्स बनाने का कोई तरीका है। आबदी और कार्डेली की "वस्तुओं का सिद्धांत" इस तरह की वस्तुओं के साथ बड़े पैमाने पर व्यवहार करता है।
राज्य के साथ ऑब्जेक्ट (या ऑब्जेक्ट जो बदलते हैं ): क्या गणित में ऐसी चीजें हैं? मुझे ऐसा नहीं लगता। मैंने एक गणितज्ञ को ऐसी किसी भी चीज़ के बारे में बात करते नहीं देखा है जो उसके व्यावसायिक जीवन में नहीं, बल्कि उसके बदलाव के बारे में बात करती हो। न्यूटन लिखते थेएक्स एक कण की स्थिति के लिए, जो माना जाता है कि बदल रहा है, और एक्स˙परिवर्तन की अपनी दर के लिए। गणितज्ञों को अंततः पता चला कि न्यूटन किस बारे में बात कर रहा थाx ( t ) सदिश स्थान में वास्तविक संख्याओं से, और एक्स˙ एक और ऐसा समारोह था जो पहले व्युत्पन्न था x ( t ) इसके संबंध में टी। इससे, कई गहरी सोच वाले गणितज्ञों ने निष्कर्ष निकाला है कि परिवर्तन वास्तव में मौजूद नहीं है और आपके पास समय के सभी कार्य हैं। लेकिन न्यूटनियन यांत्रिकी में जो बदल रहा था वह स्थिति नहीं थी, बल्कि कण था । स्थिति इसकी तात्कालिक स्थिति है। कोई भी गणितज्ञ या भौतिकशास्त्री यह ढोंग नहीं करेगा कि एक कण एक गणितीय विचार है। यह एक भौतिक चीज है।
तो यह वस्तुओं के साथ है। वे "भौतिक" चीजें हैं, और राज्य उनके गणितीय गुण हैं। इस पहलू की अच्छी चर्चा के लिए, एबेल्सन और सुस्मैन की संरचना और कंप्यूटर प्रोग्राम की व्याख्या के अध्याय 3 देखें । यह एमआईटी में एक पाठ्य-पुस्तक है और वे इसे सभी वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को सिखाते हैं, जो मुझे लगता है कि "भौतिक" चीजों को पूरी तरह से ठीक समझते हैं।
यह तथ्य कि कण गणितीय नहीं हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि हम उनसे गणितीय तरीके से नहीं निपट सकते। यदि आप एक गणितज्ञ से दो-कण प्रणाली को मॉडल करने के लिए कहते हैं, तो वह तुरंत दो कार्य करेगा और उन्हें कॉल करेगाएक्स1( टी ) तथा एक्स2( टी )। तो, दो कण दो अर्थहीन सूचकांकों (1 और 2) को कम कर देते हैं। यह गणितज्ञ का यह कहने का तरीका है कि हम नहीं जानते कि वे कण क्या हैं और हमें परवाह नहीं है। हम सभी को यह जानना चाहिए कि उनकी स्थिति स्वतंत्र रूप से (या अलग से) विकसित होती है। इसलिए, हम उन्हें दो अलग-अलग कार्यों से जोड़ेंगे।
इसी तरह ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्राम को मॉडल करने का मानक गणितीय तरीका है कि प्रत्येक ऑब्जेक्ट को इंडेक्स में एक इंडेक्स के रूप में माना जाए। अंतर केवल इतना है कि चूंकि ऑब्जेक्ट आते हैं और जाते हैं, और सिस्टम की संरचना गतिशील है, हमें इसे "संभव दुनिया" मॉडल में विस्तारित करने की आवश्यकता है जहां प्रत्येक दुनिया मूल रूप से सूचकांकों का संग्रह है। वस्तुओं का आवंटन और निपटान में एक दुनिया से दूसरी दुनिया में जाना शामिल होगा।
हालांकि एक समस्या है। यांत्रिकी के विपरीत, हम चाहते हैं कि हमारी वस्तुओं की स्थिति संकुचित हो । लेकिन वस्तुओं के गणितीय विवरण पूरी तरह से इनकैप्सुलेशन को नष्ट करते हुए सभी स्थानों पर डालते हैं। एक गणितीय चाल है जिसे "संबंधपरक समरूपता" कहा जाता है जिसका उपयोग चीजों को आकार में वापस करने के लिए किया जा सकता है। मैं अब इसमें नहीं जाऊंगा, केवल इस बात पर जोर देने के अलावा कि यह एक गणितीय चाल है, जो एनकैप्सुलेशन की बहुत ही वैचारिक व्याख्या नहीं है। मॉडलिंग की वस्तुओं का एक दूसरा तरीका, गणितीय रूप से, इनकैप्सुलेशन के साथ , राज्यों को चालाकी से देखने और देखने योग्य घटनाओं के संदर्भ में वस्तु व्यवहार का वर्णन करने के लिए है। इन दोनों मॉडलों की एक अच्छी चर्चा के लिए, मैं आपको अल्गोल जैसी भाषाओं में वस्तुओं और कक्षाओं के अपने पेपर का उल्लेख कर सकता हूं ।
[नोट जोड़ा गया:]
विलियम कुक के लेख " ऑन अंडरस्टैंडिंग डेटा एब्सट्रैक्शन, रिविजिंस " में वस्तुओं के गणितीय घटाव का एक अच्छा विश्लेषण पाया जा सकता है ।