एक सामान्य एलपी सॉल्वर का उपयोग किए बिना 1 के बराबर सभी गुणांक वाले सख्त रैखिक असमानताओं की प्रणाली को कुशलतापूर्वक हल करें?

शीर्षक के अनुसार, एक सामान्य उद्देश्य एलपी सॉल्वर का उपयोग करने के अलावा, क्या चर से अधिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के लिए एक दृष्टिकोण है जहां असमानताओं में फॉर्म है। ? असमानताओं के विशेष मामले के बारे में क्या है, जो कि के पावर सेट के सदस्यों के कुल आदेश पर ? $x_i, \ldots, x_k$ $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ $\{x_i, \ldots, x_k\}$

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— jonderry
स्रोत

@ लखनऊ: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह पूर्णांक है या वास्तविक। यदि ये सख्त असमानताएं हैं, तो आप उन्हें तर्कसंगत रूप से बंद कर सकते हैं, और फिर पूर्णांक समाधान प्राप्त करने के लिए उन्हें कम से कम सामान्य भाजक से गुणा कर सकते हैं।

— पीटर शोर

मुझे नहीं पता कि आप 30 मिनट (किस भाषा में?) में कोड कर सकते हैं। अगर यह "सरल" की कसौटी है, तो क्या यह वास्तव में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक सवाल है?

— त्सुयोशी इतो

अच्छी बात पीटर शोर। jonderry, मैं अपना बयान वापस लेता हूं। मैं सोच रहा था कि इन सख्त असमानताओं को संतुष्ट करने की कॉम्बीनेटरियल समस्या और शंकु के आंतरिक बिंदु को खोजने की उत्तल विश्लेषणात्मक समस्या गुणात्मक रूप से अलग है। मैं गलत था।

— अंकुर

@ त्सुयोशी: यह तुच्छ होने की जरूरत नहीं है, लेकिन मुझे यह जानने की उत्सुकता है कि क्या यह पूर्ण एलपी सॉल्वर की अतिरिक्त शक्ति का उपयोग किए बिना पहले सिद्धांतों से किया जा सकता है, विशेष रूप से उस विशेष मामले के लिए जिसमें हमें ऑर्डर करना है सबसैट-सम्स (इस मामले में ध्यान दें कि बहुपद समय चर की संख्या में घातीय है)।

— शाम

तब मुझे लगता है कि "क्या यह समस्या रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए सामान्य एल्गोरिदम का उपयोग किए बिना कुशलता से हल हो सकती है?" अपने प्रश्न को बेहतर ढंग से तैयार करने का एक अच्छा तरीका है।

— त्सुयोशी इतो

आपके पहले प्रश्न के लिए, कुल आदेश के बिना, आपके प्रश्न का उत्तर यह है कि यह अनिवार्य रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग के समान कठिन है। यहाँ एक सबूत की रूपरेखा है।

सबसे पहले, एक चर स्थापित करें, जिसे हम कहते हैं । अब, एक और चर , जिसे हम कहेंगे । हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि ऐसा करने के लिए, असमानताओं पर विचार करें और इसी तरह। एक लंबी पर्याप्त श्रृंखला के साथ, यह हमें बताएगा कि , या , कुछ बहुत बड़े ( एक फाइबोनैचि संख्या है, और इसलिए में तेजी से बढ़ता है )। $x_1>0$ $\epsilon$ $x_i$ $1$

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$

N

$N$

N

$N$

i

$i$

अब हम पूर्णांक गुणांक के साथ एक रैखिक कार्यक्रम का निर्माण कर सकते हैं। यदि हम पर 3 का गुणांक चाहते हैं , तो हम असमानताएँ और खड़े करते हैं। 3 के लिए में । यदि आप बड़े गुणांक चाहते हैं, तो आप उन्हें द्विआधारी संकेतन में गुणांक व्यक्त करके और , , और इसी तरह की गारंटी देने वाली असमानताएं प्राप्त कर सकते हैं । दाईं ओर प्राप्त करने के लिए, हम चर साथ ऐसा ही करते हैं $x_t$

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$ । यह तकनीक हमें पूर्णांक गुणांक के साथ मनमाने ढंग से रैखिक कार्यक्रमों के लिए ओपी के फार्म के रैखिक कार्यक्रमों का उपयोग करने की अनुमति देगी, एक कार्य जो रैखिक प्रोग्रामिंग के रूप में आवश्यक रूप से कठिन है।

मुझे नहीं पता कि दूसरे प्रश्न का विश्लेषण कैसे किया जाए, इस मामले के बारे में पूछते हुए कि सभी उपसमुच्चय पर कुल आदेश है।

— पीटर शोर
स्रोत