अस्थायी रूप से फ्लैट वन-वे क्वांटम कम्प्यूटिंग

Question

मैं दिल से एक भौतिक विज्ञानी हूं, और इसलिए मुझे लगता है कि वन-वे क्वांटम कम्प्यूटिंग शानदार है। विशेष रूप से, ग्राफ राज्य मापन-आधारित क्वांटम कम्प्यूटिंग (MBQC) क्वांटम कम्प्यूटिंग अनुसंधान में वास्तव में एक अच्छा विकास रहा है, जैसा कि Raussendorf & Briegel द्वारा उत्पन्न किया गया था । बस एक ग्राफ द्वारा वर्णित बहु-पक्षीय उलझी हुई स्थिति को तैयार करने की आवश्यकता है, और फिर प्रत्येक नोड या क्वैबिट पर अनुक्रमिक माप करें (निर्धारक गणनाओं के लिए अनुकूली माप)।

इस दृष्टिकोण का एक और उत्कृष्ट पहलू यह है कि क्लिफोर्ड सर्किट को माप के एकल-दौर में लागू किया जा सकता है जैसा कि राउस्डोर्फेन, ब्राउन और ब्रीगल द्वारा दिखाया गया है । इन सर्किटों को शास्त्रीय रूप से अनुकरण (कुशलतापूर्वक) किया जा सकता है जैसा कि गोट्समैन और निल द्वारा दिखाया गया है, इसलिए यह शास्त्रीय सिमुलेशन और लौकिक संसाधनों के बीच एक दिलचस्प संबंध है।

हालांकि, सभी अस्थायी रूप से फ्लैट ग्राफ स्टेट एमबीक्यूसी सर्किट (माप के एक दौर से मिलकर) को शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम सर्किट मॉडल में सर्किटों के परिवार, जिनमें आईक्यूपी सर्किट नाम के गेटिंग शामिल हैं, जिन्हें शेफर्ड और ब्रेमर द्वारा पेश किया गया है, एमबीक्यूसी में एकल-चरण में लागू किया जा सकता है। माना जाता है कि ये IQP सर्किट शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय नहीं हैं (कम्प्यूटेशनल जटिलता शब्दों में, यह बहुपद पदानुक्रम के पतन का कारण होगा) ।

यहां एक समय-चरण में कार्यान्वित सर्किट के एक वर्ग का एक अच्छा विवरण भी देखें । यह देखते हुए कि आवागमन / विकर्ण इकाइयों में कुछ दिलचस्प व्यवहार हो सकता है, लेकिन गैर-कम्यूटिंग सर्किट शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय हो सकते हैं। यह दिलचस्प होगा यदि गैर-कम्यूटिंग सर्किट थे जिन्हें लागू किया जा सकता है लेकिन अभी तक शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय नहीं दिखाया गया है।

वैसे भी, मेरा सवाल है:

क्या अन्य दिलचस्प सर्किट हैं जिन्हें एमबीक्यूसी में एकल-चरण में लागू किया जा सकता है?

यद्यपि मैं कम्प्यूटेशनल जटिलता या शास्त्रीय अनुकरण के संबंध पसंद करूंगा, मुझे कुछ भी दिलचस्प लगेगा।

संपादित करें: नीचे दिए गए जो के शानदार जवाब के बाद, मुझे कुछ चीजों को स्पष्ट करना चाहिए। जैसा कि जो ने कहा (और कुछ हद तक मैंने अपने स्वयं के कागजात में कहा है), एकल माप-गोल MBQC सर्किट IQP में हैं। अधिक सटीक होने के लिए, मैं IQP में समस्याओं में दिलचस्प सर्किटों में रुचि रखता हूं जिन्हें एमबीक्यूसी में माप के एक दौर में लागू किया जा सकता है। क्लिफोर्ड सर्किट एक दिलचस्प उदाहरण है। अगर कोई अन्य उदाहरण है जो शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय हैं जो बेहद दिलचस्प होगा। चूंकि IQP सर्किट का अनुकरण करना शास्त्रीय रूप से असंभव नहीं माना जाता है, इसलिए सर्किट के उदाहरणों को खोजना दिलचस्प होगा।

Answer 1

प्रश्न पर अपडेट को देखते हुए, मैंने इसे एक नए उत्तर के रूप में पोस्ट करना सबसे अच्छा समझा, क्योंकि यह मेरे पिछले उत्तर से बिल्कुल अलग है, और उम्मीद है कि यह दिलचस्प है।

इस सवाल के नए वाक्यांशों से ऐसा लगता है कि एक छिपी हुई धारणा है कि एमबीक्यूसी संसाधन राज्य में तार्किक qubits की संख्या में बहुपद बहुपद है। यह जरूरी नहीं कि मामला हो, जो एक संभावित दिलचस्प स्थिति की ओर जाता है। एकल परत माप आधारित संगणनाओं का निर्माण करना संभव है, जिसके लिए संसाधन राज्य आवश्यक रूप से तार्किक qubits की संख्या में घातीय है, ।$n$

इस के लिए, बस नोट देखने के लिए कि किसी भी qubit एक ग्राफ राज्य में जो में मापा जाता है एक्स - जेड विमान ऑपरेटर लागू करने जैसा ही होता है exp ( मैं θ Π मैं जेड मैं ) जहां मैं सब कुछ खत्म हो के पड़ोसी qubits पर्वतमाला j । इस, ध्यान दें कि उलझाव ऑपरेटर लागू किया देखने के लिए करने के लिए j है | 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ मैं + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ Π मैं जेड $j$$X$$Z$$\exp{\big(i \theta \prod_i Z_i \big)}$$i$$j$$j$$|0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes \prod_i Z_i$। जैसा कि राज्य में प्रारंभिक रूप से qubit तैयार है शुद्ध परिणाम यह है कि निम्नलिखित ऑपरेटर को पड़ोसी की मुद्राओं पर लागू किया जाता है: $|+\rangle$। Qubit तब तक घुमाया जाता है, तोexp(मैंθएक्स)परिणाम है$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle \otimes I + |1\rangle\otimes \prod_i Z_i\right)$$\exp(i\theta X)$इस प्रकार की एक पाउली सुधार करने के लिए।Πमैंजेडमैंहम निर्धारणात्मक लागू ऑपरेटरक्योंकिθमैं+मैंपापΠ$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle \otimes (\cos \theta I + i \sin \prod_i Z_i) + |1\rangle\otimes (\prod_i Z_i\right)(\cos \theta I + i \sin \prod_i Z_i)$$\prod_i Z_i$ जो सिर्फ का एक वैकल्पिक रूप है exp ( मैं θ Π मैं जेड मैं ) ।$\cos \theta I + i \sin \prod_i Z_i$$\exp{\big(i \theta \prod_i Z_i \big)}$

ध्यान दें कि ऐसे ऑपरेटर एक्स-प्रोग्राम्स के बुनियादी बिल्डिंग ब्लॉकों का हैडमार्ड ट्रांसफॉर्म हैं, और यह कि ऐसे सभी ऑपरेटर स्वतंत्र रूप से कमिट करते हैं, जिन पर वे काम करते हैं। IQP को एक्स-प्रोग्राम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जो कि बहुपद में बहुपद में कई पदों पर सीमित हैं। हालांकि, ऐसे स्वतंत्र शब्दों की एक घातीय संख्या है, और इसलिए अस्थायी रूप से सपाट संगणना निर्दिष्ट करना संभव है, जिनके घातीय आकार के एक्स-प्रोग्राम हैं। दरअसल -Input चरण Toffoli गेट (यानी सी । । । । सी $n$$C....CZ$गेट) इस तरह के ऑपरेशन का एक उदाहरण है, जिसमें आने वाले फाटकों की एक घातांक संख्या की आवश्यकता होती है, हालांकि इसे गैर-कम्यूटिंग फाटकों की एक रैखिक संख्या के साथ प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार एकल परत माप आधारित संगणनाओं का निर्माण संभव है जो एक्स-प्रोग्रामों को कार्यान्वित करते हैं जो तार्किक qubits की संख्या में घातीय होते हैं, और इसलिए तार्किक qubits के लिए IQP के बाहर (हालांकि भौतिक qubits के लिए IQP के अंदर)।

संभावित रूप से यहाँ एक समस्या है, इसमें उन्हें एक्स-प्रोग्राम में सभी जोड़े को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए मापदंडों की एक घातांक संख्या की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के कोणों को एल्गोरिदमिक रूप से उत्पन्न करने पर विचार करते हैं (प्रतिबंध के साथ कहें कि प्रत्येक कोण को बहुपद समय में गणना की जा सकती है) तो यह भी स्पष्ट नहीं है कि BQP में इस तरह की गणना का अनुकरण किया जा सकता है या नहीं।

Answer 2

यह मुझे समझ में नहीं आता है कि नॉन-कम्यूटिंग ऑपरेटरों के बारे में एक ही बार में कदम उठाया जा रहा है (हालांकि निरंतर गहराई निश्चित रूप से समझ में आती है)। हालाँकि, आप MBQC के तार्किक उप-भाग पर गैर-कम्यूटिंग गेट को लागू कर सकते हैं, जो संसाधन राज्य पर कम्यूटिंग माप का उपयोग करके कार्यान्वित किए जाते हैं, हालांकि कार्यान्वित गेट्स नियतात्मक नहीं हैं।

वास्तव में, मेरा मानना ​​है कि आप IQP को अधिक संकीर्ण रूप से देख रहे हैं, जो शायद आपको चाहिए। आपके प्रश्न का उत्तर यह है कि कोई भी MBQC जिसे MBQC में एकल माप परत में लागू किया जा सकता है, IQP में निहित है। यह केवल इसलिए है क्योंकि परिणाम को तार्किक हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में व्यक्त करने के बजाय, आप इसे भौतिक qubits पर आने वाले संचालन की एक श्रृंखला के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। शेफर्ड और ब्रेमर वास्तव में अपने पेपर में इससे निपटते हैं (खंड 5.2 में जहां इस तरह के संचालन को ग्राफ-प्रोग्राम कहा जाता है)।

Comments

धन्यवाद, जो। मैं IQP के बारे में बात करते समय इन ग्राफ़-प्रोग्रामों के बारे में सोच रहा था और जहाँ उन्होंने दिखाया कि हर एक्स-प्रोग्राम को ग्राफ़-प्रोग्राम द्वारा लागू किया जा सकता है। हालांकि, कोई एक एक्स-प्रोग्राम करने के लिए एक प्रिस्क्रिप्टिव तरीके से ग्राफ-प्रोग्राम का निर्माण करता है। शायद सवाल में मेरा शब्दांकन थोड़ा खारिज करने वाला है। मुझे लगता है कि गैर-कम्यूटिंग फाटकों के साथ मेरा मुद्दा एक उदाहरण के लिए देखना है जैसे कि क्लिफोर्ड सर्किट जो एक समय-चरण में लागू किया जा सकता है।

— मैटी होबन

@ मैटी: मेरा कहना है कि क्लिफोर्ड ग्रुप गेट्स भौतिक प्रणाली पर गेट्स की शुरुआत कर रहे हैं, न कि तार्किक हाइजेनबर्ग चित्र में जो हम सामान्य रूप से एमबीक्यूसी में गणना को देखने के लिए उपयोग करते हैं। क्योंकि वे भौतिक प्रणाली में आ रहे हैं, वे IQP में आते हैं। यह बस तार्किक qubits व्याख्या है कि इसके ऊपर डाल दिया जाता है जो चीजों को बदलता है। मौलिक रूप से, किसी भी एकल परत MBQC की गणना इस कारण से IQP में है।

— जो फिट्जिमंस

आह, बिल्कुल। मुझे वही मिलता है जो अब आपका मतलब है। थोड़ा धीमा होने के लिए क्षमा करें। बेशक, IQP में ऐसे सर्किट भी होते हैं जिन्हें MBQC में एक समय-चरण में लागू नहीं किया जा सकता है। इस बिंदु के लिए धन्यवाद, जो। मेरी प्रारंभिक प्रेरणा मूल रूप से IQP में सर्किट के उदाहरणों को खोजने के लिए थी जो ब्याज की हो सकती हैं - मूल रूप से मेरी थीसिस में पैराग्राफ के एक जोड़े के लिए।

— मैट्टी होबन

मैंने प्रश्न को थोड़ा कम अस्पष्ट होने के लिए संपादित किया है। यद्यपि आपके उत्तर के लिए फिर से धन्यवाद। वैसे, मैं TP.SE से प्यार करता हूं, इसलिए उसके लिए भी धन्यवाद :)।

— मैट्टी होबन