SU (3) के लिए गेट्स के यूनिवर्सल सेट?

Question

क्वांटम कंप्यूटिंग में हम अक्सर ऐसे मामलों में रुचि रखते हैं जहां कुछ विशेष आयामी ऑपरेटरों के समूह, जी के लिए, कुछ डी-आयामी प्रणाली या तो पूरे समूह एसयू (डी) को ठीक से या यहां तक ​​कि एसयू (डी) के घने आवरण द्वारा प्रदान की गई एक सन्निकटन भी प्रदान करती है।

परिमित क्रम का एक समूह, जैसे कि डी-डायमेंशनल सिस्टम C (d) के लिए क्लिफोर्ड समूह, एक घना आवरण नहीं देगा। यदि समूह एबेलियन है, तो अनंत आदेश का एक समूह घना आवरण नहीं देगा। हालांकि, मेरा मोटा अंतर्ज्ञान यह है कि क्लिफर्ड समूह के एक अनंत संख्या में द्वार और आधार बदलते संचालन को एक घना आवरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए।

औपचारिक रूप से, मेरा सवाल यह है:

मेरे पास एक समूह G है जो SU (d) का उपसमूह है। G का अनंत क्रम है और C (d) G का उपसमूह है। ऐसे सभी G, SU (d) का घना आवरण प्रदान करते हैं।

ध्यान दें कि मैं इस मामले में विशेष रूप से दिलचस्पी रखता हूं जब d> 2।

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मैं यहां परिभाषित किए जाने वाले क्लिफोर्ड समूह को लेता हूं: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Comments

क्या आप क्लिफोर्ड समूह की गणितीय परिभाषा तैयार कर सकते हैं? मुझे विस्तार से पढ़े बिना पेपर से निकालना मुश्किल लगा

— वैनेसा

$N\geqslant 2$$G \subseteq \mathbf U(N)$$X$$\mathbb C^N$$Z = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{N-1})$$\omega = \exp(2\pi i/N)$$Y = \mathrm e^{\pi i (N-1)(N+1)/N} ZX$$Y$$N > 2$$N = 2$$X,Y,Z$$\mathbf U(N)$जो संयुग्मन के तहत को संरक्षित करता है । $G$

— निएल डी ब्यूड्राप

Answer 1

यह एक पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन शायद यह प्रश्न का उत्तर देने की दिशा में कुछ रास्ता तय करता है।

चूँकि में अनंत क्रम है, लेकिन नहीं है, तो में एक गैर-क्लिफोर्ड समूह गेट शामिल है। हालाँकि में उपसमूह के रूप में है। लेकिन लिए क्लिफोर्ड समूह प्लस क्लिफोर्ड समूह में कोई अन्य गेट लगभग सार्वभौमिक नहीं है (उदाहरण के लिए प्रमेय यहां देखें )। इसलिए ऐसे सभी पर घना आवरण प्रदान करते हैं ।$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

ऐसे मामले के लिए जहां ऐसा लगता है कि यह साबित करना संभव हो सकता है कि आपको अभी भी निम्नलिखित पंक्तियों के साथ घने आवरण मिलते हैं (प्रश्न में जुड़े कागज के अंकन का उपयोग करके):$d>2$

1. जैसा कि सभी द्वार एकात्मक हैं, उनके सभी एकता की जड़ें हैं, जो कि सादगी के लिए मैं वास्तविक कोणों ।$G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. के रूप में अनंत आदेश है, या तो जो कम से कम एक मूल्य के लिए द्वार होता है का एक तर्कहीन कई है या के ऐसे एक तर्कहीन कई के लिए एक मनमाने ढंग से अच्छा सन्निकटन शामिल । आइए हम एक ऐसे गेट नामित करते हैं ।$G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. फिर एक मौजूद है कि मनमाने ढंग से करीब है, लेकिन पहचान के बराबर नहीं है।$n$$g^n$
4. चूंकि एकात्मक है इसलिए इसे लिखा जा सकता है ।$g^n$$\exp(-iH)$
5. चूंकि पाउली समूह को मात्रा-ph / 9802007 में परिभाषित किया गया है , इसलिए मैट्रिसेस के लिए एक आधार बनता है , आप , जहाँ और किसी भी ([3]) के लिए, कम से कम एक ऐसे शून्य के बराबर नहीं।$d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. हम तो चुन सकते हैं क्लिफर्ड समूह है जो नक्शे से एक तत्व को विकार के तहत। इस प्रकार , जहां सिर्फ और क्रमचय है ।$C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$$\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. ध्यान दें कि , । हमें ।$Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. द्वारा बेकर-Cambel-हॉसडॉर्फ़ प्रमेय, के बाद से सभी Have मनमाने ढंग से पहचान के करीब किया गया है, हम में से उत्पाद मूल्यांकन कर सकते हैं के रूप में पहले के आदेश को । एकता के सभी मार्गों पर लिए, पैदावार । यह मूल रूप से एक डिकम्पलिंग अनुक्रम है। जो गैर-विकर्ण तत्वों का क्षय करता है।$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. जैसा कि केवल विकर्ण मैट्रिक्स घातीय में रहते हैं, विकर्ण होना चाहिए। इसके अलावा पर प्रतिबंध के कारण इसमें आवश्यक रूप से आइजनवेल्यूज़ हैं जो गैर-शून्य लेकिन आनुपातिक हैं ।$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. अलग-अलग और उपरोक्त प्रक्रिया को दोहराते हुए रैखिक रूप से स्वतंत्र द्वार उत्पन्न करना संभव होना चाहिए : , जैसे कि उनके उत्पाद का परिणाम एक विकर्ण द्वार में होता है जिसमें अपरिमेय और इनकमेनसुरल चरण होते हैं या एक मनमाना निकट सन्निकटन होता है ... एक को।$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. मार्क हॉवर्ड के जवाब में दिए गए संदर्भ द्वारा , क्लिफोर्ड समूह के साथ मिलकर, लगभग सार्वभौमिकता के लिए पर्याप्त होना चाहिए।

Comments

यह पूरा क्यों नहीं है? यदि आप अपने अस्पष्ट चरणों (विशेष रूप से चरण 10) में विवरण को बाहर निकालते हैं, तो ऐसा लगता है कि यह काम कर सकता है।

— पीटर शोर

@PeterShor: बिल्कुल उसी कारण से: मैंने सभी चरणों को पूरा नहीं किया है। मुझे लगता है कि यह काम करना चाहिए, लेकिन मैं मानता हूं कि यह कठोर नहीं है। मैं देखूंगा कि क्या मैं १० को मांस खा सकता हूं

— जो

अच्छा लगा। यह एक अच्छे दृष्टिकोण की तरह लगता है।

मैं इस जवाब का इनाम दे रहा हूं क्योंकि मुझे लगता है कि संभावना है कि इन पंक्तियों के साथ एक सबूत सवाल का जवाब देगा। अन्य उत्तर भी बहुत उपयोगी हैं।

— पीटर शोर

@PeterShor: धन्यवाद! मैं थोड़ा दोषी महसूस कर रहा था कि मेरा पहला जवाब गलत था।

— जो फिट्जसिमों

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि मूल प्रश्न का उत्तर शायद हाँ है, लेकिन दुर्भाग्य से, मैं यह निश्चित रूप से नहीं कह सकता। मैं हालांकि पीटर के विस्तारित प्रश्न का उत्तर देने में मदद कर सकता हूं।

गणित में / 0001038, नेबे, रेन्स और स्लोएन द्वारा, वे बताते हैं कि क्लिफोर्ड समूह U (2 ^ n) का एक अधिकतम परिमित उपसमूह है। सोलोवे ने इसे अप्रकाशित कार्यों में भी दिखाया है कि "अनिवार्य रूप से परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है।" द नेबे एट अल। कागज से यह भी पता चलता है कि क्विड क्लिफर्ड समूह प्राइम पी के लिए एक अधिकतम परिमित उपसमूह है, जो परिमित समूहों के वर्गीकरण का उपयोग भी करता है। इसका मतलब यह है कि क्लिफोर्ड समूह प्लस किसी भी गेट एक अनंत समूह है, जो मूल प्रश्न की मान्यताओं में से एक बनाता है।

अब, रेन्स और सोलोवे दोनों ने मुझे बताया कि अगला चरण, दिखा रहा है कि क्लिफर्ड समूह वाला एक अनंत समूह सार्वभौमिक है, अपेक्षाकृत सीधा है। हालाँकि, मुझे नहीं पता कि यह कदम वास्तव में कैसे काम करता है। और मूल प्रश्न के लिए और अधिक महत्वपूर्ण बात, मुझे नहीं पता कि क्या वे केवल क्वेट केस या क्विड केस पर विचार कर रहे थे।

वास्तव में, मैं यह जोड़ सकता हूं कि मैं नेबे, रेन्स और स्लोअन प्रूफ को नहीं समझता, लेकिन चाहूंगा।

Answer 3

यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि आप एसयू (3) या एसयू (3 ) के बारे में पूछ रहे हैं, जो क्वैडिट के एक टेंसर उत्पाद पर काम कर रहे हैं। मैं मान लूंगा कि आप SU (3) के बारे में पूछ रहे हैं। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है (मैंने अपने उत्तर के पिछले संस्करण में जो भी कहा है) एसयू (3) के लिए कथन का अर्थ एसयू (3 ) के लिए कथन है ।$^{n}$$^n$

जब तक फाटकों का सेट एसयू (3) के उपसमूह में नहीं होता है, तब तक यह एसयू (3) का घना आवरण उत्पन्न करेगा। तो आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या एसयू (3) के किसी भी अनंत उपसमूह में क्लिफोर्ड समूह शामिल है। मुझे पूरा यकीन है कि वे नहीं हैं, लेकिन मैं निश्चित रूप से नहीं कह सकता। यहाँ एक गणित अतिप्रवाह प्रश्न है जो SU (3) के सभी उप उपसमूहों को दे रहा है।

Comments

मैंने प्रश्न के तीसरे अंतिम वाक्य को यह कहते हुए पढ़ा कि क्लिफर्ड समूह विशेष समूह का उपसमूह था जिसे अर्ल विचार कर रहा है। इसलिए मेरा जवाब नीचे है, लेकिन शायद मुझे कुछ गलत समझा या गलत समझा है। $G$

— जो फिट्जसिमों

आपके उत्तर के साथ कठिनाई यह है कि यह आपका संदर्भ केवल एसयू (2) के बारे में बात करने के लिए लगता है, जबकि ओपी एसयू (3) और एसएफ (3) में क्लिफोर्ड समूह के अनुरूप समूह के बारे में पूछ रहा है (और आयाम भी बताता है) )। आपका संदर्भ के लिए उनके प्रश्न का उत्तर देता है । हमें क्या चाहिए कि आपके संदर्भ से प्रमेय भी एसयू (3) में हो; अर्थात्, SU (3) क्लिफोर्ड समूह वाले उपसमूह नहीं हैं। $d > 3$$d=2$

— पीटर शोर

ओह समझा। मैं अपना उत्तर हटा दूंगा। नोटों के संदर्भ से मैं इससे जुड़ा था जैसे कि मनमाने आयामों में लागू प्रमेय की तरह लग रहा था, न कि केवल मामले में जहां । हालांकि, स्रोत को खोदने पर ऐसा नहीं होता है। त्रुटि को इंगित करने के लिए धन्यवाद। $d=2$

— फरवरी को जो फिट्जिमोंस

अंततः, मुझे में दिलचस्पी होगी । हालाँकि, क्योंकि यह + क्लिफोर्ड समूह में सार्वभौमिकता द्वारा उलझा हुआ है , यह है कि मैंने इसे सरल रखने के लिए प्रश्न को कैसे बनाया। मैं जो भी प्रदान संदर्भ पर एक त्वरित नज़र था और केवल लिए परिणाम देख सकता था । $SU(3^{n})$$SU(3)$$d=2$

इसके अलावा, मैं पीटर्स सुझाव का पालन करूंगा और गणित के अतिप्रवाह संदर्भ पर लेट उपसमूहों की जांच करूंगा, हालांकि मुझे इस सब के माध्यम से प्राप्त करने में थोड़ा समय लग सकता है!

Answer 4

मुझे लगा कि साइट पर हमेशा के लिए जमे होने से पहले मुझे इस धागे को अपडेट करना चाहिए।

डैनियल का जवाब सही लाइनों पर है। इस "अगले चरण" में उनका उल्लेख है कि वह नेबे, रेन्स और स्लोअन की बाद की पुस्तक, " सेल्फ-डुअल कोड्स और इनवेरियंट थ्योरी " में दिखाई देता है।

इस प्रश्न का उत्तर इसलिए "हाँ" है - और यह सीधे नेबेल, रेन्स और स्लोअन की पुस्तक में 6.8.2 से आता है।

मैं वडियम कलियुचिकोव का आभारी हूं जिन्होंने वाटरलू का दौरा करते समय मुझे यह बताया।

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मुझे स्पष्ट करना चाहिए कि "हां" अर्ल के ऊपर दिए गए औपचारिक प्रश्न का सीधा जवाब है और यह पुस्तक में कोरोलरी 6.8.2 द्वारा दिखाया गया है।

— डैन ब्राउन

Answer 5

मुझे लगता है कि निम्नलिखित पेपर में qudit सार्वभौमिकता साबित करने के लिए प्रासंगिक निर्माण शामिल हो सकते हैं

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

विशेष रूप से, अनुभाग के अंत में टिप्पणी कहती है कि नियंत्रित-चरण , फूरियर ट्रांसफॉर्म , और एक विकर्ण गेट जिसमें अपरिमेय और इनकमेनसुरेट चरणों के साथ अनुमानित सार्वभौमिकता देता है। (यह पर पर्याप्त स्थिति है लेकिन मुझे पूरा यकीन है कि यह एक आवश्यक शर्त नहीं है।)$4$$CZ$$F$$D$$D$

यदि आपका सही रूप का है (और विकर्ण द्वार एक प्राकृतिक विकल्प होगा) तो परिणाम लागू होता है$G$

एक वैकल्पिक तरीका यह होगा कि क्विड टोफोली के कार्यान्वयन के लिए आवश्यक ancilla राज्यों को बनाया जाए, या सीधे Toffoli को लागू करने के लिए Cliffords के साथ का उपयोग किया जाए। यह कहना मुश्किल है कि क्या बारे में अधिक जानकारी के बिना यह संभव है ।$G$$G$

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साइट पर आपका स्वागत है, निशान!

— जो फिट्जसिमों

हाय मार्क। आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। हालांकि मुझे सबसे सामान्य मामले में दिलचस्पी है, मैं विशेष रूप से ऐसे मामले में दिलचस्पी रखता हूं, जहां मुझे पता है कि मेरे पास अनंत संख्या में द्वार हैं क्योंकि यह एक गेट द्वारा चरणों के साथ उत्पन्न होता है जो कि अपरिमेय गुणक हैं । हालांकि, "तर्कहीन" गेट कम्प्यूटेशनल आधार में विकर्ण नहीं है, और इसलिए मैं आपके द्वारा उद्धृत परिणामों को लागू नहीं कर सकता। $\pi$