ज़ोन प्रमेय का अधिक सहज प्रमाण?

Question

ज़ोन प्रमेय का कहना है कि अगर हम एक और रेखा के साथ n रेखाओं की व्यवस्था को रोकते हैं, तो इसके क्षेत्र की कुल जटिलता , सभी 0-, 1- का सेट, और इससे सटे 2-चेहरे, O (n) है। वास्तविक स्थिरांक 6n की तरह कुछ है जो विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में कम से कम कहा जाता है, और प्रमाण एक उचित रूप से सावधान चार्ज तर्क के साथ प्रेरण द्वारा है।

मुझे कक्षा में यह सवाल पूछा गया था, और इसका जवाब नहीं है:

क्या ज़ोन प्रमेय का एक वैकल्पिक, अधिक सहज प्रमाण है?

अब मुझे एहसास हुआ कि बहुत से लोग प्रेरण को काफी सहज पाते हैं और मेरे निहितार्थ से नाराज होंगे, और उनके लिए केवल "वैकल्पिक" के लिए उपरोक्त संशोधन करने को तैयार हैं। लेकिन क्या ऐसा कोई प्रमाण है? या किताब से एक प्रमाण भी ?

Answer 1

यह क्लीनर नहीं है, लेकिन यह अधिक उन्नत सामान के लिए एक अच्छी तैयारी है, और यह अमूर्तता का एक अच्छा उदाहरण है ...

डेवनपोर्ट-सिनचेज़ल सीक्वेंस तर्क का उपयोग कर सकते हैं। अपनी ज़ोन लाइन के ऊपर के क्षेत्र पर विचार करें। प्रत्येक रेखा एक किरण बन जाती है, और वास्तव में दो किरणें, जैसा कि हम बाईं ओर और दाईं ओर को अलग-अलग मानते हैं। इस क्षेत्र की सीमा को बाएं से दाएं तक स्कैन करें, यह लिखते हुए कि आपके सामने कौन सी किरणें हैं। यह 2n प्रतीकों पर परिभाषित अनुक्रम है, और पैटर्न एब गैरकानूनी है। जैसे, अनुक्रम की लंबाई अधिकतम 2 (2n) -1 = 4n-1 है। लाइन के नीचे के क्षेत्र में इसे लागू करने से 8n फॉर्म का एक बाउंड निकलता है।

अब, यह साबित करना कि बिना प्रतीकों के एक अनुक्रम ... a..b..a..b ... n प्रतीकों के बाद की लंबाई 2n-1 की लंबाई आसान है। वास्तव में, एक ही चरित्र के दो लगातार दिखावे पर विचार करें जो इस क्रम में एक दूसरे के सबसे करीब हैं। स्पष्ट रूप से, इन दो पात्रों के बीच, प्रकट होने वाला प्रत्येक वर्ण अद्वितीय होना चाहिए। इस तरह के एक चरित्र पर विचार करें, और निरीक्षण करें कि यदि यह स्ट्रिंग में कहीं और दिखाई देता है, तो हमें निषिद्ध बाद मिलेगा। इस प्रकार, यह वर्ण स्ट्रिंग में एक बार दिखाई देता है। इसे हटा दें, और यदि आप लगातार दो समान अक्षर बनाए तो एक अतिरिक्त चरित्र को हटा दें। अर्थात्, स्ट्रिंग से एक वर्ण को हटाकर इसे 2 से छोटा करें, जैसे, स्ट्रिंग की अधिकतम लंबाई 2n-1 है।

Answer 2

मुझे प्रेरण काफी सहज लगता है और मैं आपके निहितार्थ से आहत हूं। लेकिन क्या चार्जिंग तर्क?

मान लें कि रेखा परिभाषित करने वाला क्षेत्र क्षैतिज है (और घुमाएं) और यह कि लाइनें सामान्य स्थिति में हैं (या गड़बड़ी और क्षेत्र को अधिक जटिल बनाते हैं)। अन्य n लाइनों में से एक निकालें। परिणामी क्षेत्र के किनारों को बाएं या दाएं सीमाओं के रूप में वर्गीकृत करें, यह निर्भर करता है कि क्षेत्र क्रमशः उनके दाएं या बाएं है। (कुछ किनारे बाएँ और दाएँ दोनों सीमाएँ हैं, लेकिन वे दो बार जटिलता की सीमा में गिने जाते हैं।) आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, अधिकांश 3n-3 बाईं सीमाओं पर होते हैं। (बेस केस n = 0 तुच्छ है।) हटाई गई रेखा को फिर से जोड़ना 3 बायीं सीमाओं में जोड़ता है (एक ही रेखा पर, और दो बायीं बायीं सीमाओं को विभाजित करने से)। इस प्रकार, बाईं सीमाओं की कुल संख्या अधिकतम 3n है। सममित रूप से, सही सीमाओं की संख्या अधिकतम 3n पर है, इसलिए क्षेत्र की कुल जटिलता अधिकतम 6n पर है।

Comments

शायद यह देखने वाले की आंखों में बस गया हो। लेकिन यह मुझे लगता है कि ज़ोन प्रमेय को एक 'पुस्तक' प्रमाण की आवश्यकता है।

— सुरेश वेंकट

Answer 3

चार्जिंग तर्क द्वारा एक प्रमाण डेविड माउंट के कम्प्यूटेशनल ज्यामिति वर्ग हैंडआउट्स के पृष्ठ 13 पर एक अभ्यास (कदम दर कदम संकेत के साथ) के रूप में प्रस्तुत किया गया है: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc4/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf