क्वांटम गेट सेट की सार्वभौमिकता की जाँच के लिए निर्णय / एल्गोरिथ्म

क्वांटम गेट्स एक सीमित सेट को देखते हुए , क्या यह निर्णायक है (गणना सिद्धांत रूप में) एक सार्वभौमिक गेट सेट है? एक तरफ, "लगभग सभी" गेट सेट सार्वभौमिक हैं, दूसरे पर, गैर-सार्वभौमिक गेट सेट अभी भी अच्छी तरह से समझ में नहीं आते हैं (विशेष रूप से, निश्चित रूप से, यह ज्ञात नहीं है कि क्या प्रत्येक गैर-सार्वभौमिक गेट सेट शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय है) इसलिए मुझे लगता है कि सार्वभौमिकता की जाँच के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म देने का मतलब यह हो सकता है। $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— मरसिन कोटोवस्की
स्रोत

क्या आप प्रश्न को स्पष्ट कर सकते हैं? जो का उत्तर मान लेता है कि आपके पास निश्चित संख्या में क्वाइट्स हैं और सभी गेट्स उन पर कार्य करते हैं, लेकिन सार्वभौमिकता के लिए, हम अक्सर यह मानते हैं कि गेट्स किसी भी सबसेट के सबसेट पर कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, CNOT + सभी एक-क्वैबिट गेट्स सार्वभौमिक नहीं हैं, यदि वन-क्वैबिट गेट्स केवल पहली क्वेट पर कार्य कर सकते हैं, और CNOT केवल qubit 1 से qubit 2 तक है। बाद वाले मामले में, हम कई क्विट्स में एक्सट्रपलेशन करना चाहते हैं। सार्वभौमिकता पाने के लिए। उस स्थिति में, मुझे लगता है कि एईआर अज्ञात हो सकता है।

@ डैनियलगॉट्समैन: मैं अपने उत्तर की सीमाओं के बारे में सहमत हूं। वास्तव में, मेरा मानना है कि यह बाद के मामले में इस प्रकार अपरिहार्य है: एक सेलुलर ऑटोमेटा को क्वैबिट्स के अनंत जाली पर लें और इसे हॉल्टिंग समस्या को एनकोड करने के लिए उपयोग करें (इस अपडेट को एकात्मक

कहें )। फिर एक सार्वभौमिक QCA (अद्यतन एकात्मक

) के साथ दूसरा जाली लें । हम एक नए एकात्मक परिभाषित कर सकते हैं

, जहां सबस्क्रिप्ट

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$ एक सेट को दर्शाता है जो

पहला सेलुलर ऑटोमेटा हाल्ट है।

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— जो फिट्जसिमों

इस प्रकार गेट

सार्वभौमिक है अगर और केवल अगर पहली ट्यूरिंग मशीन रुक जाती है, और इसलिए यह अनिर्वचनीय है।

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— जो फिट्जसिमों

हेमिल्टन के मामलों के लिए, फाटकों के बजाय उत्तर तुच्छ रूप से हां है: आप बस बीजगणित के स्वतंत्र तत्वों की गणना करते हैं। चूंकि लेय बीजगणित एक वेक्टर स्थान है, जिसमें लेट ब्रैकेट ऑपरेटर शामिल है। चूंकि अंतरिक्ष परिमित है, इसका एक परिमित आधार है, और जिसे आसानी से जांचा जा सकता है कि यह लेट ब्रैकेट ऑपरेशन के तहत बंद है या खुला है। बस ऑर्थोगोनल ऑपरेटरों के सभी जोड़े के लेट ब्रैकेट की जाँच अंतरिक्ष की आयामीता में बहुपद में की जा सकती है, और ग्राम-श्मिट विधि द्वारा उपयुक्त ऑपरेटर आधार पाया जा सकता है।

फाटकों के लिए, आपके पास वास्तव में एक ही विकल्प नहीं है कि आप सीधे infinitesimals का सहारा लें, और तर्कहीन eigenvalues के साथ फाटकों का निर्माण करने की आवश्यकता है ताकि आप आवश्यक infinitesimal जनरेटर को मनमाने ढंग से अनुमानित कर सकें। मुझे लगता है कि ऐसा करने का अपेक्षाकृत सरल तरीका है, लेकिन यह मेरे लिए तुरंत स्पष्ट नहीं है।

किसी भी मामले में, गेटों का लॉग लेना, ऑपरेटरों का एक सेट प्राप्त करने के लिए है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं और जांचते हैं कि क्या ये पूर्ण लेट बीजगणित उत्पन्न करते हैं जो सार्वभौमिकता के लिए एक सरल आवश्यक लेकिन पर्याप्त मानदंड नहीं प्रदान करेगा।

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

हमें केवल जोड़ों की जांच क्यों करनी चाहिए?

— एलेक्स ने 'क्वांट' '

@ एलेक्स: क्योंकि लाई ब्रैकेट 2 इनपुट पर काम करता है। हर बार जब आप एक नए रैखिक स्वतंत्र ऑपरेटर का उत्पादन करते हैं तो आप एक ऑर्थोगोनल एक का उत्पादन करते हैं और बंद होने तक दोहराते हैं।

— जो फिट्जसिमों

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

@AlexV: आपको इसकी आवश्यकता नहीं है। यह एक सदिश स्थान है, इसलिए एक सदिश किसी दिए गए उप-स्थान पर ऑर्थोगोनल है और केवल अगर यह उस उप-स्थान के लिए किसी भी आधार पर ऑर्थोगोनल है।

— जो फिट्जसिमों

संभवतः हम विभिन्न चीजों के बारे में बात कर रहे हैं - आप किस वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं? आप अपने गेट्स द्वारा उत्पन्न सबलेब्रा को बहुत पहले से नहीं जानते हैं - आपको यह जांचने की जरूरत है कि दिए गए हैमिल्टनियन से यह जांचने के लिए कि क्या यह पूरे बीजगणित में है।

— एलेक्स